線性自抗擾控制器的噪聲抑制改進(jìn)研究

張敏捷，楊 雷，侯硯澤，石 泳，左 光

(北京空間技術(shù)研制試驗中心，北京 100094)

0 引 言

自抗擾控制技術(shù)繼承和發(fā)揚(yáng)傳統(tǒng)PID控制的長處，借鑒和吸收現(xiàn)代控制理論先進(jìn)成果，在過去三十年的發(fā)展過程中，既取得了豐富的理論研究成果，也在工程實踐中獲得了廣泛應(yīng)用。韓京清[1-2]在發(fā)展了非線性跟蹤微分器、擴(kuò)張狀態(tài)觀測器、非線性PID的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)提出了自抗擾控制器。Gao[3]引入帶寬的概念將自抗擾控制器線性化，為自抗擾控制技術(shù)的系統(tǒng)化工程應(yīng)用鋪平了道路。Guo等[4-5]系統(tǒng)證明了自抗擾控制器的時域穩(wěn)定性問題。孫明瑋等[6-7]和楊瑞光等[8]深入研究了自抗擾控制器在飛行控制中的應(yīng)用。趙坤等[9]針對再入彈頭級聯(lián)系統(tǒng)，設(shè)計擴(kuò)張狀態(tài)觀測器對子系統(tǒng)各通道內(nèi)的綜合不確定性進(jìn)行實時觀測，并予以動態(tài)補(bǔ)償，實現(xiàn)各通道的解耦控制。聶文明等[10]針對固體導(dǎo)彈助推段設(shè)計問題，采用擴(kuò)張狀態(tài)觀測器實時估計系統(tǒng)建模誤差與外部干擾，提出一類考慮質(zhì)心運(yùn)動與繞質(zhì)心運(yùn)動間的耦合作用的自抗擾制導(dǎo)控制一體化設(shè)計方法。楊茗棋等[11]針對基于電磁力的集群航天器構(gòu)形維持控制問題，利用自抗擾控制器對集群航天器相對運(yùn)動位置、速度進(jìn)行實時估計，同時對模型不確定性和外部干擾進(jìn)行估計和補(bǔ)償，仿真表明其快速性和抗擾性都明顯優(yōu)于有限時間控制。

自抗擾控制的核心是擴(kuò)張狀態(tài)觀測(Extended state observer，ESO)。提高擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的增益能提高ESO的收斂速度和估計能力，但高增益也會帶來顯著的噪聲放大問題。實際工程中，傳感器測量信號包含各種噪聲污染，如果不加處理，輕則會引起控制器輸出抖振，使得系統(tǒng)輸出抖振，降低控制品質(zhì)，減少執(zhí)行機(jī)構(gòu)的疲勞壽命；嚴(yán)重情況下，ESO高增益的噪聲放大效應(yīng)會削弱控制器穩(wěn)定性，甚至引起控制器發(fā)散。盡管傳感器測量信號一般都會經(jīng)由擴(kuò)展卡爾曼濾波(Extended Kalman filter，EKF)等方法進(jìn)行濾波處理，但由于EKF采用了Taylor展開近似來處理系統(tǒng)模型非線性，一定程度上損失了濾波能力，導(dǎo)致濾波不夠徹底，控制器所用濾波信號中仍會存在一定程度的噪聲信號。如圖1～3為采用LADRC進(jìn)行姿態(tài)控制的小型固定翼無人機(jī)實飛數(shù)據(jù)。EKF濾波得到的俯仰角速度信號仍包含較大的噪聲信號，引起LADRC控制器輸出小幅抖振。

噪聲污染問題是自抗擾控制器乃至一般控制器設(shè)計過程中必須予以考慮的問題。黃朝東等[12]分析了存在測量噪聲時自抗擾控制器的工作能力，并通過頻域分析方法定量給出：常值噪聲主要影響ESO的一階估計誤差，高階誤差穩(wěn)態(tài)值幾乎不受影響；低頻噪聲對高階穩(wěn)態(tài)誤差的影響小于對低階穩(wěn)態(tài)誤差的影響；高頻噪聲對高階穩(wěn)態(tài)誤差的影響大于對低階穩(wěn)態(tài)誤差的影響。林飛等[13]研究了一階濾波器對擴(kuò)張狀態(tài)觀測器噪聲抑制能力的改善作用。Lei等[14]通過仿真分析了船舶控制中Kalman濾波器、TD濾波器以及基于fal函數(shù)的濾波器對于LADRC控制器的濾波效果，但缺少對于不同濾波器濾波效果的對比仿真及理論分析。Cheng等[15]提出采用切換ESO增益的方法抑制噪聲影響，仿真表明改進(jìn)的ESO技能迅速估計系統(tǒng)狀態(tài)同時有效抑制測量噪聲。Patel等[16]研究了滑模觀測器和自適應(yīng)觀測器兩種非線性觀測器對噪聲的敏感性，研究結(jié)果表明盡管滑模觀測器跟蹤性能更好，但受噪聲影響更大。Khalil及其學(xué)生[17-19]定量討論了高增益觀測器增益與噪聲幅值對系統(tǒng)估計精度和控制精度的影響，并提出采用切換增益、非線性增益等方法來抑制噪聲。以上研究沒有考慮濾波延遲的問題，如果濾波延遲較大，盡管數(shù)值仿真中濾波效果不錯，但實際應(yīng)用中濾波帶來的相位延遲卻會降低系統(tǒng)閉環(huán)控制帶寬，極易引起系統(tǒng)震蕩甚至發(fā)散。在實際工程應(yīng)用中，往往將擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的增益(帶寬)限制在一個較小的值以下，避免觀測器的噪聲放大現(xiàn)象，從而保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這種保守設(shè)計一定程度上犧牲了ESO的收斂速度與估計能力，削弱了自抗擾控制器的抗干擾能力。

本文針對線性自抗擾控制器對高頻噪聲敏感的問題，設(shè)計了基于預(yù)報思想的跟蹤微分器，提出了系統(tǒng)被噪聲污染時的線性自抗擾控制器設(shè)計方法，為解決高增益帶來的噪聲污染問題，補(bǔ)償濾波相位損失，增強(qiáng)自抗擾控制器的魯棒性提供了新的思路。

1 線性自抗擾控制器

考慮一類具有單輸入、單輸出的非線性時變系統(tǒng)：

y(n)(t)=f(y(n-1)(t),…,y(t),w(t))+bu

(1)

式中:w(t)是外界擾動；b為控制增益；u為系統(tǒng)控制輸入；y為系統(tǒng)輸出；f(y(n-1)(t),…,y(t),w(t))表示被控對象動態(tài)，可以是時變、線性的，簡記為f。記y=x1,y(k)=xk+1,k=1,2,…,n-1，并令xn+1=f。則系統(tǒng)動態(tài)特性式(1)可寫為如下形式：

(2)

式中:xn+1稱為擴(kuò)張狀態(tài)，它包括系統(tǒng)除控制輸入外所有引起狀態(tài)改變的作用，這一構(gòu)造是自抗擾控制思想的核心。根據(jù)式(2)可構(gòu)造如下包含擴(kuò)張狀態(tài)的Luenberger觀測器，即擴(kuò)張狀態(tài)觀測器：

(3)

(4)

為Hurwitz矩陣，并使得狀態(tài)觀測器觀測誤差是有界的。利用ESO可以得到狀態(tài)X=[x1,…,xn+1]T的估計值Z=[z1,…,zn+1]T，其中系統(tǒng)動態(tài)f的估計值為zn+1。利用zn+1，可將系統(tǒng)動態(tài)化為標(biāo)準(zhǔn)的串聯(lián)積分器的形式：

(5)

y(n)=f+bu=f+bumain-zn+1≈bumain

(6)

特別對如下二階系統(tǒng)：

(7)

要求系統(tǒng)狀態(tài)x1跟蹤指令信號xc。假定系統(tǒng)可測狀態(tài)為x2，設(shè)計降階擴(kuò)張狀態(tài)觀測器：

(8)

適當(dāng)選取ESO增益β1和β2，使得ESO狀態(tài)變量[z1,z2]T逼近系統(tǒng)狀態(tài)[x2,f]T。

進(jìn)一步設(shè)計PD控制器：

uPD=kP(xc-x1)+kDx2

(9)

則

(10)

式(8)和式(10)即為二階系統(tǒng)線性自抗擾控制器。式(7)～(10)構(gòu)成的LADRC頻域模型如圖4所示。

2 噪聲抑制自抗擾控制器設(shè)計

2.1 線性跟蹤微分器

自抗擾控制器中跟蹤微分器(Tracking differentiator，TD)被用來對輸入控制器的指令信號進(jìn)行平滑過渡。TD也具有較好的濾波作用。本文采用如下線性TD(Linear TD，LTD)[4]：

(11)

其中，v(t)為被噪聲污染的參考信號;R和ai,(i=1,…,n)為相應(yīng)的增益;[z1R(t),z2R(t),…,znR(t)]T為LTD狀態(tài)變量，z1R(0)=z10,…,znR(0)=zn為其初值。文獻(xiàn)[4]證明，當(dāng)參考信號v(t)滿足導(dǎo)數(shù)vk(t)(k=1,…,n)有界時，適當(dāng)選取增益，使得

為Hurwitz矩陣，則任意給定LTD狀態(tài)初值，當(dāng)R→∞時，zkR(t)一致收斂于vk-1(t),k=1,…,n。

因此，二階LTD為：

(12)

易得其傳遞函數(shù)為

(13)

2.2 預(yù)報跟蹤微分器

在對被噪聲污染的信號進(jìn)行濾波時，濾波越徹底，信號的相位損失越嚴(yán)重。由于跟蹤微分器不僅能輸出參考信號的濾波值，還能同時給出參考信號的微分信號，因此本文提出利用微分信號對濾波信號進(jìn)行適當(dāng)?shù)亩嗖降邦A(yù)報”，減少相位損失，即兩步預(yù)測跟蹤微分器(Predictor linear tracking differentiator，PLTD)：

(14)

第一步，根據(jù)濾波器前一步的微分信號，將濾波器前一步的輸出信號向前預(yù)報k1步，然后將預(yù)報更新后的信號輸入當(dāng)前步跟蹤微分器。

第二步，對當(dāng)前步濾波器的輸出信號，利用微分信號向前做k2步預(yù)測。

其中預(yù)報步數(shù)k1、k2的值可根據(jù)相位延遲大小利用仿真進(jìn)行離線整定。

2.3 改進(jìn)的LADRC

2.4 頻域特性分析

由式(14)得PLTD的傳遞函數(shù)為：

(15)

從頻域上理解:①預(yù)報即為在震蕩環(huán)節(jié)中添加阻尼項;②預(yù)報為在此基礎(chǔ)上疊加微分單元，補(bǔ)償相位損失。

圖6分別為慣性環(huán)節(jié)濾波器(時間常數(shù)T=1/50)、二階LTD(a1=1,a2=1,R=50)和二階PLTD(a1=1,a2=1,R=50,k1=10,k2=50,h=1/400)的伯德圖。慣性環(huán)節(jié)和LTD在低頻段就有較大的相位損失，而PLTD在低頻段相位損失較小。

采用文獻(xiàn)[7]提出的控制器疲勞度(Weariness degree，WD)，即控制器輸出指令對傳感器測量輸入信號的傳遞函數(shù))來評估控制器對噪聲的魯棒性。式(8)和(10)所述的二階LADRC的控制器疲勞度為：

該系統(tǒng)雖然簡單，但已經(jīng)具備了新聞發(fā)布系統(tǒng)的基本功能。由于本人的能力和時間限制，在系統(tǒng)設(shè)計與制作過程中仍然存在諸多不足之處，如界面設(shè)計、系統(tǒng)功能、實用性等，都有待進(jìn)一步完善。

(16)

利用PLTD改進(jìn)后的二階LADRC控制器疲勞度為：

GPWD=GWDGPLTD

(17)

3 仿真校驗

本節(jié)以航空飛行器姿態(tài)控制問題為例，分析改進(jìn)的LADRC的頻域特性和時域特性。

3.1 頻域特性

航空飛行器縱向短周期模態(tài)傳遞函數(shù)為

(18)

其中，q為飛行器俯仰角速度，δe為升降舵指令。給定a1=10.26,a2=124.16,a3=-91.83,a4=-278.17。根據(jù)式(8)和(10)設(shè)計LADRC控制器，其中β1=500,β2=2000,kP=-0.57,kD=0.08。分別選取慣性環(huán)節(jié)濾波器(時間常數(shù)T=1/50)、二階LTD(a1=1,a2=1,R=50)和二階PLTD(a1=1,a2=1,R=50,k1=10,k2=100)，利用式(17)得到對應(yīng)的LADRC控制器疲勞度如圖7所示，對應(yīng)LADRC閉環(huán)伯德圖如圖8所示。由圖7可看出，在高頻段，不同濾波器均能減小信號的幅值，抑制噪聲的影響，增強(qiáng)LADRC對于噪聲的魯棒性。由圖8可看出，在低頻段，不同濾波器對LADRC的閉環(huán)頻率特性影響較小；在中頻段，PLTD相比其他濾波器，能有效彌補(bǔ)LADRC閉環(huán)控制相位損失。

3.2 時域仿真

對改進(jìn)的LADRC進(jìn)行硬件在環(huán)仿真(Hardware in the loop test，HIL)。HIL仿真平臺包括實時動力學(xué)仿真機(jī)、飛控計算機(jī)、交換機(jī)、地面站、視景計算機(jī)、遙控器等，如圖9所示。為了模擬真實情況下的噪聲污染，在仿真模型的角速度輸出信號中疊加了白噪聲。

3.2.1未濾波

3.2.2慣性濾波器

離散慣性濾波算法如下：

y0(k+1)=y0(k)-hα(y0(k)-v)

(19)

其中，α為慣性濾波器濾波因子。分別取α為50和200，HIL仿真結(jié)果如圖13所示。

可以看到慣性濾波器未能有效濾除噪聲，效果不甚理想。

3.2.3二階LTD濾波

采用(11)式給出的二階LTD，其中，參數(shù)按照標(biāo)準(zhǔn)二階震蕩環(huán)節(jié)配置為：R=30,a1=1,a2=2，HIL仿真結(jié)果如下：

由圖14可看到，由于傳統(tǒng)LTD濾波帶來的延遲較大，導(dǎo)致LADRC控制器閉環(huán)特性變慢，削弱了LADRC控制器的穩(wěn)定性，引起系統(tǒng)狀態(tài)變量的震蕩。

3.2.4PLTD濾波

采用式(14)給出的濾波算法，其中，R=30,a1=1,a2=2,k1=10,k2=100，HIL仿真結(jié)果如圖15～16所示。

由圖15可以看出，PLTD有效濾除了俯仰角速度測量值中的高頻噪聲部分；從圖16可以看出，基于PLTD的改進(jìn)的LADRC相位損失較小，俯仰角的閉環(huán)特性變化不大；從圖17可看出改進(jìn)的LADRC輸出的控制指令平滑，受噪聲污染影響較小。基于PLTD的改進(jìn)的LADRC，既能有效抑制高頻噪聲污染，又能降低濾波帶來的控制器閉環(huán)相位延遲，從而提高了LADRC控制器對于高頻噪聲的魯棒性，提高了LADRC的控制性能，保證了LADRC控制器的閉環(huán)穩(wěn)定性。

4 結(jié) 論

本文針對系統(tǒng)輸出被噪聲污染控制器設(shè)計問題，設(shè)計了一種基于預(yù)報線性跟蹤微分器的自抗擾控制器。仿真結(jié)果表明，相比慣性濾波器和一般線性跟蹤微分器，該方法能抑制噪聲污染對系統(tǒng)閉環(huán)特性的影響，并能有效抑制濾波帶來的相位延遲現(xiàn)象，降低高增益觀測器帶來的噪聲污染放大問題，增強(qiáng)控制器的魯棒性。該方法增強(qiáng)了線性自抗擾控制器對于高頻噪聲的魯棒性，具有工程實用性。為調(diào)參便利，本文中預(yù)報參數(shù)k1和k2取為整數(shù)，事實上也可靈活取為小數(shù)。如何綜合考慮自抗擾閉環(huán)特性以及傳感器噪聲特點，平衡濾波效果與閉環(huán)相位損失，選取較優(yōu)甚至最優(yōu)的預(yù)報參數(shù)，是值得研究的問題。未來的研究可在預(yù)測跟蹤微分器調(diào)參及非線性預(yù)報跟蹤微分器等方面做進(jìn)一步的工作。