改進(jìn)布谷鳥(niǎo)搜索算法優(yōu)化支持向量機(jī)的MEMS陀螺溫度零偏補(bǔ)償

高 策， 沈曉衛(wèi), 章 彪, 胡豪杰

(1.火箭軍工程大學(xué)研究生院，西安 710025; 2.火箭軍工程大學(xué)核工程學(xué)院，西安 710025)

0 引 言

微機(jī)電系統(tǒng)(Micro-electro-mechanical system，MEMS)陀螺具有成本低、體積小、易于集成等特點(diǎn)，已經(jīng)在汽車(chē)工業(yè)、自動(dòng)化、機(jī)器人等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[1-2]。同時(shí)，MEMS陀螺的主要材料是薄硅片，硅具有許多不同于宏觀條件下的物理和機(jī)械性能[3]。當(dāng)溫度發(fā)生變化時(shí)，陀螺不僅在結(jié)構(gòu)尺寸上發(fā)生改變，材料的彈性模量拉伸強(qiáng)度殘余應(yīng)力和外圍電路的電子器件性能也發(fā)生變化，造成MEMS陀螺的零偏曲線往往具有非線性和隨機(jī)性[4]。因此，為了進(jìn)一步提高慣性導(dǎo)航系統(tǒng)中MEMS陀螺的精度和性能，建立MEMS陀螺零偏的有效溫度模型，并進(jìn)行補(bǔ)償，減少溫度對(duì)微機(jī)械陀螺零偏的影響是絕對(duì)必要的。

針對(duì)MEMS陀螺零偏溫度補(bǔ)償算法很多學(xué)者進(jìn)行了研究，常用的方法是最小二乘分段法、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、支持向量機(jī)等。文獻(xiàn)[5]通過(guò)最小二乘擬合計(jì)算每個(gè)溫度項(xiàng)的系數(shù)建立模型，得到溫度補(bǔ)償曲線。然而，最小二乘分段擬合當(dāng)分段間隔較小時(shí)，計(jì)算參數(shù)多，計(jì)算量大；分段間隔較大時(shí)，擬合精度較低，分段間隔處存在較大振蕩。文獻(xiàn)[6-7]應(yīng)用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與數(shù)理統(tǒng)計(jì)相結(jié)合建立溫補(bǔ)模型，文獻(xiàn)[8]選擇RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)光纖陀螺進(jìn)行溫度漂移辨識(shí)，均有效改善陀螺零偏穩(wěn)定性。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有很強(qiáng)的并行處理、自學(xué)習(xí)和自適應(yīng)能力。然而，其結(jié)果難以得到較好的泛化性能，難以避免過(guò)度擬合或欠擬合的問(wèn)題。除此之外，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)存在容易陷入局部?jī)?yōu)化的危險(xiǎn)。

由Vapnik及其同事開(kāi)發(fā)了一種基于統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論(Statistical learning theory, SLT)的新型學(xué)習(xí)機(jī)，稱(chēng)為支持向量機(jī)(Support vector machines, SVM)，它實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化(Structure risk minimization, SRM)原理[9-10]。文獻(xiàn)[11]提出一種蟻群算法優(yōu)化最小二乘支持向量機(jī)的誤差補(bǔ)償模型，有效提高陀螺精度，但該方法主要應(yīng)用在高精度的光纖陀螺上。支持向量機(jī)能夠克服上述典型的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法的缺點(diǎn)，它具有以下的特點(diǎn)：(1)支持向量機(jī)的訓(xùn)練相當(dāng)于解決一個(gè)二次規(guī)劃問(wèn)題，從而產(chǎn)生一個(gè)獨(dú)特的全局最優(yōu)解;(2)通過(guò)使用內(nèi)積和內(nèi)核函數(shù)有效地解決非線性問(wèn)題。因此，SVM已經(jīng)應(yīng)用于模式識(shí)別、回歸預(yù)測(cè)和非線性控制等領(lǐng)域[12-14]。

CS算法的主要優(yōu)點(diǎn)是參數(shù)少，操作簡(jiǎn)單，容易實(shí)現(xiàn)，搜索隨機(jī)路徑的能力強(qiáng)。盡管該算法已經(jīng)在許多領(lǐng)域得到了應(yīng)用，但仍存在一些不足。最優(yōu)解受到固定檢測(cè)概率的影響；Levy flight飛行機(jī)制通過(guò)交替大步驟和小步驟來(lái)提高全局搜索能力，但缺乏自適應(yīng)性造成難以在收斂速度和搜索能力之間的平衡。為了解決上述問(wèn)題并且有效提高M(jìn)EMS陀螺零偏溫度補(bǔ)償精度，提出了一種基于改進(jìn)布谷鳥(niǎo)搜索算法(Cuckoo search, CS)優(yōu)化的支持向量機(jī)溫度建模方法。

1 基于SVM的MEMS陀螺溫度零偏誤差建模補(bǔ)償

MEMS陀螺的溫度零偏誤差補(bǔ)償問(wèn)題是確定陀螺輸出值和溫度的對(duì)應(yīng)關(guān)系，本質(zhì)上是函數(shù)擬合問(wèn)題。并且兩者的函數(shù)關(guān)系很難依據(jù)理論方法進(jìn)行準(zhǔn)確建模。一般函數(shù)f(x)的表達(dá)式只能根據(jù)樣本數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xk,yk)求解。xi表示陀螺溫度，yi表示陀螺輸出值。

1.1 支持向量機(jī)函數(shù)擬合方法

SVM采用如下式(1)的形式對(duì)未知函數(shù)f(x)進(jìn)行擬合逼近：

y=f(x)=wTφ(x)+b

(1)

式中：待擬合函數(shù)的自變量和因變量分別為x∈Rn,y∈R,b為偏置項(xiàng)，φ(·)為將自變量從低維空間向高維空間映射的特征函數(shù)，上式主要是先將非線性函數(shù)從低維空間映射到高維空間，然后進(jìn)行線性擬合。

將未知函數(shù)擬合問(wèn)題轉(zhuǎn)換為函數(shù)R的最小化問(wèn)題：

(2)

式(2)的函數(shù)最小化問(wèn)題是一個(gè)凸二次優(yōu)化問(wèn)題，因此引入拉格朗日函數(shù)：

(3)

式中：ai,ai*≥0,γi,γi*≥0,i=1,2,…,k。式(2)中求函數(shù)R的最優(yōu)解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求式(3)的鞍點(diǎn)問(wèn)題，在鞍點(diǎn)處，函數(shù)L是有關(guān)w,b,ξ,ξ*的極小值點(diǎn)，并且是有關(guān)a,a*,γ,γ*的極大值點(diǎn)。從而，將式(5)的最小化問(wèn)題轉(zhuǎn)換為求式(3)對(duì)偶問(wèn)題的最大問(wèn)題，即：

(4)

在鞍點(diǎn)處，拉格朗日函數(shù)L是有關(guān)w,b,ξ,ξ*的極小點(diǎn)，因此：

(5)

對(duì)于支持向量機(jī)非線性回歸，可以分為三步:第一步，把數(shù)據(jù)從低維空間映射到一個(gè)高維特征空間，即x→φ(x)；第二步，在高維空間進(jìn)行線性回歸；第三步，根據(jù)第二步的結(jié)果取得在原空間非線性回歸的效果，并且引入符合Mercer條件的核函數(shù)k(xi,xj)=φ(xi),φ(xj)〉,運(yùn)算符代表對(duì)于核函數(shù)的選擇。即：

(6)

此時(shí)：

(7)

對(duì)于支持向量機(jī)的方法，選用不同的核函數(shù)k(x,xj)，就可構(gòu)成不一樣的支持向量機(jī)。其中應(yīng)用最為廣泛的式徑向基核函數(shù)，徑向基核函數(shù)是局部性強(qiáng)的核函數(shù)。相比其他核函數(shù)的徑向基核函數(shù)適用于小樣本和大樣本，高維和低維的情況；與多項(xiàng)式核函數(shù)相比，徑向基核函數(shù)參數(shù)少，函數(shù)復(fù)雜程度低，計(jì)算量小。所以在本文提到的方法中，選用徑向基核函數(shù)如式(9)所示：

(9)

式中：σ2是徑向基函數(shù)的核寬度。

1.2 改進(jìn)布谷鳥(niǎo)算法參數(shù)尋優(yōu)

采用SVM方法做非線性函數(shù)擬合，效果很好。但用SVM做非線性擬合的時(shí)需要調(diào)節(jié)相關(guān)的參數(shù)(主要是懲罰參數(shù)C、核函數(shù)參數(shù)σ以及不敏感系數(shù)ε)才能得到較好的精度。采用CS的方法尋找最優(yōu)參數(shù)，可以有效避免過(guò)學(xué)習(xí)和欠學(xué)習(xí)狀態(tài)的發(fā)生，最終得到較理想的準(zhǔn)確率。

1.2.1布谷鳥(niǎo)算法

布谷鳥(niǎo)搜索算法是計(jì)算智能領(lǐng)域，除了蟻群算法、魚(yú)群算法之外的一種群體智能的優(yōu)化算法，該算法最早是由Yang和Deb在2010年提出的[15]。其受到鳥(niǎo)類(lèi)的兩種特殊行為的啟發(fā)：布谷鳥(niǎo)的寄生行為和果蠅的Levy flight飛行行為。它著重于三個(gè)理想化的規(guī)則[16]：

1)每只布谷鳥(niǎo)每次只產(chǎn)一個(gè)蛋，并將蛋放入隨機(jī)選擇的巢中；

2)產(chǎn)蛋質(zhì)量最好的巢穴會(huì)傳給下一代；

3)可用宿主巢的數(shù)量是固定的，并且宿主鳥(niǎo)發(fā)現(xiàn)布谷鳥(niǎo)放置的卵的概率Pa∈[0,1]。在這種情況下，寄主鳥(niǎo)可以將蛋扔掉或放棄巢，并建立一個(gè)全新的巢。

布谷鳥(niǎo)巡找巢穴和位置更新的公式為：

(10)

1.2.2檢測(cè)概率的動(dòng)態(tài)調(diào)整策略

在CS算法中，是否產(chǎn)生新個(gè)體由隨機(jī)數(shù)ε和檢測(cè)概率Pa的比較結(jié)果決定。最優(yōu)解的搜索結(jié)果受Pa數(shù)值的影響：當(dāng)Pa太大時(shí)，較好的巢位很難收斂到最優(yōu)位置；相反，當(dāng)Pa太小時(shí)，它會(huì)遇到當(dāng)前壞窩位置的慢速收斂。根據(jù)自然界的周期性變化，我們?cè)贑S算法中引入了周期變異算子來(lái)調(diào)整被檢測(cè)概率(Pa)。本文將余弦循環(huán)算子引入CS算法實(shí)現(xiàn)Pa的周期性變化。

(11)

其中,T是周期算子的周期；t是當(dāng)前迭代次數(shù)；Pa,max和Pa,min是Pa的動(dòng)態(tài)控制參數(shù)，分別等于0.75和0.1。

1.2.3步長(zhǎng)的動(dòng)態(tài)調(diào)整策略

通過(guò)分析原始CS算法，可以看出CS算法的步長(zhǎng)對(duì)全局最優(yōu)解和搜索精度有顯著影響。較大的尺寸有助于算法跳出局部最優(yōu)狀態(tài)，但會(huì)降低收斂精度和收斂速度。另一方面，步長(zhǎng)較小時(shí)，獲得局部最佳結(jié)果非常容易。因此，關(guān)鍵是如何獲得合適的搜索步長(zhǎng)，以避免局部最優(yōu)解，并提高收斂速度和收斂精度。本文提出了一種自適應(yīng)布谷鳥(niǎo)搜索算法，該算法通過(guò)最后一次最優(yōu)嵌套生成和當(dāng)前迭代次數(shù)的組合信息對(duì)步長(zhǎng)進(jìn)行調(diào)整。

根據(jù)當(dāng)前的優(yōu)化進(jìn)程，即迭代次數(shù)與最大迭代次數(shù)的關(guān)系，布谷鳥(niǎo)搜索步驟S設(shè)置如下：

(12)

式中:m∈(0,1)是調(diào)節(jié)因子；Ei-1是上一代群體的最佳巢位；h∈[0,1]是限制因素；t和tmax是當(dāng)前迭代次數(shù)和最大迭代次數(shù)；Smin是最小的搜索步驟；p是1～30的整數(shù)。

1.2.4算法實(shí)現(xiàn)

(13)

1.3 MEMS陀螺零偏誤差建模與求解

通過(guò)大量的陀螺溫度實(shí)驗(yàn)獲取的溫度誤差樣本數(shù)據(jù)，利用本文提出的基于CS優(yōu)化SVM參數(shù)的方法對(duì)微機(jī)械陀螺的溫度誤差進(jìn)行建模。該過(guò)程包括以下3個(gè)步驟：

1)數(shù)據(jù)歸一化

為了加快參數(shù)尋優(yōu)的速度以及模型訓(xùn)練的效率，同時(shí)，為了優(yōu)化內(nèi)存空間，可以用式(14)對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理：

(14)

式中：y表示歸一化后輸出的值，ymax=1,ymin=-1；x表示歸一化前的輸入得值，xmax為輸入數(shù)據(jù)的最大值，xmin為輸入數(shù)據(jù)最小值。通過(guò)式(14)可以將任意實(shí)數(shù)范圍內(nèi)數(shù)據(jù)變換到[-1，1]的區(qū)間內(nèi)。

2)改進(jìn)布谷鳥(niǎo)算法優(yōu)化SVM

以實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為訓(xùn)練數(shù)據(jù)對(duì)SVM的懲罰參數(shù)C、核函數(shù)參數(shù)σ以及不敏感系數(shù)ε進(jìn)行尋優(yōu)。

3)模型訓(xùn)練

根據(jù)基于CS優(yōu)化SVM參數(shù)方法的擬合原理，將第二步基于布谷鳥(niǎo)法調(diào)優(yōu)的參數(shù)尋優(yōu)結(jié)果和第一步歸一化后數(shù)據(jù)代入支持向量機(jī)函數(shù)進(jìn)行訓(xùn)練，得到最佳擬合函數(shù)，即：

(15)

2 實(shí)驗(yàn)分析

為了研究溫度對(duì)MEMS陀螺零偏的影響，將微機(jī)械IMU放在高低溫箱的水平臺(tái)上(如圖1所示)，將環(huán)境溫度從-30 ℃開(kāi)始以1 ℃/min的速率逐漸升溫至70 ℃(如圖2所示)。在微機(jī)械陀螺的工作過(guò)程中，以50 Hz的頻率實(shí)時(shí)輸出陀螺值量測(cè)數(shù)據(jù)以及溫度數(shù)據(jù)。同時(shí)，由于微機(jī)械陀螺的輸出數(shù)據(jù)具有較大的量化噪聲，無(wú)法直接用于溫度誤差的標(biāo)定，因此，采用20 s數(shù)據(jù)(即1000組)平滑后的結(jié)果作為溫度誤差建模的樣本點(diǎn)，溫度數(shù)據(jù)同樣進(jìn)行20 s 平滑處理。陀螺溫度誤差經(jīng)20 s平滑后的曲線如圖3所示。

分別應(yīng)用傳統(tǒng)的最小二乘分段擬合算法、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以及基于CS的SVM算法對(duì)微機(jī)械陀螺零偏輸出進(jìn)行辨識(shí)。參數(shù)設(shè)置如表1、表2所示。利用三種方法辨識(shí)得到的數(shù)據(jù)對(duì)溫度變化下微機(jī)械陀螺的零偏進(jìn)行補(bǔ)償，補(bǔ)償效果如圖4～6所示。

表1 最小二乘方法和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法參數(shù)設(shè)置Table 1 Least square method and BP neural network method parameters set

表2 基于改進(jìn)CS優(yōu)化SVM的最佳參數(shù)Table 2 Optimization of SVM based on CS

從圖4～6可以看出,三種方法對(duì)微機(jī)械陀螺的溫度誤差都起到了減小的作用，但效果不同。將補(bǔ)償后三種方法得到陀螺誤差進(jìn)行比較，如圖7～9所示。

從圖7～9可以看出,基于改進(jìn)CS的SVM方法補(bǔ)償后的數(shù)據(jù)穩(wěn)定性明顯高于其他兩種方法，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和本文方法明顯優(yōu)于最小二乘分段擬合方法，并且對(duì)于誤差曲線斜率變化大的地方(如Z軸0 ℃～10 ℃)本文方法穩(wěn)定性比BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法更好。進(jìn)一步統(tǒng)計(jì)溫度補(bǔ)償后數(shù)據(jù)的最大誤差和方差，結(jié)果如表3所示。可以看出，采用基于CS的SVM的補(bǔ)償方法的方差比最小二乘平均減小約63.2%，最大誤差平均減小約71.63%，并且比基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償方法的方差平均減小約43.4%，最大誤差平均減小約48.3%；從表4可以看出本文方法量化噪聲Q、零偏不穩(wěn)定性B、角速率隨機(jī)游走K相比其他兩種方法都降低了一個(gè)數(shù)量級(jí)，角度隨機(jī)游走N、速率斜坡R也有明顯下降，從而證明本文方法的精度更高，優(yōu)越性更強(qiáng)，提高了MEMS陀螺對(duì)環(huán)境的適應(yīng)能力。

表3 各種方法補(bǔ)償后的最大誤差和均方差比較Table 3 Various methods of gyro output after the average and the mean square error comparison

表4 Y軸微機(jī)械陀螺的原始信號(hào)和隨機(jī)誤差的Allan方差分析比較結(jié)果Table 4 Allan variance analysis results of original signal and random error of Y-axismicromachined gyroscope

動(dòng)態(tài)條件下(溫度25 ℃)，將微機(jī)械陀螺儀放置在轉(zhuǎn)臺(tái)上，使轉(zhuǎn)臺(tái)以5 (°)/s的恒定速率旋轉(zhuǎn)，采集60 s的數(shù)據(jù)進(jìn)行溫補(bǔ)驗(yàn)證，如圖10所示。從圖中可以看出，利用本文方法對(duì)陀螺零偏進(jìn)行溫度補(bǔ)償后，陀螺的輸出值更加精準(zhǔn)有效。

3 結(jié) 論

為了降低微機(jī)械陀螺儀的溫度漂移，本文提出了一種基于改進(jìn)CS調(diào)節(jié)SVM參數(shù)的建模與補(bǔ)償方法。首先，用于建模的溫度漂移數(shù)據(jù)采用20 s數(shù)據(jù)(即1000組)平滑預(yù)處理。然后采用支持向量機(jī)構(gòu)造漂移模型。改進(jìn)CS方法用于優(yōu)化支持向量機(jī)的參數(shù)，提高了建立模型的精度。通過(guò)大量的溫度試驗(yàn)檢驗(yàn)了方法的有效性。結(jié)果表明，與最小二乘方法、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法相比，CS調(diào)節(jié)支持向量機(jī)的補(bǔ)償數(shù)據(jù)方差分別平均減小了63.2%，43.4%，最大誤差分別平均減小71.63%，48.3%。