厘清法則 觸摸數學本質

郭繼峰

摘 要：“計算法則”，也就是學生在計算中所要遵循的方法、規則或程序等。在低年級計算教學中，要引導學生借助情境、操作和運用，探尋數學計算法則之源、之本、之根、之果，不斷發展學生數學學習能力的同時，促進學生數學智慧的生長。教師引導學生經歷數學算理的探究過程，不斷夯實、筑牢學生的計算基礎，改變學生學習的方式，就能更好地、有效地發展學生的數學核心素養。

關鍵詞：低年級數學;計算法則;法則建構;學習能力

所謂“計算法則”，也就是學生在計算中所要遵循的方法、規則或程序等。荷蘭著名數學教育家弗賴登塔爾認為，數學知識有“程序性知識”和“思辨性知識”。顯然，計算法則屬于程序性知識。對學生尤其是低年級學生來說，運用計算法則相對簡單，而理解計算法則背后的算理則相對較難。為此，教師要加強法則背后的算理教學，讓學生“算理明”“算法清”，真正做到“法理融通”。

一、借助情境，探尋計算法則之“源”

對于小學生而言，計算法則理解通常要借助一定的情境。這種情境既可以是生活化、經驗化的情境，也可以是蘊含數學計算法則邏輯事理的情境。從這個意義上說，情境應該是學生建構數學計算法則之源。在情境中，學生觸景生情、觸景生需、觸景生思。當計算法則以具體情境為背景、載體時，就可以化抽象為具體、直觀、形象，從而幫助學生理解計算法則背后的算理，催促學生積極主動地建構算法。

教學《十幾減9》時，教師充分利用教材主題圖，創設生活化情境，讓學生在情境中思考。教師先出示直觀圖，讓學生讀懂信息：“13個桃，我買9個。”引導學生交流：從圖上，你知道了哪些條件？能提出什么問題？在學生交流的基礎上，讓學生嘗試探索，構建算法。啟發學生思考：怎樣從13個桃里拿走9個桃。

結合學生的交流，教師進行直觀演示。

方法1：先拿去盒子外的3個桃，再拿去盒子里的6個桃，還余4個。交流拿桃的過程。強調拿桃分兩次，還余多少個桃？

方法2：先從10個桃里拿去9個，再把余下的1個與外面的3個加起來，還剩4個桃。

由于學生已經有了“9加幾”“8加幾”等的數學認知經驗，因此學生能夠認識到這屬于一個“去一去”“拿一拿”的數學問題，因此應該用減法計算。關鍵問題變為：13減9到底可以怎樣計算？在問題驅動下，部分學生能迅速調用已有知識經驗，根據“加法”推算“減法”。絕大多數學生則借助教材主題圖，在情境中展開深度思考。有學生認為，“從13個中拿走9個，可以這樣計算，先從10個中拿走9個，再將零頭3個加上去”;有學生認為，“可以先從13個里面拿走3個，再從剩下的10個里面拿走6個”，等等。教師創設情境，給予學生在情境化思考中直接體會“破十法”“平十法”以及“想加算減”的操作過程。讓學生在思維活動的過程中進一步抽象算法，明曉算法，使學生獲得思維發展方向的指引，幫助學生更好地理解十幾減9的計算法則。對于低年級學生來說，情境不僅激活了學生已有知識經驗，更激活了學生對算式的主動思考。學生努力通過生活化的“算理”解釋數學化的“算法”。這種“破十法”“平十法”以及“9加幾”的“湊整法”等，蘊含著深刻的數學“分與合”思想，是學生今后學習簡便運算的基礎。

二、借助操作，探尋計算法則之“本”

瑞士著名教育心理學家皮亞杰說：“兒童智慧在指尖跳躍。”學生對計算法則的建構不僅依賴于情境，更依賴于操作。實踐證明，動手操作能激發學生的直觀思維，引導學生的數學深度思考。對于學生來說，計算“法則”是抽象的，而“算理”卻應當是直觀的。只有這樣，學生才能理解算理、建構算法。通常而言，“算法”解決的是“怎樣計算”的程序性問題，而“算理”表征的是“為什么這樣計算”的思辨性問題。算理是算法的依據、道理，算法是算理的抽象化、形式化表征。

在計算教學中，教師要為學生提供“算珠”“小棒”“圓片”等具有“齊性”的操作素材。什么是“齊性”？也就是說學生的操作素材應盡量少的具有無關屬性，盡量多的具有相關屬性。

教學《兩位數加一位數（進位）》，以蘇教版為例，教材提供的主題圖是“小亮有24張畫片，小明有9張畫片，小紅有6張畫片，小亮和小紅一共有多少張畫片？”為此，教師可以讓學生借助小棒進行操作，讓學生自主探究。有學生先擺出2捆小棒，再擺出4根小棒，然后擺出6根小棒，隨后就匆忙數起來。在這里，小棒成為學生“數”的素材，沒有成為學生“探究”的素材。基于此，筆者這樣啟發學生：當4根小棒與6根小棒合起來時，有沒有一捆？由此幫助學生建立“捆”的概念。在筆者的啟發下，學生將4根小棒與6根小棒合起來，變成一捆，再和之前的兩捆合起來。在操作中，學生建構了“滿十進一”的數學計算法則模型。在操作中，學生經歷了算法形成的全過程，從而能深度地理解算法、運用算法。

三、借助運用，探尋計算法則之“根”

對于學生來說，計算學習要“返本歸源”“葉落歸根”。所謂“根”，就是所從之、所回歸的地方。對于計算法則來說，生活既是源頭，又是歸根。很多時候，學生由于法則運用不到位，導致計算法則不能積淀為學生的計算技能。計算教學不僅要讓學生做到“理法融通”，更要做到“算用結合”。作為教師，要激活、調用、提升學生的數學計算活動經驗，啟發學生進行意義聯結。讓計算法則之根扎得更深，讓計算法則之葉長得更盛。

教學《有余數的除法》時，在學生借助直觀操作、觀察等活動體會“余數要小于除數”之后，教師要著力引導學生對這一“法則”進行多視角、多向度的運用。通過讓學生自己舉例，聯系經驗，展開數學思考。在此基礎上，教師提供已知被除數、除數的素材，要求學生求出商和余數類的;已知被除數、余數的素材，要求學生求出商和除數類的;要求學生求一個數中至多有幾個幾的;算式中的余數大于除數，要求學生理性判斷類的;已知除數，要求余數最大是幾的;已知商和余數，要求學生列舉除數和被除數一共有多少種可能的，等等。通過大量的正反變式、互逆變式、多向變式，促使學生深入理解數學知識，觸摸數學知識的本質，發展學生的數學學習能力，在發展學生的正向思維的同時，不斷關注學生的逆向思維、發散思維、批判思維等。有了靈活的數學運用，就能提升學生的數學思維水平，突破學生數學思維局限性、思維障礙，消除學生的思維盲點、認知誤區，讓學生建立深刻的、清晰的、牢固的認知結構，促進學生對計算法則的深度理解。

四、借助反思，探尋計算法則之“果”

活動是認知的基礎，反思是智慧生長的開始。學生學會反思，不僅收獲的是知識和技能，更能收獲學習能力之果。在低年級的數學計算教學中，教師除了關注學生抽象數學知識的過程，更要注重學生反思能力的培養，引導學生及時反思。

在計算教學中，教師要讓學生進行及時歸納和總結，使學生在反思與聯想中，溝通新舊知識的聯系，建構良好的認知結構。

如教學《筆算兩位數加、減兩位數》時，教師引導學生在不同的階段進行反思，使學生產生對數學學習的興趣，培養學生合作交流的意識和良好的習慣。

1.在復習引入時，適時總結反思，激發學習興趣

教師出示：54+20=? 54-20=? 54+2=? 54-2=

讓學生口算出得數后，交流說說是怎樣算的。在學生一一交流算法的基礎上，教師引導學生反思：上面的加、減整十數和加、減一位數計算方法一樣嗎？計算加、減一位數是在哪一位上加減的？加、減整十數呢？

學生反思后明確：計算加、減一位數是在個數上進行加減的，而加、減整十數是在十位上加減。

教師引入新課：學習兩位數加減整十數、一位數時，可以依據數的組成來思考，利用小棒或用計數器撥一撥，找出幾十和十位上的幾十加減，個位上的幾和幾加減。今天老師和小朋友們來研究的兩位數加、減兩位數又有什么不同呢？

板書課題：筆算兩位數加、減兩位數

……

2.在探究算法時，適時回顧反思，促進數學理解

教師出示主題圖后，交流信息：藍汽車坐45人，黃汽車坐31人，兩輛車一共坐了多少人？

讓學生自主列式：45+31，啟發學生思考：怎樣來算得數？

回顧以前的方法：用小棒、撥小算盤的算珠來算得數。

學生嘗試操作，交流，教師結合學生的匯報進行演示。

把7個十和6個一分別框一框，再把兩部分圈起來。

思考：為什么是3捆和4捆要對齊擺，1根和5根對齊擺。

在學生交流的基礎上，再演示撥小算盤的算珠來算得數。

教師教學筆算兩位數加法的寫法：先寫加數45，再在下面寫加數31，寫加號，畫橫線。

……

引導學生回顧算法：在筆算加法時，豎式怎樣列？為什么十位要和十位對齊，個位要和個位對齊？

理解算理是學生學習算法的基礎，而理解算理，厘清計算法則則是學習計算的難點。教師通過引導學生回顧思考：為什么這樣寫？讓學生厘清算理，明確算法，掌握法則，發展了學生的形象思維和初步的分析、抽象、概括等思維能力。

綜上所述，計算是學生數學學習的根基。在小學低年級計算教學中，教師要引導學生經歷數學計算算理的探索過程，幫助學生理解計算法則，讓學生在學習計算的過程中，提高計算技能、增強計算能力，發展學生的數學學習自信心，發展學生的計算應用能力。在計算教學中，只有夯實、筑牢學生的計算基礎，才能有效地發展學生的數學核心素養。教師可以引導學生借助情境、操作和運用，探尋數學計算法則之源、之本、之根，做到“理法融通”“算用結合”，讓學生“以理釋法”“依理用法”，實現學生對算理的深層理解和對算法的切實把握，使提升學生數學關鍵能力的同時，促使學生的數學智慧不斷生長。

參考文獻：

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編輯 謝尾合