例說(shuō)一類中考常見題型
——特殊三角形問題

沈伊昭

(福建省寧德市周寧縣獅城中學(xué) 355400)

每年中考特殊的三角形都是老師們研究討論的重點(diǎn)、熱點(diǎn).在復(fù)習(xí)中本人注意到一類與特殊三角形有關(guān)的問題，與同仁們一同探討學(xué)習(xí).

一、作圖題

例1 已知坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A(2，2)，試在坐標(biāo)軸上找到一點(diǎn)P，使△AOP為等腰三角形，寫出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)____.

分析 這是一道求作等腰三角形的開放性題目，比較容易丟答案.學(xué)生很容易作出一種如圖2的情況，或者可以作出圖3的情況.

但受思維定勢(shì)的影響，往往就無(wú)法繼續(xù)作出其他種情況.要是能引導(dǎo)學(xué)生去思考第一種作法的本質(zhì)特點(diǎn)：從定義出發(fā)作等腰三角形，要么考慮OA為底要么就考慮OA為腰，以O(shè)A為底就是連接OA，作OA的中垂線交坐標(biāo)軸于點(diǎn)P1、P2(圖2).以O(shè)A為腰就要考慮將點(diǎn)A當(dāng)作頂角的點(diǎn)，還是把點(diǎn)O當(dāng)作頂角的點(diǎn)問題了.若點(diǎn)A為頂角的點(diǎn)，根據(jù)AO=AP，以點(diǎn)A為圓心，AO長(zhǎng)為半徑作圓，交坐標(biāo)軸于P3、P4(圖3).同理點(diǎn)O為頂角的點(diǎn)，根據(jù)OA=OP，以點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑作圓，交坐標(biāo)軸于P5、P6、P7、P8(圖4).

二、與旋轉(zhuǎn)相結(jié)合

例2 如圖點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，∠AOB=110°,∠BOC=α,將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△COD，連接OD.

(1)求證：△COD是等邊三角形;

(2)當(dāng)α=150°時(shí),試判斷△AOD的形狀,并說(shuō)明理由

(3)探究：當(dāng)α為多少度時(shí)，△AOD是等腰三角形？

分析 (1)(2)較為簡(jiǎn)單，這里不多說(shuō)了.我們看看(3)，根據(jù)我們例1判斷等腰三角形的方法(邊或角相等)，依題意本題應(yīng)該從角度出發(fā)，△AOD是等腰三角形有三種： (1)∠ADO=∠AOD,(2)∠AOD=∠OAD,(3)∠OAD=∠ADO.但學(xué)生往往還是只得到一種而丟掉另兩種,這仍屬于思維單一，發(fā)散不夠造成的.那么如何求解呢？可以由邊的關(guān)系得到角的等量關(guān)系，因此先要用角α把△AOD的三個(gè)角表示出來(lái)：

∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠DOC=360°-110°-α-60°=190°-α,∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-(190°-α)-(α-60°)=50°,∠ADO=∠ADC-∠ODC=∠BOC-∠ODC=α-60°.

所以，若∠AOD=∠ADO,則α=125°；若∠OAD=∠ADO,則α=110°;若∠OAD=∠AOD,則α=140°.

綜上所述：α=125°或110°或140°.

三、與拋物線相結(jié)合

例3 已知拋物線y=ax2(a>0)上有兩點(diǎn)A、B其橫坐標(biāo)分別為-1，2，試探求a的取值情況，△AOB可能是直角三角形嗎？若不能，說(shuō)明理由；是直角三角形，請(qǐng)寫出探求過(guò)程.

分析 本題拋物線未定，所以△AOB的形狀也隨之改變.看似沒有頭緒，其實(shí)奧妙深藏在△AOB是直角三角形中，△AOB是直角三角形必定有一個(gè)角等于90°，這樣我們就可以如例2一樣的方法來(lái)求解，先求得三邊AB，AO，BO的長(zhǎng)度(用a的代數(shù)式表示)，設(shè)A(-1，a),B(2，4a),過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC.

∴AO2=DO2+AD2=1+a2,BO2=OC2+BC2=16a2+4,AB2=BE2+AE2=9a2+9.進(jìn)而根據(jù)勾股定理的逆定理

討論：若∠AOB=90°或∠BAO=90°或∠OBA=90°,分三種情況求a的值.

從以上例子可以看出，在中考中有關(guān)特殊三角形的問題對(duì)學(xué)生的能力要求是比較高的.學(xué)生在求解這類問題常見的問題：(1)無(wú)法下手，(2)對(duì)定義的理解不夠，解題缺乏方向性，(3)思維發(fā)散不夠，容易漏解，(4)缺乏邊與角之間轉(zhuǎn)換的技能．所以我們只要找到問題的關(guān)健，就有辦法對(duì)癥下藥，引導(dǎo)學(xué)生正確思維，通過(guò)橫向?qū)Ρ龋|類旁通，多加訓(xùn)練，必會(huì)事半功倍，起到很好的效果.