巧用類比思想 提升核心素養(yǎng)

陳龍珠

（尤溪第一中學(xué)，福建 尤溪 365100）

類比思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，是高中數(shù)學(xué)課堂中所提出的先進(jìn)思想理念。所謂類比就是“為了促進(jìn)對(duì)未知事物的理解，通過與已知事物的比較，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)兩者之間在特征和形式上的類似之處，并建立兩者之間的關(guān)聯(lián)，運(yùn)用推理的方法解決問題”。而類比思想就是在類比的基礎(chǔ)上形成的基本邏輯思維，通過對(duì)相似的事物進(jìn)行比較分析，從中總結(jié)出規(guī)律。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過類比可以利用已知解決未知，利用簡單解決復(fù)雜的問題，培養(yǎng)學(xué)生解題能力、思維能力，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

一、巧用類比，學(xué)習(xí)新知識(shí)

高中數(shù)學(xué)相對(duì)于初中數(shù)學(xué)而言，知識(shí)點(diǎn)更多、難度更大，很多學(xué)生對(duì)一些概念、定理、公式一知半解，不甚理解其中含義，往往死記硬背，一定程度上制約了學(xué)生靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)的能力。如何合理引導(dǎo)學(xué)生理解要義，類比方法就是一種最便捷最有效的辦法。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出：“類比是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)命題的重要途徑。”類比就是一種相似，把兩個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行比較，找出它們相似的地方，從而推出這兩個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的其它一些屬性也有類似的地方。眾所周知，高中數(shù)學(xué)常有并列的兩個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象，二者有諸多相似點(diǎn)，教師就要善于運(yùn)用類比的方法引導(dǎo)學(xué)生從已知推理未知。

例如，在教學(xué)等差數(shù)列與等比數(shù)列時(shí)，可采用類比方法進(jìn)行對(duì)照式教學(xué)。

定義教學(xué)時(shí)，等差數(shù)列的定義是一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差為同一個(gè)常數(shù)，即anan-1=d。類比可得，等比數(shù)列是一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的商為同一個(gè)常數(shù)，即=q；

通項(xiàng)公式an推導(dǎo)時(shí)，通過累加法求得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d，類比累加法，可通過累乘法求得等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1·qn-1；

推導(dǎo)前n項(xiàng)和公式sn時(shí)，等差數(shù)列的前前n項(xiàng)和采用倒序相加法求得，即sn=na1+d，類比倒序相加法，可用錯(cuò)位相減法得到等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，即sn=

在推導(dǎo)性質(zhì)時(shí)，由定義得：若m+n=p+q,則am+an=ap+aq，類比可得等比數(shù)列的相應(yīng)性質(zhì)：若m+n=p+q,則aman=apaq。

采用類比教學(xué)，鏈接新舊知識(shí)，既可鞏固舊知識(shí)達(dá)到溫故而知新的效果，又能有效引導(dǎo)學(xué)生開展對(duì)未知領(lǐng)域的探索，有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，我們常常會(huì)有“似曾相識(shí)”的感覺，如果教學(xué)能夠抓住知識(shí)間的相似之處，再合理進(jìn)行類比教學(xué)，可獲得意想不到的教學(xué)效果。

二、巧用類比，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)

高中數(shù)學(xué)教學(xué)，知識(shí)點(diǎn)間存在著一定的邏輯關(guān)聯(lián)，教師要利用其中的相似點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行勾連，以點(diǎn)代面，由孤立到系統(tǒng)，總結(jié)發(fā)現(xiàn)一類問題的解決辦法，不斷豐富已有的知識(shí)體系，構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，拓展思維，融會(huì)貫通。

例如，在學(xué)習(xí)立體幾何線線平行與面面平行時(shí)，相關(guān)的定義、判定、性質(zhì)及結(jié)論可采用類比教學(xué)。

因此，教師利用類比方法，可將學(xué)科知識(shí)內(nèi)容的不同板塊建立良好的關(guān)聯(lián)，幫助學(xué)生厘清學(xué)科知識(shí)內(nèi)容不同板塊的聯(lián)系，在學(xué)生的腦海里，不再是獨(dú)立的知識(shí)點(diǎn)，而是一張知識(shí)網(wǎng)，從而逐漸構(gòu)建學(xué)生自身的學(xué)科知識(shí)體系。

三、巧用類比，拓展新思路

美國著名的數(shù)學(xué)家波利亞在他的世界名著《怎樣解題》中說過：“在求證或求解一個(gè)問題時(shí)，如果能發(fā)現(xiàn)一個(gè)類比題，那么這個(gè)類比問題可以引導(dǎo)我們達(dá)到原問題的解答。”可見，要打開解題思路就得對(duì)可能的解題方法進(jìn)行猜測，尋找類比問題。當(dāng)學(xué)生遇到新的問題時(shí)，教師要鼓勵(lì)學(xué)生加強(qiáng)審題訓(xùn)練，對(duì)已知條件多讀幾遍，聯(lián)系自己熟悉的條件，對(duì)做過的題目和題型進(jìn)行歸納總結(jié)，找找其中的規(guī)律，往往可以得到正確的解題思路。

例如，在等差數(shù)列{}an中，若a10=0，則a1+a2+…an=a1+a2… +a19-n(n＜19,n∈N)成立，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列中，若{}bn，則有等式成立。

學(xué)生解決此類問題時(shí)，學(xué)生能否借助學(xué)科不同板塊之間的關(guān)聯(lián)性進(jìn)行有效地類比，是解決此類問題的關(guān)鍵，類比等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)便可以得到結(jié)論：

等差數(shù)列性質(zhì)：若m,n,p,q∈N*且m+n=p+q,則am+an=ap+aq

等比數(shù)列性質(zhì)：若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,則 am·an=ap·aq

故猜測本題的答案為：

b1b2…bn=b1b…b17-n(n＜17,n∈N*)

事實(shí)上，對(duì)等差數(shù)列{}an，如果 a10，則有:an+1+a19-n=an+2+a18-n=…=0

因此：

a1+a2+…an=a1+a2+…an+(an+1+an+2+…+a19-n).

而對(duì)于等比數(shù)列{}bn，如果 b9=1，類比性質(zhì)可得：an+1a17-n=an+2a16-n=…=1

從而，可推導(dǎo)

b1b2…bn=b1b2…b17-n(n ＜ 17,n ∈ N*)成立。

再如，已知x,y,z均為正整數(shù)，

如圖所示：作 △ABC,∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°

設(shè)OA=x,OB=y,OC=z

由余弦定理得：

又因?yàn)锳B+AC＞BC，所以原不等式得證。

可見，在解題時(shí)，遇到一些問題，注重已有的認(rèn)知進(jìn)行類比教學(xué)，常有“柳岸花明又一村”的感覺，從而實(shí)現(xiàn)知識(shí)的正遷移，使問題得以解決。

總之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師要適時(shí)創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用類比方法，鏈接新舊知識(shí)，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，拓展解題思路，真正提高數(shù)學(xué)教學(xué)的效率，促進(jìn)學(xué)生邏輯思維的發(fā)展，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。