小學數學操作性學習分類及案例解析

黃秀梅

（尤溪縣教師進修學校，福建 三明 365100）

學習的基本方式有兩個：一是繼承性學習，以接受的方式進行，模仿、理解、記憶是學習的基本手段，在接受前人經驗中獲得知識；二是實踐性學習，以動手實踐、自主探索或合作的方式進行，在具體的實踐活動過程中獲得直接經驗和認識。[1]小學生的學習既有繼承性的接受式學習，也有實踐性的發現式學習。由于小學生的認知思維主要依靠直觀、具體形象進行，所以，小學生的學習還是以動手實踐或操作來展開思維活動和獲取知識為主，實踐性學習是小學數學學習重要也是主要方式。讓手和眼協調、手和腦溝通是解決小學生數學學習過程身心協調的有效途徑，同時也是解決數學學科性質與小學生認知水平矛盾的最佳路徑。

一、數學操作性學習及其特點

數學操作性學習是指發生在數學課堂中，結合數學學科特點，為理解、掌握、驗證某些數學現象、規律、原理等展開的、以動手操作為主要活動方式的學習活動。在小學數學課堂中，小學生的操作性學習表現為以一定的材料或實物作為操作對象，在具體操作過程中獲得知識和體驗；或是以動手操作，如畫一畫、擺一擺、折一折等具體行為操作來感知知識和發展技能，它是有目的地進行數學行為操作和思維聯動的過程，也是具身學習的過程。

小學數學操作性學習有三個明顯的特點：首先，它是數學的學習活動，所有的操作活動都有明確的數學學習目的，即便是游戲與“玩耍”也有一定的目標指向。其次，它是身心聯動的行為操作，動手、動口，手眼、手腦并用是學習過程的基本常態，通過對數學材料或實物的實際操作來感知學習對象，進而認識學習對象，是具身的學習活動。其三，它的行為操作是以畫一畫、填一填、擺一擺、量一量、數一數等形式來直接作用于數學情境世界和認識對象的，它是典型的“做中學”與“學中做”學習活動。它與研究性學習、問題式學習聯系緊密，雖然它不十分強調以類似于科學研究的方法去獲得知識，但是“要讓學生感受和理解知識產生、發展的過程，培養學生的科學精神和創新思維”[2]卻是一致的；雖然它不過多追求虛擬問題場景，但是以問題發現、問題提出和問題解決為活動紐帶卻是相通的。

二、小學數學操作性學習類型解析

（一）以積累直接經驗為主的動手式操作性學習

小學生的學習多數是要依靠學生親自動手才能取得比較扎實、可靠的效果，因為，動手操作使得小學生能夠親近認知對象，在具體的操作中小學生才能感知認知對象；“做中學”的本質是以做（操作）為載體，在具體的情境活動中激發學習熱情、感悟活動成果，獲得活動經驗。

以“倍的認識”學習為例。可以通過先復習量與量的關系再介紹新的數量關系“倍”，也可以由教師操作教具或畫圖來引導學生發現這種新型關系。但是，要使得學生對“倍”的認識深刻、到位，就要讓學生親自動手并在動手操作中體悟。

教學環節一：在情境中調度

創設小白兔拔蘿卜情境，讓學生數一數后想一想白蘿卜的個數比紅蘿卜多多少？胡蘿卜個數與紅蘿卜是什么關系？調度小學生的生活經驗，為發現情境中的數學問題做準備。

教學環節二：在操作中感知

將三種蘿卜分別按2個一組擺到紙上并畫一個圈，讓學生數一數后議一議。強化“2個一組”的同時感知三種蘿卜數量關系，為引入“倍”做準備。

教學環節三：初步引導

將分組畫圈情況呈現在黑板上并引導學生觀察，引入“倍”的概念，同時用紅蘿卜與胡蘿卜、白蘿卜與胡蘿卜對應圖直觀地展現倍數關系。

教學環節四：操作中再次體驗和強化

1.讓學生擺一擺后想一想：如果胡蘿卜是3個，將3個蘿卜擺在一組并畫圈，此時三種蘿卜各有幾個圈？紅蘿卜個數是胡蘿卜的幾倍？白蘿卜是胡蘿卜的幾倍？如果將6個蘿卜圈一圈看成一組，那么，白蘿卜的個數是紅蘿卜的幾倍？用適當的變化再次來體驗和感悟并最終建立“倍”的概念。

2.問一問后說一說：如果胡蘿卜是3個，白蘿卜是9個，那么白蘿卜是胡蘿卜的幾倍？如果胡蘿卜4個，白蘿卜是16個，那么白蘿卜又是胡蘿卜的幾倍？依次類推進行幾次變化。讓學生再次感悟“將對象分成幾份就是幾倍”的同時建立“倍與兩數商”的關系模型。

3.舉舉例后比一比：要求舉出2個具有明確倍數關系的具體例子并與同桌交流，以此檢驗對“倍”的理解是否到位。

4.涂一涂后說一說：發放三組圖形——三角形、圓圈、矩形，自由拼擺并說出拼擺后兩組圖形的倍數關系，開放中鞏固和強化“倍”的概念。

以上環節，是以學生已有的知識經驗和動手過程形成的感性認識作基礎的，學生是在操作中學習和認識“倍”這個全“新”知識的，當然，這里的新知識在操作中似乎又不是那么“新”，它與“除”和“商”有了關聯，這就是以動手操作為主的操作性學習的意義所在。

（二）以直觀想象為主的畫圖列表式操作性學習

小學階段數學學習的“畫圖”主要是畫直觀圖，畫直觀圖的目的是借助圖形直觀來刻畫數量間的關系和變化，其本質是數向形的轉化“以形說數”；而小學生數學學習中的列表主要是填表，用列表的形式來對應反應數量間的關系和變化，并以集中和“一目了然”的方式來實現分析、比較、概括或歸納。學生在畫圖和列表的同時還要會思考和分析。畫圖和列表對于動手而言是技能，對于動腦而言是思維操作，也是直觀描述數量關系以解決具體問題的操作性學習方式。

以“求一個數的幾倍是多少”畫圖學習為例。如何將抽象的“求一個數的幾倍是多少”轉化成“幾個幾”，在學具操作的基礎上，讓學生借助線段圖的直觀形式來理解是最優選擇。這是教材第一次正式出現線段圖，讓學生經歷畫線段圖的過程，借助線段圖的直觀，使學生獲得大量的感性認識，從具體到抽象，實現從“加法結構”到“乘法結構”的變身，幫助學生建立數學模型。

教學環節設計：

出示例題：軍棋的價錢是8元，象棋的價錢是軍棋的4倍。

第一層：直觀形象中思考。你能用手中的學具把圖中的信息擺出來嗎？你是怎么擺的？為什么這樣擺？在動手后讓學生說操作的理由，體會要找準以誰為標準，再借助學具、根據數量關系，把“對象之間的關系”轉化成“圖形之間的關系”，進而思考分析，直觀感知一個數的幾倍其實就是求幾個幾。

第二層：逐步概括中化繁為簡。如果軍棋的價錢是80元呢？擺擺看。為什么你們不擺了？（學具不夠了，要擺很久……）引發學生思考更好的解決辦法（拿小棒代替、畫一條線段代替……），讓學生在認知沖突的思維中分析探索“80元該如何簡潔地表示”，再次抽象，培養學生借助圖形去思考的意識和能力。

第三層：畫圖分析中解決問題。通過引導及示范，讓學生根據文字中的關鍵信息，理解題意，轉化為圖，分析數量關系，解決問題。

線段圖是小學生解決數學問題的一個重要手段。利用線段圖把題意表述出來，把“復雜的數學問題變得簡明、形象”，讓隱藏的數量關系外顯，以簡馭繁，清晰概括地表達數量關系，也是培養學生幾何直觀能力的重要方法。[3]

以《烙餅問題》列表學習為例。在探究烙餅需要的最省時間時，為保證結論是嚴謹、唯一的，僅通過動手操作是不夠的，通過列表來作數學化的回應最為合適。

每次最多只能烙2張餅的最省時間和餅數（面數）關系表

上表中的信息一目了然：烙餅所要需時間只與所要烙的總面數有關，所需時間=張數×3。利用列表，既解決了烙餅方案多樣性的問題，更解決了用時最少的確定性問題。[4]

（三）以問題驅動為紐帶的身心聯動式操作性學習

小學數學操作性學習活動不是單純的動手操作或游戲，每一次行為操作都與一定的問題相聯系。以問題紐帶來驅動操作行為，使學習者始終圍繞問題來展開有目的的諸如“折疊”“畫圖”等外在性行為動作，同時，以問題思考為線索，依托在具體操作中的理解來保持分析、比較和類比、遷移等內在性思維狀態，這是身心聯動式操作性學習的基本特點。讓小學生的學習過程始終處于手眼并用、手腦并用的身心交融狀態也是以問題驅動為核心的操作性學習的理想境界。

以“角的度量”學習為例。如果按部就班地介紹量角器，讓學生記住量角步驟，這樣的教學不僅難以突破學習難點且對學生發展無益。對小學生而言，“掌握”就是親自操作后的發現與“創造”；“應用”就是模仿操作過程來解決問題。因此，在問題情境操作活動中創生一個量角器，并在創生中自然而然地掌握角的度量是最藝術的境界。

教學環節一：感知角的大小

1.畫角并說理：怎么比較角的大小？讓學生畫出三個大小不同的角，然后比較大小，說出比較的理由。

2.舉例并畫角：怎樣畫一個相同的角？學生舉身邊自己熟悉的特殊角，按其大小畫一個角。自然地引出三角尺中四個特殊的角30°、45°、60°、90°角。組織學生依據三角尺中的30°角在黑板上共同畫一個30°角，然后再組織學生畫45°、60°和90°角，以此來感知角的大小。

教學環節二：感知特殊角的度量

1.量角并說理：怎么驗證老師畫的角是30°？你們畫的角是45°、60°、90°嗎，怎么驗證？能用30°角去度量60°、90°角嗎？

2.量角并感悟：三角尺中的特殊角能夠量一般的角嗎？請學生用三角尺中的角量一量自己隨意畫的三個角，并比一比大小。以此感知角的度量，并明白特殊的角可以量盡天下與這幾個特殊角一樣大小的角，但是無法量一般的角，只能對其進行大小比較。

教學環節三：感知量角工具的制作過程

1.折角并感悟：能將一個角分成幾個更小的角嗎？如果一個角是2°，那么，它的一半是幾度？讓學生在紙上畫一個60°角，然后對折使得角的兩邊重疊，再次對折，算出每一次對折后角的度數。以此來感悟1°角的形成過程，會用折疊的辦法平均劃分一個角為幾個小角。

2.造角并感悟：會制作一個75°角嗎？會制作150°、180°角嗎？在第一個15°角上疊加形成不同度數的角。

3.細分平角并介紹量角器：要求將一個平角以折疊的方式細分為間隔相等的小角，在細分平角的同時認識量角器。

操作性學習要盡量避免行為操作與思維操作兩張皮的情況，以上環節是問題引導操作，操作中感悟問題的形式展開身心聯動的學習過程，把學習量角器變成“制作”量角工具，是對知識難點學習的突破。