數學核心素養觀下中考壓軸題評價功能及備考建議

鄭定磊

（福州第十八中學，福建 福州 350001）

《普通高中數學課程標準（2017年版）》提出了高中數學的六大核心素養。數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析。六個數學核心素養都由低到高的分成了三個水平：水平一、水平二、水平三。籠統地說，水平一要求學生能夠在熟悉的情境中，完成一定的要求；水平二要求在關聯的情境中，完成稍高的要求；水平三要求在綜合的情境中，完成最高的要求。

中考數學的命題者往往會把數學核心素養的考查放在十分重要的位置，試圖通過試題評價引導教學。筆者發現：作為全卷最難中考壓軸題都具備了一定的評價功能，也就是說其能夠測試出考生相關的數學核心素養處于哪一水平。這對于落實高中新課程標準中數學核心素養劃分為三個水平這一意圖具有重大意義。

一、分難度設置題型，多維度測試學生能力

在壓軸大題中圍繞著同一知識要點設置難度不同的三個小題，這三個小題分別對應上述的三個水平。第一小題測量考生是否掌握課本相關知識，并能直接應用（水平一），第二小題測量考生是否能通過聯想、類比，將題目條件轉化為相關課本知識進行解決（水平二），第三小題測量考生是否理解相關知識內涵，綜合分析解決陌生問題（水平三），從而實現多維度測試學生能力。以下這道2018年陜西省中考數學的最后一題正是采取這樣做法。

例1.問題提出

(1)如圖①，在△ABC中，∠A=120°,AB=AC=5，則△ABC的外接圓半徑R的值為 ．

問題解決

(2)如圖②，圓O的半徑為13，弦AB=24，M是AB的中點，P是圓O上一動點，求PM的最大值．

問題探究

(3)如圖③所示，AB,AC,BC是某新區的三條規劃路，其中AB=6km,AC=3km,∠BAC=60°，BC所對的圓心角為60°.新區管委會想在BC路邊建物資總站點P，在AB,AC路邊分別建物資分站點E,F.也就是，分別在線段BC,AB和AC上選取點P,E,F.由于總站工作人員每天要將物資在各物資站點間按P→E→F→P的路徑進行運輸，因此，要在各物資站點之間規劃道路PE,EF和FP.為了快捷環保和節約成本要使得線段PE,EF,FP之和最短，試求PE+EF+FP的最小值(各物資站點與所在道路之間的距離、路寬均忽略不計)．

圖①

圖②

圖③

這道題分為三個小題。很顯然，題（1）是學生們非常熟悉的題目，完成它的學生無疑具備了“幾何相關素養”的第一個水平。作為一道難度較低的題目，采用了填空題的形式，節約了考生答題的時間。題（2），圓的半徑是給定的，所以圓是確定的，由于弦AB的長是固定的，所以可以認為點M相對于圓心的位置也是確定的，于是問題就可以轉化為：求定圓上的動點到圓內定點距離的最小值。解此題，只要連接OM,OP，利用三角形兩邊之和大于第三邊，即OM+OP≥MP即可，題（2），未必是廣大考生都做過的，但是用這一方法求距離的最值，這樣的問題是初三學生比較熟悉的，因此，題（2）的情境屬于水平二所要求的關聯情境，能夠完成它就意味著學生處于水平二。

最后我們來看題（3）。題目要求在圓弧BC上找一點P，從它出發到達線段AB，再到達線段AC，然后返回點P，使得路徑最短。這道題的情境，絕大多數考生是完全陌生的，此時考生處于水平三所要求的綜合情境之中。怎么處理這道題呢？這就考查了考生分析問題的能力。問題的關鍵在于P點是在圓弧上，它最特殊，也最不好處理，那怎么辦呢？那就索性先忽略掉這個條件，就讓點P是∠BAC內的任意一點，也就是不考慮特殊情況，而是直接處理一般的情況，這也是常用的分析問題的方法。這樣就將問題轉化為了平時訓練過的最短路徑問題。進一步地分析又容易把問題轉化為第1、2小題。這其實就是考查考生是否具備合理的分析問題的能力，同時也考查了學生是否具備化歸的思想。縱使平常沒訓練過，那么考生如果能夠想起將軍飲馬問題（它是中考考生基本活動經驗），也是完全能思考下去的。因此，此題很好的考查了考生是否具備數學基本思想、基本活動經驗和分析問題的能力。能夠完成此小題的考生無疑在四基、四能上具備了很高的水平。章建躍先生認為落實了四能也就落實了核心素養。從這個意義上可以說，能夠處理好題（3）這樣陌生、綜合的情景，并且完成了解答的考生也就達到了核心素養的水平三。

二、創設一題多解題型，考查學生個體思維素養

在壓軸題的一個小題中，考查學生個體思維素養，這就要求試題有多種解法，不同類型的解答反映出考生的核心素養處于不同水平。考生只是會用相關知識解決特殊性問題，還是已理解知識內涵能解決一般性問題。借鑒SOLO分類理論的思想（詳見參考文獻［2］），考慮到數學核心素養的三個水平，可以將考生的解答對應的分成三個水平（0分卷以及考生所做出的解答對解決問題毫無幫助的情形，這里不做分析）：考生能夠在試題中提取出熟悉的數學情境，并在這個情境中完成一定的計算和推理，但無法完成整個題目的解答（水平一）。采用了較多的知識，做了大量具體的計算，完全或基本上解決了問題，但是解法往往顯得較為繁瑣，同時其解法只能處理題目的特殊情況（水平二）。解決問題時，應用了最少的知識，只需做較少的計算，解答過程更為簡潔，完全解決了問題，解決過程往往能夠揭示問題的本質，解法可以處理一般情況或對問題進行推廣（水平三）。以下的2018年上海中考第25題的第（2）小題正是采用上述途徑。

例2.已知圓O的直徑AB=2，弦AC與弦BD交于點E．且OD⊥AC，垂足為點F．（1）如圖1，如果AC=BD，求弦AC的長；（2）如圖2，如果E為弦BD的中點，求∠ABD的余切值；（3）連結BC,CD,DA，如果BC是圓O的內接正n邊形的一邊，CD是圓O的內接正(n+4)邊形的一邊，求△ACD面積．

圖1

圖2

備用圖

對于題（2），考查兩種解法。

圖3

解法一：連接AD,OE.如圖3，易知:OE是△ABD的中位線，故而：OE//AD,OE=AD,===,所以OF=OD=,DF=OD=由勾股定理得：AF=,EF=AF=.因為 OB=OD,所以∠ABD=∠ODB,cot∠ABD=cot∠ODB=.

圖4

解法二：連接AD.如圖4.因為OD⊥AC,所以弧CD=弧AD,所以∠DAC=∠DBA,又因為∠ADE=∠BDA,所以△DAE∽△DBA,所以=.又E為弦BD的中點，所以DB=2DE,所以=，即：DA2=2DE2，所以cot∠DBA=cot∠DAC==

解法一直接計算具體線段的長度，主要應用了三角形的中位線定理、相似三角形的性質、勾股定理。解法二不計算具體的線段，而是直接計算相應線段之比，主要應用了相似三角形的性質，同時它可以處理一般的情況，即DE與BE的值是任意值時的情形（題中的比值是1）。對比兩種解法，解法一屬于核心素養的水平二，解法二屬于核心素養的水平三，解法二要優于解法一，反映出解法二的學生“幾何相關素養”要優于解法一的學生。

如果我們把如果E為弦BD的中點改為DE=2BE，這個時候，考生面對的是更一般的情形，那么解法一中的中位線等知識就用不上了，這時，直接求具體線段的難度就比較大了，最好的辦法就是采用解法二的方法，這樣一來題目的難度加大了，這就很難把處于水平一、水平二考生區分開來，因為處于這兩個水平的學生可能什么也做不了，只有處于水平三的考生能夠完成解答。因此，更改后的題目沒有原題好。

三、把握評價內核，精準備考中考數學壓軸題

鑒于上述論述，中考壓軸題內在考查的是學生數學核心素養水平的高低，故而教師在壓軸題教學中的立足點應是培養學生的核心素養，增強學生對知識理解應用的能力，切不可只是為了解題而教題。對于每一道壓軸題，應展現思索的過程，深刻地分析知識點的應用，歸納內在的思想方法，啟發學生的聯想。注重個體間的差異性，分層次教學。對此，筆者提出如下教學建議：

1.把握循序漸進的原則，由易到難進行教學。根據教育學基本原理，學生能力的形成絕不是一蹴而就，而是從低水平向高水平逐漸發展形成。故而筆者建議教師在中考壓軸題的教學過程中切勿只立足水平三的教學，而應先重視學生基礎，重視定理公式的理解掌握（水平一），再提高學生對其聯想類比，應用能力，確保學生能熟練應用（水平二），最后再提高學生的綜合分析能力（水平三）。

2.采用從特殊到一般的方法，重視發散性思維的培養，提倡一題多解。正如前文所述，許多中考壓軸題考查的是一般情形數量變化規律，學生往往不易理解。這時可以采用特殊化的方法，將一般的情形轉化為特殊的情形，歸納特殊情形解決方法（水平二），看看是否能推廣至一般情況（水平三）。提倡一題多解，讓學生認識解法的本質（水平二），嘗試分析解法一般性及特殊性（水平三）。

3.歸納同類型壓軸題，進行變式訓練。筆者建議對中考壓軸題分類歸納，進行專項訓練，讓學生對同一類型問題有更深層次的認識，形成分析問題的方法（水平二），再通過變式訓練，讓學生更能領會解決這些問題方法的意義，增強應用的能力（水平三）。

中考數學試題的命制是一項創造性的活動，在數學核心素養的背景下，如何命制出具有評價功能的壓軸題更是留給中考命題者的挑戰。一方面，希望出現越來越多優秀的中考數學壓軸題能夠更好地考查學生的數學能力，更好地評價學生數學核心素養水平；另一方面，希望通過中考壓軸題對初中數學教學引導，教師能注重學生內在分析、應用能力的培養，開拓學生的思維，全面提高學生數學核心素養。