基于GA和DE的非均勻等離子體介質(zhì)參數(shù)重構(gòu)算法研究

馮雪健，鄧浩川，韋笑，殷紅成

(1.中國傳媒大學信息與通信工程學院，北京 100024；2.電磁散射重點實驗室，北京 100854)

1 引言

電磁波的散射反演是電磁計算領(lǐng)域一個重要方向，在過去的幾十年里，被廣泛應用于醫(yī)學診斷、無損檢測和地下探測等領(lǐng)域。散射反演通常是指通過目標電磁波的散射場來重構(gòu)目標內(nèi)部介質(zhì)的參數(shù)分布，但是由于散射反演問題有很嚴重的非線性和病態(tài)性，所以如何快速有效地重構(gòu)目標內(nèi)部介質(zhì)參數(shù)分布是目前散射反演領(lǐng)域的研究熱點。具有色散特性的冷等離子廣泛分布于地球電離層[1]，其參數(shù)的有效重構(gòu)對于軍事目標成像和通信等都有很大的現(xiàn)實意義。

近年來，國內(nèi)外學者對色散介質(zhì)的散射反演問題進行了廣泛的研究，并在多種算法上取得了顯著的成果。Sailing He等基于FDTD算法和共軛梯度法反演了一維分層色散有耗介質(zhì)的電參數(shù)分布[2]，并與實驗室測量結(jié)果進行了對比驗證。在2011年，文獻[3，4]中用類似的方法給出了一維洛侖茲模型和二維德拜模型的介質(zhì)參數(shù)反演算法。以上方法均是通過嚴格的數(shù)學方法求重構(gòu)參數(shù)梯度并與梯度類優(yōu)化算法相結(jié)合來重構(gòu)目標參數(shù)分布的，具有較高的計算精度，但容易陷入局部最優(yōu)解且計算過程復雜。作為蒙特卡羅方法的一種，遺傳算法(Genetic Algorithm -GA)在文獻[5]中被用于參數(shù)重構(gòu)。在2005年，文獻[6]將粒子群優(yōu)化(Particle Swarm Optimizer-PSO)算法應用于微波成像。隨后，A.Semnani等提出了傅里葉級數(shù)展開和差分進化(Differential Evolution-DE)算法相結(jié)合的介質(zhì)參數(shù)重構(gòu)方法，并且與立方B曲線展開方法進行了對比[7]。2017年，Z.Q.Zhang等人用頻域雙共軛梯度快速傅里葉變換(bi-conjugate gradient fast Fourier transform-BCG-FFT)算法作為前向正演算法和 變分波恩迭代(variational Born iterative method-VBIM)算法作為后向重構(gòu)算法，重構(gòu)了非磁冷等離子體目標的參數(shù)分布[8]。對于非均勻的等離子體介質(zhì)，本文采用時域電流密度卷積FDTD 方法為正演算法并分別與GA和DE算法[9]相結(jié)合構(gòu)成等離子體介質(zhì)參數(shù)反演算法。仿真實驗中采用寬頻帶的高斯脈沖源作為激勵源，相比域頻域方法能夠有效減少算法整體復雜度。仿真結(jié)果表明，當反演區(qū)域為均勻等離子體介質(zhì)和非均勻兩層等離子體介質(zhì)時兩種反演算法都能有效的重構(gòu)等離子體介質(zhì)參數(shù)，并且DE算法有比GA算法更好的重構(gòu)精度。當反演區(qū)域為有嚴重病態(tài)性的多層非均勻等離子體介質(zhì)時，兩種反演算法的參數(shù)反演結(jié)果都變得不夠準確。最后引入立方B樣條曲線展開法對等離子介質(zhì)參數(shù)進行展開，仿真實驗表明改進算法能夠使反演算法快速收斂并且能有效改善參數(shù)反演的準確度。

2 理論推導

在各向異性色散碰撞磁化等離子體介質(zhì)中，Maxwell方程組和相關(guān)的本構(gòu)方程可以寫為：

(1)

(2)

(3)

圖1 一維等離子體介質(zhì)參數(shù)重構(gòu)計算模型

(4)

其中i，k分別表示仿真實驗的入射點和接收點，T為觀察點處的總采樣時間，η0為自由空間波阻抗。

用GA算法作為優(yōu)化算法時，考慮到對多層非均勻等離子體參數(shù)進行反演時有較多的反演參數(shù)，如果采用二進制編碼則會導致編碼長度過長從而造成編程實現(xiàn)困難。因此，本文將對反演參數(shù)進行實數(shù)編碼，于是需要對GA算法的選擇、變異和交叉操作進行適當修改。

(1)選擇操作。由于反演問題要求的是代價函數(shù)Fcost的最小值問題，于是在采用輪盤法進行選擇操作時需要在求個體選擇概率時做如下修改：

1.對個體代價函數(shù)值進行反轉(zhuǎn)得到個體適應度值：

fitvalue(i)=1/Fcost(i)

(5)

2.計算得到所有個體適應度值的總值：

(6)

3.計算得到個體的選擇概率值：

selection_value(i)=fitvalue(i)/fitvalue_total

(7)

其中i=1，2，3...Np表示種群中的個體。經(jīng)過上述三步操作可以確保越小的Fcost擁有越大的被選擇概率。

(2)變異操作。本文中實數(shù)編碼的變異形式為：

pop(i，：)=pop(i，：)+λm·rand·pop(i，：)

(8)

其中pop(i，：)表示第i個種群個體的參數(shù)向量，λm為變異系數(shù)，rand為(-1，1)之間的隨機數(shù)。

(3)交叉操作。本文中對于隨機選擇的兩個實數(shù)編碼個體(i，j)參數(shù)向量的交叉操作為：

pop(i，：)=pop(i，：)+λc·(pop(i，：)-pop(j，：))

(9)

pop(j，：)=pop(j，：)+λc·(pop(j，：)-pop(i，：))

(10)

其中λc為交叉系數(shù)。

在用DE進化算法作為優(yōu)化算法時，與GA算法區(qū)別主要體現(xiàn)在變異和交叉這兩個操作上。本文中，變異和交叉的形式分別如下：

(1)變異操作。差分進化算法中實現(xiàn)變異的方法是：在種群中隨機選取兩個不同個體，將它們的參數(shù)向量進行差值運算并乘以變異概率用以生成新的個體。

temp_popn+1(i，：)=popn(rand_1，：)+λm·(popn(rand_2，：)-popn(rand_3，：))

(11)

其中n表示進化的代數(shù)，λm為變異概率，rand_n，n=1，2，3表示隨機選取的[1，Np]之間的數(shù)，Np為種群數(shù)目。

(2)交叉操作。差分進化算法中實現(xiàn)交叉操作的方法是：對第n代種群個體(popn(i，：))和經(jīng)過變異操作后的臨時種群(temp_popn+1(i，：))個體進行交叉操作來生成第n+1代種群個體。

(12)

其中，j表示種群個體參數(shù)向量中的第j個參數(shù)分量，RC表示交叉概率，j_rand為隨機選取的必交叉分量用來保證每個個體最少有一個分量進行了交叉操作。

GA、DE算法用于等離子體介質(zhì)參數(shù)的反演算法流程如圖2所示。

圖2 反演算法流程圖

3 散射參數(shù)的表示方法

本文分別用了兩種參數(shù)重構(gòu)方法：一種是直接表示法，一種是立方B樣條曲線展開法。其中，對均勻等離子體和兩層非均勻等離子體介質(zhì)目標參數(shù)重構(gòu)情形采用了直接表示法，對于多層非均勻等離子體介質(zhì)目標參數(shù)重構(gòu)情形采用了直接表示和立方B樣條曲線展開兩種方法表示。

(1)直接表示法。假設(shè)等離子體介質(zhì)目標區(qū)域離散為N個離散網(wǎng)格，每個網(wǎng)格的介質(zhì)參數(shù)相互獨立，那么一維反演問題用直接表示法可以寫成如下形式：

(13)

(14)

(15)

其中

(16)

(2)立方B樣條曲線展開。運用曲線擬合的思想，將需要反演的非均勻等離子體區(qū)域介質(zhì)參數(shù)值看作是曲線上的一些離散點，然后用一段曲線近似擬合。立方B樣條曲線擬合作為近年來廣泛用于工程應用的曲線擬合方法，擁有良好的局部擬合效果。在立方B樣條擬合中，通過一系列稱為節(jié)點的實數(shù)將整個擬合區(qū)域劃分為很多空間間隔。空間間隔長度也就是兩個相鄰節(jié)點之間的距離，用Δl表示。節(jié)點的分布形式有均勻分布和非均勻分布兩種，由于我們通常沒有任何關(guān)于反演問題中重構(gòu)區(qū)域的參數(shù)曲線形狀的先驗信息，于是本文中將采用節(jié)點均勻分布的形式。由于立方B樣條的基函數(shù)是三階的，于是每個基函數(shù)需要五個節(jié)點也即四個空間間隔來確定。因此，擬合曲線上每一個點的值都需要四個包含這個點的基函數(shù)來組合確定。立方B樣條曲線的基函數(shù)形式為：

(17)

(18)

(19)

(20)

其中t∈ [0，1]為所求點到所在間隔區(qū)間起始節(jié)點的距離與間隔區(qū)間長度Δl的比值。假如對于一維反演問題有Nc個控制點，那么整個反演區(qū)域被劃分為Nc+3個間隔。那么有：

(21)

則擬合區(qū)間中某一點x對應的t值為：

(22)

其中Ni表示點所在的間隔區(qū)間，“integer”表示往零方向取整數(shù)。

于是，等離子體介質(zhì)參數(shù)在立方B樣條曲線中可以表示為：

(23)

(24)

(25)

其中1≤Nc-i≤Nc。

4 仿真實驗

如圖1所示，等離子體重構(gòu)區(qū)域長度為L=22.5cm，正演算法采用電流密度卷積FDTD。激勵源為調(diào)制高斯脈沖，表達式為

(26)

其中w=2πf，f=5e8Hz，τ=60dt，t0=0.8τ。離散網(wǎng)格大小設(shè)為Δx=0.75cm，則等離子體區(qū)域被離散為30個網(wǎng)格。c為自由空間的光速，離散時間步長為Δt=Δx/c/2。GA和DE算法的種群數(shù)都設(shè)為50個、，最大迭代步數(shù)設(shè)為200，電流密度卷積FDTD正演計算時間步數(shù)為1000步。遺傳算法的交叉和變異概率都為0.5，差分進化算法的變異和交叉概率為λm=RC=0.5。

實驗一，目標等離子體區(qū)域為均勻等離子體介質(zhì)情形。已知目標等離子體區(qū)域為均勻等離子體介質(zhì)，則式(13)-(15)中的系數(shù)an、bn、cn在不同離散網(wǎng)格的值都是相同的，也即是在重構(gòu)均勻等離子區(qū)域介質(zhì)參數(shù)時只有3個未知量。表1為等離子體介質(zhì)參數(shù)反演的絕對誤差和相對誤差，其中yT表示理論值，yR表示反演值，可以看出以GA算法和DE算法為優(yōu)化算法來重構(gòu)均勻等離子體介質(zhì)參數(shù)都有很好重構(gòu)準確度，并且DE算法有比GA算法更好的重構(gòu)準確度。圖3為GA算法和DE算法重構(gòu)等離子體介質(zhì)參數(shù)時代價函數(shù)值隨進化代數(shù)的變化曲線，也可以看出DE算法有更好的重構(gòu)準確度。

表1 實驗一中的等離子體介質(zhì)參數(shù)反演的絕對誤差和相對誤差

圖3 實驗一中 GA算法和DE算法重構(gòu)等離子體介質(zhì)參數(shù)時代價函數(shù)值隨進化代數(shù)的變化曲線

實驗二，目標等離子體區(qū)域為兩層非均勻等離子體。在這個實驗中，已知等離子體區(qū)域為等長的兩層均勻等離子體介質(zhì)，長度為L1=L2=L/2。則式(13)-(15)中的系數(shù)an、bn、cn在L1、L2內(nèi)的離散網(wǎng)格的值是不相同的兩種情形，也即是在重構(gòu)均勻等離子區(qū)域介質(zhì)參數(shù)時有6個未知量。從表2為等離子體介質(zhì)參數(shù)反演的絕對誤差和相對誤差，可以看出以GA算法和DE算法為優(yōu)化算法來重構(gòu)兩層非均勻等離子體介質(zhì)參數(shù)都有很好重構(gòu)準確度，并且DE算法有比GA算法更好的重構(gòu)準確度。圖4為GA算法和DE算法重構(gòu)等離子體介質(zhì)參數(shù)時代價函數(shù)值隨進化代數(shù)的變化曲線，也可以看出DE算法收斂更快并有更好的重構(gòu)準確度。

表2 實驗二中的等離子體介質(zhì)參數(shù)反演的絕對誤差和相對誤差

圖4 實驗二中GA算法和DE算法重構(gòu)等離子體介質(zhì)參數(shù)時代價函數(shù)值隨進化代數(shù)的變化曲線

實驗三，目標等離子體區(qū)域為多層非均勻等離子體。在這個實驗中，已知等離子體區(qū)域的碰撞頻率ν=2.0×108和旋轉(zhuǎn)頻率ωb=3.0×108，每個離散網(wǎng)格的等離子頻率ωp都是未知的。因此，用直接法表示時由式(13)可知an有30個未知量，用立方B樣條曲線展開時未知量數(shù)等于控制點數(shù)Nc，這里選取Nc=5。圖5為GA算法和DE算法重構(gòu)的多層非均勻等離子體介質(zhì)參數(shù)與理論值對比(a)直接表示法，(b)立方B樣條展開法，可以看出無論是GA算法還是DE算法，用立方B樣條曲線展開法表示參數(shù)改進算法都有比直接表示法更好的重構(gòu)準確度。并且，由圖(b)可以看出，DE算法和立方B樣條曲線展開結(jié)合的改進算法有比GA和立方B樣條展開結(jié)合的改進算法更好的重構(gòu)準確度。

(a)直接表示法

(b)立方B樣條展開法圖5 實驗三中GA算法和DE算法重構(gòu)的等離子體介質(zhì)參數(shù)與理論值對比

5 結(jié)論

本文將等離子體時域正演算法和遺傳算法、差分進化算法相結(jié)合，研究了非均勻等離子體介質(zhì)的參數(shù)重構(gòu)。針對有嚴重病態(tài)性的多層非均勻等離子體，提出了用立方B樣條曲線展開對等離子體介質(zhì)參數(shù)進行表示，與直接參數(shù)表示法對比表明，改進算法有更快的收斂速度和更好的準確度。通過相同條件下GA算法和DE算法對比可以發(fā)現(xiàn)，DE算法有比GA算法更快的收斂速度和介質(zhì)參數(shù)重構(gòu)準確度。