一階常微分方程初值問題的數值解法

支越

(中國傳媒大學信息科學與技術學部，北京 100024)

1 引言

基于上述假設，根據常微分方程的理論，可知初值問題在區間[t0，T]上有唯一的連續可微的解u(t)。

2 數值方法求解實例

2.1 解析解

解析解(準確解)：u=-e-t+t2-t+1。

2.2 歐拉法

歐拉法公式：un+1=un+hf(tn，un)。

2.3 梯形法

2.4 改進歐拉法

2.5 RK法

其中Wi，αi，βij均為待定系數，實際計算時，用un代替u(tn)，上述公式稱為s級RK方法。

2.6 Adams法

Adams方法是一種線性多步法。

Adams四階預測—校正格式(PECE)，這是一個四步方法，計算un+4時要用到un+3，un+2，un+1，un，因此它不是自開始的，一般需要四階RK法為其提供出發值：u1，u2，u3。(p為階數，p=4)

Efn+4=f(tn+4，un+4)

3 實例的各類數值解法比較

利用VC++6.0，運行各類數值解的C語言程序，求解本文中的實例，求解區間[0，1]，步長h=0.1，結果如表1所示。

表1 數值解法

圖1 歐拉法 圖2 歐拉法與改進歐拉法

圖3 四階經典RK法 圖4 Adams四階預測-校正格式

從以上圖1-4可以觀察出，歐拉法的數值解與解析解相差較大，用梯形法和改進歐拉法求得的數值解優于歐拉法，但弱于四階經典RK法和Adams四階預測—校正法，RK法和Adams法的數值解非常接近解析解。

4 結論

歐拉法用均差代替導數進行計算，微分方程的解u=u(t)稱作它的積分曲線。從幾何上來解釋歐拉法，歐拉法做出的折線PnPn+1是落在積分曲線u=u(t)上的頂點Pn的切線，頂點Pn+1明顯的偏離了積分曲線u=u(t)，可見歐拉法是粗糙的，用歐拉法求出的數值解與解析解相比較，誤差較大。

梯形法用迭代法求解，歐拉法為其提供迭代初值，但是迭代反復，計算量大。改進歐拉法簡化了算法，明顯改善了精度。

四階經典RK法是RK法中常用的數值解法。關于Adams四階預測—校正格式，一般需要四階經典RK法為其提供初值，編程代碼相較于前面的方法，計算量明顯增多，但精度更高，數值解很接近解析解。