多步法阿當姆斯方法的穩定性分析

李凱

(中國傳媒大學信息科學與技術學部，北京 100024)

1 引言

在以往對微分方程初值問題的研究中，我們對一個數值方法進行理論分析優劣時，常常對相容性、收斂性等有關方面進行分析，考查一個方法對舍入偏差的敏感性，這便是數值穩定性問題，這不單與計算公式有關，并且與微分方程性質有關。

2 線性多步法的構造——數值積分法

討論常微分方程初值問題

(1)

的數值求解，其中f為t和u的已知函數，u0為給定的初值。易知

(2)

我們用被積函數f(t，u(t))的q次Lagrange插值多項式

用來近似代替式(2)中的被積函數，這里{ti}為等距的插值點列，h=ti+1-ti，而

于是得到近似公式

(3)

其中

(4)

在式(3)中，用un代替u(tn)，仍用fn表示f(tn，un)，用等號代替≈，則得到線性多步方法公式

(5)

3 阿當姆斯顯式方法

對k，j和q的差別選擇，得到不同類型的公式。對k=1，j=0和q=0，1，2，…，可以得到阿當姆斯顯式方法：

un+1=un+h(βq0fn+βq1fn-1+…+βqqfn-q)，

(6)

其中，公式系數如表1，最常用的是q=3的情形。

表1 阿當姆斯顯式方法系數表

4 阿當姆斯隱式方法

對k=0，j=1和q=0，1，2，…，可以得到阿當姆斯隱式方法(用n+1代替n)

un+1=un+h(βq0fn+1+βq1fn+…+βqqfn-q+1)

(7)

其中，公式系數如表2，最常用的是q=3的情形。

表2 阿當姆斯隱式方法系數表

顯然，公式(7)不是n+1的一個明顯表達式，而是以n+1為未知量的非線性方程。

5 兩種多步法的穩定性以及穩定區間

易得知兩種公式不同步數不同階數情況下的誤差常數如表3、表4，其中q為階數，cq+1為誤差常數。

表3 阿當姆斯顯式方法不同階下的誤差常數

表4 阿當姆斯隱式方法不同階下的誤差常數

對于k步阿當姆斯顯式及隱式方法的絕對穩定域較為復雜，通常采用根軌跡法，暫且不作討論，把它們的絕對穩定區間分別記為(θA，0)及(θB，0)，則其中θA及θB之值可列表如下。

k1234θA-2-1-116-310θB-∞-6-3-9049

6 總結

通過利用Matlab編程計算分析及以上表格得出：同階的隱式方法與顯示方法相比，步數少1，誤差常數的絕對值小5-13倍，絕對穩定區間又大過10倍以上；總的來講，阿當姆斯隱式方法優于顯式方法。