基于雙層規劃的反恐應急設施選址模型及算法

項 寅

(蘇州科技大學商學院，江蘇 蘇州 215009)

1 引言

恐怖活動是指非國家的行動者為獲取一定的經濟、政治或宗教目的，利用威脅、恐嚇或強迫等手段來實施的違法暴力事件[1]。當前，中國面臨的恐怖主義威脅同樣嚴峻。以“東突”為首的恐怖組織在中國西部邊境地區頻頻制造恐怖活動，嚴重影響當地的和平、穩定與發展。

特別的，恐怖活動常以人流密集地區的平民作為襲擊目標，進而極易導致嚴重的襲擊后果。例如：2001年9月11日，恐怖分子劫持民航飛機撞向世貿中心和五角大樓，導致2996人死亡，造成經濟損失2000億美元；2009年7月5日，中國烏魯木齊市發生由恐怖組織策劃的打砸搶事件，導致197人死亡，1900人受傷，造成經濟損失6895萬人民幣。

因此，恐怖襲擊一旦發生，如何提高應急救援能力并降低襲擊損失，成為了當前反恐研究的重要課題。許多學者針對反恐應急設施選址問題展開研究，并通過應急設施的合理布局來縮短應急人員和物資的到達時間，進而迅速遏制襲擊后果的惡化。

21世紀之前，應急設施選址研究多應用于地震、颶風、洪水、火災等自然災害發生后的快速救援和有效控制，相關研究主要在靜態的p-median模型[2-3]、p-centre模型[4-5]、集覆蓋模型[6-7]、選址-分配模型[8]，以及選址-路徑模型[9]的基礎之上，逐步拓展到多目標[10-11]、多物資類別[12-13]、隨機模糊[14-15]或動態[16]等情形，進而更好地擬合現實情境。由于自然災害的發生概率并不受選址策略的影響，因此傳統的應急設施選址問題只涉及政府一類決策主體，因而上述模型大多被構建為以系統損失最小化為目標的單層規劃模型。相關求解算法也相對成熟，包括分支定界結合拉氏松弛的算法[3]、列生成算法[2]、各類啟發式算法[5,10]和元啟發算法[11,13,14,16]。

21世紀之后，反恐應急設施選址成為一類新的研究問題。不同于自然災害，恐怖分子具有理性行為人的特點，其襲擊策略會隨政府選址策略的變動而做出反應。因此，傳統的p-median模型、p-centre模型、集覆蓋模型以及衍生的各類模型就不能用來反映政府和恐怖分子間的博弈和競爭關系。鑒于此，Berman等[17-18]分別考慮了選址信息公開和隱蔽這兩種情形，并利用博弈論方法將上述情形下的反恐應急設施選址問題分別構造為斯坦克伯格博弈選址模型和納什博弈選址模型。隨后，國內學者韓傳峰等[19]和柴瑞瑞等[20]進一步提出了選址信息公開時，存在生化恐怖襲擊和連續恐怖襲擊情形的斯坦克伯格博弈選址模型。

然而，上述研究存在一些不足：一方面，為方便求解，現有博弈選址模型的構造思路均是通過復雜化目標函數的方法來最大程度地減少約束條件，雖然模型的整體結構較為簡單，但是很難在此基礎上應用或改進已有關于求解組合優化問題的一些精確解算法，相反只能針對簡單的拓撲網絡進行離散頂點的窮舉計算，或利用元啟發算法求得近似解。例如，文獻[18]和文獻[20]僅僅針對3個頂點和4個頂點組成的拓撲網絡進行數值分析，而文獻[19]的遺傳算法又很難保證精確性。另一方面，為方便計算，現有研究均把設施數量作為約束條件，忽略了不同地區設施建造成本的差異性以及反恐預算經費對于選址數量的約束。

因此，本文旨在打破上述瓶頸，考慮存在經費預算約束的情形，將反恐應急設施選址問題構造為一類離散型雙層規劃模型，并設計有效的精確解算法，以期擴大現有反恐應急設施選址研究所應用的拓撲網絡規模，并為今后考慮隨機、動態、時變網絡中的反恐設施選址相關研究提供一類基礎的整數規劃模型。

2 模型構建

2.1 基本分析

反恐應急設施選址問題涉及政府和恐怖分子兩類決策主體。其中，政府是設施選址的決策者，恐怖分子則在給定的設施布局下選擇最優的襲擊目標。因此，反恐應急設施選址要解決的基本問題是：給定一個離散的交通網絡，恐怖分子通過觀察應急設施的位置來做出最優反應，并以最大化襲擊損失為目標來選擇網絡中的某個頂點進行襲擊，政府則需要在給定的預算經費下，選擇網絡中的若干頂點建立應急設施，進而使恐怖分子最優襲擊策略下的損失最小。

上述問題涉及兩個方面的決策問題，即政府的選址問題和恐怖分子的襲擊目標選擇問題。其決策順序為：首先，政府在經費約束下選擇網絡中的若干頂點建造應急設施；隨后，恐怖分子觀察到設施布局后，以最大化襲擊損失為效用準則，選擇網絡中的某一個頂點襲擊。

顯然，在決策過程中，政府的選址方案通過縮短襲擊后最近設施的救援時間來減少襲擊損失，因此設施的選址布局會影響恐怖分子襲擊頂點的選擇；相反，恐怖分子可實施的各類襲擊策略也會反過來成為政府選址時的考慮因素。因此，反恐應急設施選址問題是一個典型的雙層規劃問題。如圖1所示，政府處于領導地位，其決策屬于上層規劃，通過設施的選位來最小化最優襲擊策略下的最大損失；恐怖分子處于從屬地位，其決策屬于下層規劃，需結合設施的布局，選擇最優襲擊目標來最大化襲擊損失。

圖1 反恐應急設施選址雙層規劃模型

2.2 問題描述

一般地，反恐應急設施選址問題描述為：在給定的某區域交通拓撲網絡G(N,A)中，代表各城市的頂點集用N={i:i∈N}表示，頂點總數記為n；代表城市間公路路段的有向邊集用A={(i,j):(i,j)∈A}表示。設dij為頂點i和j間的最短路距離，并假設救援物資始終沿最短路徑運輸；設wi為頂點i發生襲擊后的救援物資需求量；設ci為頂點i處的設施建造成本。

在給定的拓撲網絡中，政府為先行者，首先在有限經費B下選擇網絡中若干頂點建造應急設施，在此假設每個設施的容量無限大，則政府的0-1決策變量可用xj表示，xj=1表示在頂點j建造應急設施，否則為0；恐怖分子為跟隨者，觀察到政府選址方案后選擇某一個頂點發動襲擊，在此假設襲擊一定成功，且救援物資一定從距離襲擊點最近的設施輸出，則恐怖分子的0-1決策變量用zi表示，zi=1表示襲擊頂點i，否則為0；yij則表示襲擊發生后的救援指派方案，它在本模型中作為一類輔助決策變量，并用于救援距離表達式的構建，yij=1表示受襲點i的需求物資由設施j提供，否則為0。因此，反恐應急設施選址所需解決的問題是：政府對設施的選址點進行決策，使得恐怖分子最優襲擊策略下的損失最小。

參考文獻[19]，在此將襲擊損失的表達式定義為如下函數：

Loss

(1)

2.3 模型構建

結合問題描述中政府和恐怖分子之間的主從對策關系，將反恐應急設施選址問題構建為如下雙層規劃模型：

(2)

(3)

xj={0,1}, ?j∈N

(4)

其中，y,z為下層規劃的解

(5)

(6)

(7)

yij≤xj, ?i∈N,j∈N

(8)

(9)

zi={0,1}, ?i∈N

(10)

yij={0,1}, ?i∈N,j∈N

(11)

模型中，式(2)-(4)是關于政府選址的上層規劃，式(5)-(11)是關于恐怖分子襲擊目標選擇的下層規劃。上層規劃所決策的x會以參數形式出現于下層規劃，并影響下層變量y,z的決策。當下層規劃決策出y,z后，上層規劃的目標函數值也就確定，并可作為上層變量x評價和更新的依據。因此，對于任意一個上層變量x，都有唯一的Loss與之對應，并表示針對該選址策略時，恐怖分子最優反應下的襲擊損失。由于x是離散變量，可行解的數量是有限的，因此通過以上模型的求解必能得到一個最優的選址策略，即x*∈argminxLoss。

引理1. 下層規劃(5)-(11)中，約束(7)-(9)保證了在上層選址變量x參數化時，無論襲擊變量z取何值，有且僅有唯一的救援指派變量y與之對應，且一定為已有選址點到襲擊點的最近指派方案。

證明：首先，約束(7)包含n個等式約束，由于只能襲擊一個節點，因此z確定后，僅有1個等式約束的右邊項為1，此時可行指派方案從n2個縮減為n個，均為指向襲擊節點的指派方案。其次，約束(8)包含n2個不等式約束，假設設施數為3，則約束(8)進一步將n個可行解縮減至3個，且均表示從現有設施指向襲擊點的指派方案。最后，最近指派約束(9)保證了最終的指派方案一定為3個可行方案中救援距離最短的一個。因此，以上引理可得證。

以圖2為例，固定選址變量為x1=0,x2=x3=1，并計算當襲擊變量為z1=1,z2=z3=0時，滿足約束(7)-(9)的指派方案。

圖2 一個簡單的圖例說明

結合圖2，約束(7)根據指標i的不同取值所展開后的等式約束包括：

(12)

約束(8) 根據指標i,j的不同取值所展開后的不等式約束包括：

(13)

約束(9) 根據指標i,j的不同取值展開后的不等式約束包括：

當i=1和j∈{1,2,3}時包含的約束為：

(14)

當i=2和j∈{1,2,3}時包含的約束為：

(15)

當i=3和j∈{1,2,3}時包含的約束為：

(16)

顯然，式(12)限定可行指派方案只能在y11,y12,y13中選擇，式(13)進一步壓縮到y12,y13，式(14)則排除了y13并得到唯一指派方案y12，這顯然是設施點2,3中距離襲擊點1最近的指派。同理，一一測試x和z取其他值的情形后，仍可證明引理1的結論成立。

證畢！

3 下層規劃求解

顯然，模型(2)-(11)的上層規劃結構簡單而下層規劃相對復雜，尤其是目標函數(5)中的非線性乘積項ziyij，增加了下層規劃的求解難度。常規處理思路可以是增加一個新的0-1變量uij=ziyij，并通過添加約束zi+yij-uij≤1,?i,j∈N和約束zi+yij≥2uij,?i,j∈N的方法進行線性化處理，但其缺點是增加了決策變量和約束的數量，進而降低了計算的時間效率。

然而，由引理1可知，上層選址變量x參數化后，每給定一個襲擊變量z，就有唯一的最近指派方案y與之對應。因此，可充分利用這一性質，通過襲擊節點的窮舉來實現下層規劃的簡便計算。具體思路為：在給定選址方案x下，對n種可行的襲擊方案z進行窮舉，依次根據約束(7)-(9)以確定每類襲擊情況下的最近救援指派方案y，隨后將指派和襲擊方案一起代入目標函數(5)計算襲擊損失。最后選擇襲擊損失最大時所對應的襲擊節點作為下層規劃的最優解。相關偽代碼如下：

為方便計算，算法1中的變量z用自然數編碼，

主程序中的第3行-第5行表示將最短距離矩陣d中的元素逐行地賦給向量dis，這樣dis=[d11…d1n,d21…d2n,…,dn1…dnn]正好與y中每個元素一一對應。第5行-第14行為每個襲擊點i

算法1. 輸入:任意兩點間的最短距離矩陣d,權重向量w,參數α,β,γ上層變量^x主程序:依次生成包含n和n2個零元素的向量U和dis2. for k = 1,2,…,n do3.矩陣d的第k行元素賦給向量dis的第(k-1)·n+1到第k?n個元素4. end for5. for i = 1,2,…,n do6. 生成包含n2個零元素的向量y7.生成包含n個元素的向量ad,其中每個元素初始賦值為無窮大8 for j = 1,2,…,n do9. if ^x的第j個元素為1 then 矩陣d的i行第j元素賦給向量ad10. end for11. 查找向量ad中各元素的最小值在矩陣dis中的位置序,并賦給h12. 零向量y中第h個位置的元素賦值為113. 計算α·dis·yT+β·ln(w(i))-γ ·w(i),并賦給U的第i個元素14. end for15. 向量U中的最大值賦給Loss,其對應的元素序號賦給z輸出:Loss,z

的窮舉過程。其中，第5行依次枚舉的i表示襲擊節點序號，其實質是在遍歷滿足約束(6)時的各類襲擊情形。第8行-第10行體現了約束(7)-(8)的作用，表示找到所有可行指派方案，并將其救援距離保存在向量ad中，這是因為第8行的for循環和第9行的邏輯判斷保證了最短距離矩陣d的第i行第j列元素就是已有選址點j到當前襲擊點i的距離。第11行-第12行體現了約束(9)的作用，在可行指派方案中選擇距離最近的指派方案，并得到最優的指派方案y。第13行表示將現有襲擊節點i和最優指派方案y代入目標函數(5)以計算襲擊損失。其中，yT為向量y的轉置，dis·yT則為最短救援距離。第15行為返回目標函數和最優襲擊節點。

顯然，算法1通過n次迭代就可得到最優解，且每次迭代中的操作僅涉及四則運算、取最大值、位置查詢和賦值等簡單命令，因此其計算時間復雜度不會隨著網絡節點規模n的增加而呈指數函數形式增長，并可在較短時間內實現下層規劃的求解。

4 分支定界算法

關于雙層規劃，Bard[24]已經證明其為NP-難題。因其特殊的主從遞階結構，雙層規劃的求解相對復雜。目前的求解算法多集中于下層問題為連續型規劃的形式，并通過下層規劃的對偶或KKT條件來轉化為單層規劃進行求解[25-26]，而關于上下層均為離散規劃形式的算法研究則涉及不多。

根據本文模型(2)-(11)可發現：上層規劃為簡單的單資源約束離散規劃問題，當給定上層選址變量x后，下層規劃可通過算法1快速求解，且其目標函數Loss又正好可以反過來作為選址變量x評價和更新的依據。因此，本文設計分支定界算法以實現上層選址變量的隱枚舉：首先，構造一棵搜索樹，每個結點代表一類可行的選址策略。隨后，設計相應的搜索規則對結點進行遍歷，當到達某結點后，將當前選址策略代入下層規劃并通過算法1計算此時的襲擊損失Loss，同時結合預算約束一起作為是否剪枝的判斷依據，并通過剪枝來縮減結點的搜索規模。

4.1 搜索樹和搜索策略

結合選址問題的特性，采用設施逆向刪除的思想構造關于選址策略x的搜索樹，首先，根結點代表所有頂點都建造應急設施的情況，其后，從根結點開始逐層地進行分枝，當搜索到第i層的某個結點時，分別考慮網絡中頂點i的設施被刪除或被保留者這兩種情況，以此進行分枝并得到兩個新的子結點。這樣的方法一直重復直到網絡中最后一個頂點的刪除或保留情形被考慮到為止。

結合圖2中的拓撲網絡給出搜索樹的示例，其完整的搜索樹結構如圖3所示。其中，搜索樹的每一個結點均代表一類選址策略[x1,x2,x3]，xi=1(?i∈{1,2,3})表示在頂點i建造設施，否則為0。首先，設置根結點處的選址策略為[1,1,1]，即在每個頂點都建造設施，隨后，在搜索樹第1層中，針對頂點i=1分別考慮x1=1和x1=0兩種情況，并將根結點分為兩個子節點[1,1,1]和[0,1,1]，同理，在第2層中，繼續針對網絡中的頂點i=2分別考慮x2=1和x2=0兩種情況，并得到第2層的各結點[1,1,1], [1,0,1], [0,1,1], [0,0,1]，以此類推。

圖3 搜索樹構造示意圖

顯然，上述搜索樹涵蓋了3個頂點網絡中所有可行的8種選址策略。但不足之處在于每個結點與其左子結點完全相同，例如第2層中的[111]與其在第三層中的左子結點[111]重復，這就使得搜索樹結點規模比可行的選址策略幾乎增加了一倍。因此，為減少不必要的重復計算，可利用深度優先策略，按先右后左的順序依次搜索各結點。同時，構造一個集合用于儲存已搜索過策略，并在每個新結點處判斷當前策略是否屬于該集合，若屬于，則跳過計算并直接分支。

實踐中，為減少內存消耗，搜索樹并非在計算前一次性構造完畢，而是隨著結點的遍歷逐層添加和刪減選址策略，并通過“棧”來實現其先進后出的特點。

4.2 上界和下界

上界UB是一個全局值，它等于已搜索過的可行選址策略中的最小襲擊損失。通常，初始上界設為無窮大，隨著遍歷的進行，UB會不斷地動態更新，逐漸變小并越來越接近最優值。

4.3 分枝和剪枝

在分支定界算法中，只有滿足一定前提條件時才對結點進行分支，否則進行剪枝。分支即進一步遍歷該結點所包含的子節點，剪枝則進行回溯并用于減少搜索規模。由于每個結點只有分支或剪枝兩類情形，因此僅對剪枝的條件進行說明，若不滿足該條件，則執行分支。

首先，當LB≥UB時，即當前結點的LB大于全局的UB時，需進行剪枝。這是因為LB≥UB意味著當前結點及其所有后繼結點所對應的襲擊損失均已經大于等于目前的全局最小襲擊損失，因此繼續分支并搜索后繼結點沒有意義，固而應剪枝。

4.4 算法步驟

算法中會涉及到一些符號命名：例如i表示當前的搜索樹層數，其作用和“指針”相同；LB和UB分別表示當前搜索結點的下界和全局上界；向量test(i)記錄第i層的當前搜索結點代表的選址策略，例如test(i)=[1,1,1,0]表示僅在頂點1,2,3建造設施；矩陣F記錄所有計算過的選址策略；向量opt記錄最優的選址策略；矩陣List的作用與“棧”相同，List的第i行向量記為List(i)，用于記錄當前第i層需要計算的兩個節點，即test(i-1)的兩個子結點；tran是一個過渡向量，在生成List(i)時發揮作用。

分支定界的過程為：在搜索樹中，首先判斷根結點處的選址策略是否滿足預算經費約束，若是，則直接得到最優選址策略；否則，利用深度優先、先右后左的順序進行搜索，搜索過程用List(i)記錄上一層搜索結點test(i-1)所包含的兩個子結點，并先取右邊的子結點作為當前層的搜索結點test(i)。若test(i)是矩陣F的子集，則繼續分支，否則將其代入下層規劃并利用算法1計算LB，若LB

分支定界算法. 輸入:距離矩陣d,權重向量w,成本向量c,預算額B,模型參數α,β,γ初始化:i=1,UB=+∞,test(0)=[1,1,…,1],list=?,opt=?,F=test(0),trans=?主程序:1. if c·test(0)T≤B then 將test(0)賦給opt,代入下層規劃并計算襲擊損失,損失值賦給att_loss。算法結束,返回輸出。2. 復制test(i-1)中的所有元素到向量trans,設置trans中第i個元素值為0,并生成List(i)=test(i-1)∪trans3. while i≠0 do4. test(i)取List(i)最右端的包含非零元素的n個元素,并將List(i)的這n個元素設置為0。5. if test(i)為F的子集 then令i=i+1,繼續分支,用第2行一樣的方法生成List(i),再用第4行一樣的方法更新test(i)。6. 將test(i)對應的選址策略代入下層規劃,用算法1求出襲擊損失值,并作為該結點的LB。隨后將test(i)添加至矩陣F7. if LBB then 若當前不為葉節點(i≠n),繼續分支,令i=i+1,用第2行一樣的方法生成List(i)。9. whileList(i)中各元素全為0 do10. i=i-111. if i=0 then 算法結束,將UB賦給att_loss,返回輸出。12. return to while13. return to while輸出:opt和att_loss

偽代碼中，第1行為根結點判斷，如果根結點處的選址方案滿足預算約束，停止算法并得到最優解。第2行為生成List(i)，并用于存放test(i-1)兩個子結點表示的選址策略。結合圖3中的搜索樹來說明：當層數i=1時，test(0)=[1,1,1],trans=[0,1,1],List(1)=[1,1,1|0,1,1]表示根節點下兩個子結點對應的選址策略，并作為第1層需要搜索的策略。第3行-第12行為整個搜索樹的遍歷過程。其中，第4行表示搜索當前層需要計算的新結點，并存入test(i)，同時更新List(i)。第5行判斷當前搜索結點的選址策略是否已經計算過，若是，繼續分支并進入i+1層。第6行表示計算當前搜索結點的下界，并保存已搜索過的策略。第7行-第8行為上下界判斷：當LB

5 算例分析

5.1 算例描述

在此，以當前恐怖襲擊最嚴重的南疆地區為例進行算例分析。圖4a給出了南疆16個縣市的區位分布，圖4b則是將這些縣市抽象為頂點，將公路路段抽象為邊后所得到的交通拓撲網絡圖，共由16個節點和22條路段組成。其中，頂點i受襲擊后的物資需求wi用該地區的人口總量來近似；頂點i建造應急設施的費用則根據新疆地區的土地成本計算而得，相關數據見表1，數據來源為《新疆統計年鑒2017》；此外，任意路段(i,j)的長度lij見表2，數據來源為《中國公路交通地圖冊》。

圖4 新疆喀什地區市縣分布及交通網絡圖

表1 各頂點i的受襲物資需求wi(件)和設施建造成本ci(萬元)

i12345678910111213141516wi4060737784651927145317527737855164229515182346ci320728470512572396370352344377400377546601560617

表2 各公路路段(i,j)的長度lij(公里)

5.2 算例求解

利用分支定界算法求解上述算例。首先定義模型中的參數α=1,β=0.5,γ=1，結合表2并利用Floyd算法計算任意兩頂點間的最短距離矩陣d，隨后依次計算不同預算經費B下的最優選址策略、襲擊策略、襲擊損失和計算時間。在裝有Inter Core i7 2.9GHz處理器、8GB RAM的聯想筆記本電腦上，利用Matlab2014a編譯算法，計算結果如表3所示。

結合表3中的計算結果進行分析，進而得到如下結論：

首先，不同預算經費下B的最優選址策略和襲擊策略各不相同。例如：當B=500時，由于在所有建造費用小于500萬的節點中，節點10(巴楚)具有較大的權重，且位于北部城市密集區的中心位置，因

表3 不同預算經費B下的最優解和算法性能指標

此是最佳設施建造點；此時恐怖分子則襲擊權重最大的節點4(莎車)。當B=1000時，一個設施建在節點4(莎車)，并保護了最大權重城市，另一個設施則建在節點11(柯坪)，并與節點4產生協同作用，分別平衡了西南和東北地區的風險；此時恐怖分子襲擊西北部偏遠的大權重城市喀什。當B=2000時，選址點為節點5(葉城)、節點8(岳普湖)、節點11(柯坪)，實現整體風險的平衡；恐怖分子最優襲擊點為東南部偏遠的節點16(和田)。當B=2000時，由于費用的增加，在B=2000時的基礎上將節點16(和田)也作為選址點；此時恐怖分子被迫襲擊東北部偏遠城市阿克蘇。當B≥2500后，選址策略總體上仍然遵從均勻分布、風險平衡的特點，且隨著預算的增加，其建造節點的權重也逐漸增加。

其次，隨著預算費用的增加，設施數量不斷增加，相應的襲擊損失不斷減少，但是襲擊損失的減少程度不斷減低，說明兩者間存在“邊際效用遞減”規律。因此，政府可通過增加反恐預算經費的方法來規避襲擊風險，但需對經費的投入進行合理決策。

最后，隨著預算費用的增加，計算時間不斷減少。這是由于通過設施逆向刪減法所構造的搜索樹的特殊結構而造成的：預算非常小時，設施數量很少，因此往往需要搜索到葉節點才能找到可行解并更新上界，剪枝發生在搜索樹下部的幾率較大，剪枝規模相對較小；相反，預算較高時，設施數量較多，剪枝發生在搜索樹上部的機會就相對更大，剪枝規模更大。

6 結語

當前，恐怖主義威脅日趨嚴峻。為提高恐怖襲擊應急救援能力，本文針對反恐應急設施選址布局問題展開研究，根據政府和恐怖分子間的主從對策關系構造雙層規劃模型，針對模型特點設計分支定界算法，并結合南疆地區的交通網絡進行實例分析。

在實例分析中，本文不僅計算和獲取了各決策情境下的應急設施最優選址布局方案，并為政府反恐科學決策提供支持；還通過各情境的對比而發現了反恐經費和襲擊損失之間的“邊際效用遞減規律”，進而建議政府對反恐經費進行合理預算，以避免資源浪費現象或防御盲點的出現。

為簡化模型和便于求解，本文模型仍存在一些局限。第一，本模型假設恐怖分子具有強大的計算能力并可針對設施布局做出最優反應，因此較適用于恐怖分子理性程度較高的情形。第二，結合我國政府在西部反恐中的大量人力與物資投入，本模型提出了應急設施存儲物資容量充足的前提假設，而該假設卻與一些中東及北非貧窮國家的物資匱乏情況相違背，進而限制了其在全球范圍應用的普適性。第三，由于襲擊后果較難度量，本模型僅僅結合城市人口數量進行近似，且忽略了現實中襲擊效果的隨機性和不確定性，固而會對模型的應用效果產生一定影響。

因此，未來研究可致力于突破上述局限，在本文所提出的基礎模型之上拓展改進，進一步考慮恐怖分子為“有限理性”，應急設施容量有限，或襲擊后果存在隨機或不確定性的情形。