分?jǐn)?shù)階廣義S變換(FRGST)

(成都理工大學(xué) 四川 成都 621000)

一、分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的基本定義

信號x(t)的α階分?jǐn)?shù)階廣義S變換(FRGST)被定義為(胥德平，2012)：

(1)

其中Kα(t,u)是分?jǐn)?shù)階變換核；高斯窗g(t-τ,u)是關(guān)于時間t和分?jǐn)?shù)階頻率u的函數(shù)：

(2)

(3)

通過上式，我們不難得出

(4)

這充分體現(xiàn)了信號的分?jǐn)?shù)階廣義S變換和相對應(yīng)的分?jǐn)?shù)階Fourier變換之間的關(guān)系。下面簡單介紹式(1)的算法實現(xiàn)過程：

①輸入離散化的信號x(t)及分?jǐn)?shù)階α和時窗調(diào)節(jié)因子λ,p；

②離散平移的時間序列τ，對于每一個給定的τ，依次計算信號與高斯函數(shù)的乘積x(t)g(t-τ,u)；此時信號在時刻τ處的瞬時頻率可由式(13)得出；

③依次對乘積c，使用快速分?jǐn)?shù)階Fourier變換算法(H.M.Ozaktas,1996)進行分?jǐn)?shù)階Fourier變換，得到信號在時刻τ處對應(yīng)的頻譜。

二、理論信號分析

為了研究分?jǐn)?shù)階廣義S變換對非線性非平穩(wěn)信號的時變信息，故在本節(jié)中設(shè)置了包含不同頻率成分的理論信號來測試效果。

(一)合成信號

首先對合成信號進行測試，如下：

sig1=chirp(t,50,1,250);
sig2=cos(2·π·(100t+150t2));
sig=sig1+sig2

(5)

圖1 合成信號

效果如圖1所示，分?jǐn)?shù)階廣義S變換對各個信號的各頻率分量得到準(zhǔn)確識別，并且的到準(zhǔn)確的時變特征。

(二)模擬地震信號

在忽略各種其他信號的能量衰減和干擾信號的條件下，地震反射波記錄可看作地震子波與地震反射系數(shù)的褶積的結(jié)果，本節(jié)用雷克子波模型：

RicWave=[1-2(πfmt)2]e(-(πfmt)2)

(6)

這里fm為子波的主頻率，這里取80Hz，圖2(a)為設(shè)置的5個反射系數(shù)，每個反射系數(shù)值代表一個地層界面，圖2(b)為模擬地震信號的時域波形圖。

圖2(a)反射系數(shù)模型

圖2(b)模擬地震信號

圖3為分?jǐn)?shù)階廣義S變換的時頻分析結(jié)果，能看出其在時間分辨率上有所提升，能更準(zhǔn)確地反映反射地層的位置。

圖3 模擬地震信號

三、結(jié)論

本文對廣義S在線性時頻分析方法中可以看到其較明顯的優(yōu)勢，將其概念擴展延伸至分?jǐn)?shù)階領(lǐng)域，得到了一種新的分?jǐn)?shù)域時頻分析方法。將廣義S變換思想帶入分?jǐn)?shù)域時頻分析中。本文將分?jǐn)?shù)階廣義S 變換應(yīng)用合成信號和地震模擬信號中，可以看到方法結(jié)果都具有很好的時間分辨率，有利于提高時頻分析的準(zhǔn)確性。