計算特征值問題的QR算法的收斂性分析

王麗

摘要：本文研究的是計算特征值問題的QR算法的收斂性分析。介紹了基本QR算法和帶原點位移的QR算法計算矩陣特征值問題的一般步驟，并且對其收斂性進行了分析。通過數(shù)值實驗，對基本QR算法及帶兩種不同位移的QR算法的收斂速度進行對比分析。結(jié)果顯示，基本QR算法的實際收斂速度與理論收斂速度基本一致，帶位移的QR算法的收斂速度會有明顯改善，帶不同位移的QR算法的改進效果不同。

關(guān)鍵詞：矩陣特征值 QR算法 收斂性 數(shù)值實驗

一、引言

矩陣特征值問題的應用十分廣泛，各個方面都有它的身影。在數(shù)學方面，可以利用矩陣特征值問題來解決類似非線性規(guī)劃和常微分方程等各種數(shù)學計算問題;在工程上，可以利用其來解決類似自動控制、結(jié)構(gòu)設計以及振動系統(tǒng)等相關(guān)的各類問題;在科學上，如一些力學方面的研究、統(tǒng)計計算、化學工程等等實際問題的計算也需要用到矩陣的特征值;此外，矩陣特征值在幾何、概率、物理學、經(jīng)濟學、天文、信息論等各個方面，以及管理科學、社會科學等各個領(lǐng)域也有廣泛的應用，很多實際問題的求解往往最終都會轉(zhuǎn)化為矩陣特征值問題。本文將介紹計算特征值問題的基本QR算法及其改進算法。

由上圖可以看出，基本QR算法的實際收斂曲線與理論收斂曲線重疊，收斂性基本一致，都可以近似為線性收斂。

（二）帶位移的QR算法數(shù)值實驗

由前面的章節(jié)可知，引入一個具體的位移可以明顯的加快收斂速度，減少迭代次數(shù)，并且選取不同的位移，會產(chǎn)生不同的收斂效果。在這一部分，將會驗證帶Rayleigh商位移的QR算法與帶Wilkinson位移的QR算法同原算法相比，收斂速度是否有所改善，并利用Matlab軟件作出幾種算法的收斂曲線進行對比分析，結(jié)果如下。

由圖2帶Rayleigh商位移的QR算法收斂曲線可以看出，帶Rayleigh商位移的QR算法收斂，并且為漸近平方階收斂，符合理論結(jié)果。由圖3帶Wilkinson位移的QR算法收斂曲線可以看出，帶Wilkinson位移的QR算法也是收斂的，收斂速度為漸近立方階收斂。

由圖4基本QR算法與改進算法的收斂曲線對比圖，可以很明顯的看出，帶位移的QR算法的收斂速度明顯快于基本的QR算法，即位移起到了加速效果。并且，兩種不同的位移加速效果也是不同的，其中帶Rayleigh商位移的QR算法的收斂速度較之原算法有明顯的提高，而帶Wilkinson位移的QR算法比帶Rayleigh商位移的QR算法要收斂的更快，加速效果更好。

由圖4基本QR算法與改進算法的收斂曲線對比圖還可得看出，在取精度為10^-2時，基本QR算法求出矩陣A的一個特征值需要迭代27次，帶Rayleigh商位移的QR算法迭代4次可求出一個特征值，而帶Wilkinson位移的QR算法僅需迭代3次即可求出一個特征值。因此，當選取合適的精度時，最快可以近似的達到每迭代一次求出一個特征值。這樣，整個算法的計算量就減小了。

五、結(jié)語

目前，矩陣特征值問題的應用越發(fā)廣泛，各個領(lǐng)域中都有其身影。隨著科技的發(fā)展，矩陣的特征值問題將被研究的更加透徹，計算矩陣特征值的算法也將發(fā)展的更為高效，能夠極大地減少運算量和運算時間。