計(jì)算特征值問題的QR算法的收斂性分析

王麗

摘要：本文研究的是計(jì)算特征值問題的QR算法的收斂性分析。介紹了基本QR算法和帶原點(diǎn)位移的QR算法計(jì)算矩陣特征值問題的一般步驟，并且對其收斂性進(jìn)行了分析。通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)，對基本QR算法及帶兩種不同位移的QR算法的收斂速度進(jìn)行對比分析。結(jié)果顯示，基本QR算法的實(shí)際收斂速度與理論收斂速度基本一致，帶位移的QR算法的收斂速度會(huì)有明顯改善，帶不同位移的QR算法的改進(jìn)效果不同。

關(guān)鍵詞：矩陣特征值 QR算法 收斂性 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

一、引言

矩陣特征值問題的應(yīng)用十分廣泛，各個(gè)方面都有它的身影。在數(shù)學(xué)方面，可以利用矩陣特征值問題來解決類似非線性規(guī)劃和常微分方程等各種數(shù)學(xué)計(jì)算問題;在工程上，可以利用其來解決類似自動(dòng)控制、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)以及振動(dòng)系統(tǒng)等相關(guān)的各類問題;在科學(xué)上，如一些力學(xué)方面的研究、統(tǒng)計(jì)計(jì)算、化學(xué)工程等等實(shí)際問題的計(jì)算也需要用到矩陣的特征值;此外，矩陣特征值在幾何、概率、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、天文、信息論等各個(gè)方面，以及管理科學(xué)、社會(huì)科學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域也有廣泛的應(yīng)用，很多實(shí)際問題的求解往往最終都會(huì)轉(zhuǎn)化為矩陣特征值問題。本文將介紹計(jì)算特征值問題的基本QR算法及其改進(jìn)算法。

由上圖可以看出，基本QR算法的實(shí)際收斂曲線與理論收斂曲線重疊，收斂性基本一致，都可以近似為線性收斂。

（二）帶位移的QR算法數(shù)值實(shí)驗(yàn)

由前面的章節(jié)可知，引入一個(gè)具體的位移可以明顯的加快收斂速度，減少迭代次數(shù)，并且選取不同的位移，會(huì)產(chǎn)生不同的收斂效果。在這一部分，將會(huì)驗(yàn)證帶Rayleigh商位移的QR算法與帶Wilkinson位移的QR算法同原算法相比，收斂速度是否有所改善，并利用Matlab軟件作出幾種算法的收斂曲線進(jìn)行對比分析，結(jié)果如下。

由圖2帶Rayleigh商位移的QR算法收斂曲線可以看出，帶Rayleigh商位移的QR算法收斂，并且為漸近平方階收斂，符合理論結(jié)果。由圖3帶Wilkinson位移的QR算法收斂曲線可以看出，帶Wilkinson位移的QR算法也是收斂的，收斂速度為漸近立方階收斂。

由圖4基本QR算法與改進(jìn)算法的收斂曲線對比圖，可以很明顯的看出，帶位移的QR算法的收斂速度明顯快于基本的QR算法，即位移起到了加速效果。并且，兩種不同的位移加速效果也是不同的，其中帶Rayleigh商位移的QR算法的收斂速度較之原算法有明顯的提高，而帶Wilkinson位移的QR算法比帶Rayleigh商位移的QR算法要收斂的更快，加速效果更好。

由圖4基本QR算法與改進(jìn)算法的收斂曲線對比圖還可得看出，在取精度為10^-2時(shí)，基本QR算法求出矩陣A的一個(gè)特征值需要迭代27次，帶Rayleigh商位移的QR算法迭代4次可求出一個(gè)特征值，而帶Wilkinson位移的QR算法僅需迭代3次即可求出一個(gè)特征值。因此，當(dāng)選取合適的精度時(shí)，最快可以近似的達(dá)到每迭代一次求出一個(gè)特征值。這樣，整個(gè)算法的計(jì)算量就減小了。

五、結(jié)語

目前，矩陣特征值問題的應(yīng)用越發(fā)廣泛，各個(gè)領(lǐng)域中都有其身影。隨著科技的發(fā)展，矩陣的特征值問題將被研究的更加透徹，計(jì)算矩陣特征值的算法也將發(fā)展的更為高效，能夠極大地減少運(yùn)算量和運(yùn)算時(shí)間。