基于特征分析的數(shù)學(xué)思想方法在《高等數(shù)學(xué)》中的教學(xué)策略

咼立丹 孫宇鋒 趙立軍

摘要：分析了數(shù)學(xué)思想方法具有抽象性、概括性、內(nèi)隱性、交織性、多樣性、廣泛性等特征，指出了數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)原則，提出了在《高等數(shù)學(xué)》的概念、推導(dǎo)證明、演算等內(nèi)容的教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法滲透的策略。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想方法；特征分析；教學(xué)原則；教學(xué)策略

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2019）32-0180-03

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的根本目的是獲得數(shù)學(xué)的思想和方法，用數(shù)學(xué)理論指導(dǎo)我們的實(shí)踐工作。國(guó)際數(shù)學(xué)教育委員會(huì)的研究認(rèn)為，“在內(nèi)容的選擇中，人們必須想到的不僅僅是我們希望學(xué)生獲得的知識(shí)，而且要想到跟那些題目結(jié)合在一起的思想方法”；“數(shù)學(xué)修養(yǎng)必須結(jié)合兩個(gè)不同的方面：數(shù)學(xué)的思想方法和一個(gè)基本知識(shí)的范圍”；“這種數(shù)學(xué)修養(yǎng)，更適合目前的需要”。清華大學(xué)蕭樹鐵教授強(qiáng)調(diào)：“數(shù)學(xué)要講推理，更要講道理。”他所說的“道理”就是“數(shù)學(xué)思想和方法”。以上觀點(diǎn)既有對(duì)《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)中存在問題的批評(píng)，也給出了我們今后教學(xué)中的努力方向[1]。要實(shí)現(xiàn)上述要求和期待，應(yīng)認(rèn)真分析數(shù)學(xué)思想方法的固有特點(diǎn)，探尋數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的有效途徑。

一、數(shù)學(xué)思想方法的特征及其教學(xué)原則

“數(shù)學(xué)思想方法”主要有“數(shù)學(xué)思想”和“數(shù)學(xué)方法”兩個(gè)方面的含義。“數(shù)學(xué)思想”就是人的大腦對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的“數(shù)量關(guān)系”和“空間形式”的反映，是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中“量和形”的本質(zhì)和對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)。“數(shù)學(xué)方法”是指人們從事數(shù)學(xué)活動(dòng)時(shí)使用的方法，解決數(shù)學(xué)問題的步驟和流程、技術(shù)和手段。二者沒有嚴(yán)格界限，只是看待問題的角度不同而已[2]。

“數(shù)學(xué)思想方法”具有任何科學(xué)思想共同遵循的“感性具體—理性抽象—理性具體”的認(rèn)識(shí)過程，同時(shí)還具有其認(rèn)識(shí)論上的特殊性。數(shù)學(xué)研究事物的“量”，而不研究事物的“質(zhì)”；而“量”是抽象的，只能用人的思維來描述其自身的邏輯規(guī)律。所以，“數(shù)學(xué)思想方法”的特殊性就表現(xiàn)為“歸納法”或“演繹法”，以及由此產(chǎn)生的特有的“公理系統(tǒng)”和“形式系統(tǒng)”，這是其鮮明的特征。

（一）數(shù)學(xué)思想方法的抽象性與概括性

抽象性和概括性是“數(shù)學(xué)思想方法”的基本特點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)活動(dòng)最基本的思維方法。數(shù)學(xué)的抽象性抽取的是事物在“數(shù)量關(guān)系”和“空間形式”等方面的本質(zhì)屬性，然后提煉出數(shù)學(xué)概念、構(gòu)造數(shù)學(xué)模型、建立數(shù)學(xué)理論。數(shù)學(xué)的概括性是指從某種特有屬性推廣到公共屬性的思維過程。“數(shù)學(xué)思想”既體現(xiàn)了具體的數(shù)學(xué)成果，更是概括了這些數(shù)學(xué)成果隱含的深層次的共性，它是數(shù)學(xué)內(nèi)部的概括性，也是數(shù)學(xué)知識(shí)的“核心”與“本質(zhì)”，更是溝通數(shù)學(xué)各分支間聯(lián)系的橋梁與紐帶。例如，由圓內(nèi)接正多邊形和圓外切正多邊形邊數(shù)倍增而趨于圓，求圓面積和求圓周長(zhǎng)的極限思想進(jìn)一步抽象概括發(fā)展為分割、近似、作和、取極限的微積分思想，是眾多學(xué)科發(fā)展的源泉。另一方面，這種概括性表現(xiàn)在數(shù)學(xué)外部，它能溝通數(shù)學(xué)與其他學(xué)科及社會(huì)科學(xué)的聯(lián)系，對(duì)社會(huì)科學(xué)的建立產(chǎn)生了重要影響。例如，數(shù)學(xué)公理化思想已超越數(shù)學(xué)理論范圍，滲透到其他學(xué)科領(lǐng)域[3]。可見，抽象性重點(diǎn)在分析和提煉上面，而概括性則側(cè)重于歸納和綜合。因此說，在數(shù)學(xué)理論中的任何概念、公式、原理、運(yùn)算、法則和性質(zhì)，都是抽象性和概括性共同作用的結(jié)果。

（二）數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)隱性與交織性

數(shù)學(xué)理論中的所有概念、公理、性質(zhì)、法則、公式、定理等都屬于知識(shí)范疇。這些知識(shí)點(diǎn)也都有其本身的內(nèi)容。問題是，這些豐富多彩的內(nèi)容反映了哪些共同的、帶有本質(zhì)性的東西？這就是“數(shù)學(xué)思想方法”要探討的內(nèi)容。因此，“數(shù)學(xué)思想方法”以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，隱含在其體系之中，它是數(shù)學(xué)知識(shí)的靈魂，支撐和統(tǒng)率數(shù)學(xué)知識(shí)。再者，數(shù)學(xué)理論知識(shí)是用公理化或演繹法構(gòu)建的，數(shù)學(xué)知識(shí)的連貫性及邏輯推理的嚴(yán)密性自然決定了內(nèi)隱其中的“數(shù)學(xué)思想方法”具有交織性的特征。例如，作為微積分理論基礎(chǔ)和核心思想的極限思想，除其自身具有的數(shù)學(xué)辯證思想的特點(diǎn)外，它又是微分思想和積分思想形成、完善及應(yīng)用的基礎(chǔ)，貫穿于整個(gè)微積分知識(shí)體系中；又如，數(shù)學(xué)化歸思想方法，在廣義上基本包含了所有的用數(shù)學(xué)解決問題的方法。莫斯科大學(xué)教授雅潔卡婭在發(fā)表《什么叫解題》的演講時(shí)提出：“解題就是把要解的題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過的題。”這就是說，數(shù)學(xué)的解題過程，就是從未知出發(fā)，向已知靠近，從復(fù)雜到簡(jiǎn)單的歸化和轉(zhuǎn)換過程。

（三）數(shù)學(xué)思想方法的多樣性與廣泛性

由于現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的復(fù)雜多樣性、存在的普遍性，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)思想方法在內(nèi)容和形式上的多樣性及應(yīng)用的廣泛性。例如，《高等數(shù)學(xué)》中有函數(shù)思想、極限思想、微分思想、數(shù)形結(jié)合思想、由函數(shù)局部性質(zhì)推斷整體性質(zhì)思想、不定積分思想、積分思想、“元素法”思想、類比思想等。而積分方法則有直接積分法；第一類換元法（湊微分法）、二類換元法；分部積分法；幾種特殊類型函數(shù)積分法；其他常見的積分方法等。這都體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)思想方法”的多樣性特征。隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展和經(jīng)濟(jì)社會(huì)的持續(xù)進(jìn)步，“數(shù)學(xué)思想方法”已滲透到自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的方方面面，而應(yīng)用的廣泛性也已經(jīng)成為其重要的特征。

（四）數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)原則

針對(duì)以上“數(shù)學(xué)思想方法”特征的分析，我們得出以下有效的教學(xué)原則：（1）基礎(chǔ)性原則。指“數(shù)學(xué)思想方法”的教學(xué)，應(yīng)緊貼學(xué)生的數(shù)學(xué)及相關(guān)知識(shí)基礎(chǔ)，以能理解對(duì)應(yīng)的“數(shù)學(xué)思想方法”為基本要求。（2）階段性原則。和數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)一樣，學(xué)生對(duì)“數(shù)學(xué)思想方法”的學(xué)習(xí)掌握也需經(jīng)歷三個(gè)階段：了解模仿階段、理解初步應(yīng)用階段、掌握自覺應(yīng)用階段。（3）滲透性原則。在知識(shí)點(diǎn)教學(xué)中，“數(shù)學(xué)思想方法”總是通過學(xué)習(xí)情境與教學(xué)過程的精心設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生去領(lǐng)會(huì)蘊(yùn)含在其中的奧秘，并在潛移默化的學(xué)習(xí)中達(dá)到理解和掌握。（4）反復(fù)性原則。學(xué)生對(duì)“數(shù)學(xué)思想方法”的認(rèn)識(shí)都是通過反復(fù)運(yùn)用逐步加深理解形成的，是一個(gè)由低級(jí)到高級(jí)的螺旋上升過程，而這個(gè)認(rèn)識(shí)過程具有長(zhǎng)期性和反復(fù)性的特征。例如，對(duì)同一類“數(shù)學(xué)思想方法”，應(yīng)該注意其在不同階段的再現(xiàn)，以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)它的認(rèn)識(shí)。（5）系統(tǒng)性原則。與具體的數(shù)學(xué)知識(shí)一樣，“數(shù)學(xué)思想方法”只有形成明晰的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，才能更好地發(fā)揮它的整體功能。同樣的“數(shù)學(xué)思想方法”，它所用到的數(shù)學(xué)方法，所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)，必須形成理論體系，才能更好地為學(xué)生所理解和掌握[4]。具體的教學(xué)實(shí)踐中能否堅(jiān)持這些原則，在相當(dāng)程度上決定了教學(xué)的效果和質(zhì)量。

二、數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)策略

《高等數(shù)學(xué)》是關(guān)于變量（運(yùn)動(dòng)變化）的數(shù)學(xué)，研究的對(duì)象是函數(shù)，其思想方法充滿了辯證法的思想，這是高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的主要區(qū)別，它深刻反映了靜與動(dòng)、不變與變、有限與無限的對(duì)立統(tǒng)一的辯證關(guān)系。即用一系列靜態(tài)去刻畫和把握動(dòng)態(tài)，這種靜與動(dòng)的辯證關(guān)系正符合事物發(fā)展變化的一般規(guī)律，也是初等數(shù)學(xué)思維所無能為力的[5]。而這種統(tǒng)一又是直接或間接地借助極限方法實(shí)現(xiàn)的。所以，具體教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)在始終堅(jiān)持上述教學(xué)原則的前提下，以突出運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化、辯證統(tǒng)一思想為抓手，統(tǒng)領(lǐng)協(xié)調(diào)相關(guān)“數(shù)學(xué)思想方法”的滲透教學(xué)。

（一）以極限方法為基礎(chǔ)，在概念教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法

極限的思想方法是微積分的基礎(chǔ)。極限是變量在無限變化過程中的變化趨勢(shì)（一個(gè)確定的數(shù)值）。把一些實(shí)際問題的確定結(jié)果視為一系列的無限近似數(shù)值的變化趨勢(shì)，即函數(shù)或者數(shù)列的極限，這是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。極限概念的講授，應(yīng)根據(jù)學(xué)生知識(shí)基礎(chǔ)及實(shí)際理解能力，以能理解為基本要求，確定是采用描述性定義還是定量刻畫的精確定義，后者雖在反映數(shù)學(xué)辯證思想上更深刻，但在理解把握上難度較大。高等數(shù)學(xué)中的直與曲、常量與變量、連續(xù)與間斷、有限與無限、抽象與具體、局部與整體和微分法、積分法等許多概念和方法都蘊(yùn)含著辯證法思想。教師應(yīng)充分利用上述概念的教學(xué)機(jī)會(huì)，通過恰當(dāng)直觀的實(shí)例適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反復(fù)分析、認(rèn)識(shí)，強(qiáng)化理解、掌握，逐步養(yǎng)成用辯證思維認(rèn)識(shí)事物的習(xí)慣和能力。以常量與變量間的辯證關(guān)系認(rèn)識(shí)為例：（1）常量在一定條件下具有任意性。比如，函數(shù)極限定義中的ε就是一個(gè)任意的常量。（2）常量與變量的相對(duì)性。常量與變量相互依存、相互滲透，在一定條件下也相互轉(zhuǎn)化。例如，一元函數(shù)中，常量與變量是對(duì)于某一過程而言的；而在多元函數(shù)中，研究某一個(gè)變量的性態(tài)時(shí)，就往往要把其余變量看作常量。（3）用常量來刻畫變量。在《高等數(shù)學(xué)》中，變量是運(yùn)動(dòng)與變化的，它往往是通過相對(duì)靜止的常量來刻畫的。例如，常微分方程中的“常數(shù)變易法”就是用常量來刻畫變量的典型“數(shù)學(xué)思想方法”。（4）用變量來研究常量。這是把常量看成變量的暫住狀態(tài)或特定值，以變量的變化過程中的穩(wěn)定趨勢(shì)來研究常量。例如，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，就是利用變量來研究常量。

（二）在性質(zhì)、定理、公式的推導(dǎo)、證明中挖掘數(shù)學(xué)思想方法

一般來說，一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念或運(yùn)算經(jīng)抽象概括定義后，會(huì)按演繹方法推導(dǎo)證明其具有的性質(zhì)及其相關(guān)的定理、公式，然后介紹其應(yīng)用，到此形成了一節(jié)完整過程，這些過程按邏輯順序組合構(gòu)成一門數(shù)學(xué)課程。所以，公理化思想及其體現(xiàn)的演繹方法是數(shù)學(xué)課程體系建立的基礎(chǔ)，其邏輯的嚴(yán)密性和結(jié)論的準(zhǔn)確性決定了它說理的可信服性。因此，教會(huì)學(xué)生善用公理化思想原理，搭建交流溝通平臺(tái)（共同認(rèn)可的道理和規(guī)則），用縝密的推理以理服人，有助于構(gòu)建和諧良性的人際關(guān)系，將使學(xué)生終身受益。此外，教師可引導(dǎo)學(xué)生用類比和歸納思想方法在相近概念和定理中尋找關(guān)聯(lián)，得出共有的性質(zhì)和等價(jià)結(jié)果。例如，考查重積分與定積分，都是某種特殊形式和的極限，基本思想是“分割，近似，求和，取極限”。定積分的被積函數(shù)是一元函數(shù)，積分區(qū)域是一個(gè)確定的區(qū)間，而二、三重積分的被積函數(shù)是二、三元函數(shù)，積分區(qū)域是一個(gè)平面有界閉區(qū)域和一個(gè)空間有界閉區(qū)域。由于定義的形式化結(jié)構(gòu)的統(tǒng)一性，因此，它們具有對(duì)應(yīng)層級(jí)上相同的性質(zhì)和等價(jià)結(jié)果，所以，重積分是一元函數(shù)定積分的推廣與發(fā)展。類似地，多元函數(shù)微分學(xué)也是一元函數(shù)微分學(xué)理論的推廣與發(fā)展，運(yùn)用類比的思想方法來學(xué)習(xí)相關(guān)章節(jié)內(nèi)容會(huì)起到事半功倍的作用，教師應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生深入挖掘數(shù)學(xué)定理和公式證明中內(nèi)隱的“數(shù)學(xué)思想方法”。

（三）在計(jì)算題的演算過程中，歸納和總結(jié)“通性、通法”

在“數(shù)學(xué)思想方法”教學(xué)和研究方面，還應(yīng)更多地關(guān)注數(shù)學(xué)的“通性、通法”。一方面，“通性、通法”跟“數(shù)學(xué)思想方法”是相通的，具有普遍意義；另一方面，“通性、通法”比較具體，教師容易抓得住、摸得著，而真正有價(jià)值和富有生命力的數(shù)學(xué)方法，恰是那些呈現(xiàn)明顯規(guī)律性又有廣泛實(shí)際應(yīng)用的方法。反之，一種僅僅用于解決個(gè)別問題的方法，無論構(gòu)思如何巧妙，也只有孤立的價(jià)值[6]。教師應(yīng)重視引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生觀察、分析計(jì)算題的解題過程，歸納、總結(jié)共性規(guī)律。

1.讓學(xué)生觀察、思考以下2個(gè)問題的解題過程，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

以上2個(gè)例子若單從形式和解題難度看平淡無奇，但通過仔細(xì)觀察，便會(huì)從并列在一起的平凡例子中發(fā)現(xiàn)某些共同規(guī)律。雖然以上各題所求的對(duì)象不一樣，但其求解過程都依賴于一定的規(guī)則與一定的標(biāo)準(zhǔn)結(jié)論。

2.總結(jié)上述數(shù)學(xué)演算過程三要素：（1）演算對(duì)象，如極限、導(dǎo)數(shù)、積分、級(jí)數(shù)等，它由問題所給定。（2）演算規(guī)則，如極限運(yùn)算規(guī)則、微分規(guī)則、積分規(guī)則等，它由一定的數(shù)學(xué)理論所提供。（3）基本公式，如基本極限、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)公式、基本展開式等。

上述演算過程，實(shí)質(zhì)上是依據(jù)演算規(guī)則完成一系列轉(zhuǎn)化，使得最終能組合基本公式得出演算結(jié)果。演算的復(fù)雜程度不過是轉(zhuǎn)化步驟的多寡而已的“通性、通法”。

三、結(jié)論

“數(shù)學(xué)思想方法”的教學(xué)是一種復(fù)雜而富有挑戰(zhàn)性的活動(dòng)。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法，應(yīng)堅(jiān)持以學(xué)生為本的理念、以學(xué)生的發(fā)展提高和終身受益為目標(biāo)，在深刻認(rèn)識(shí)“數(shù)學(xué)思想方法”的特征、堅(jiān)持相關(guān)教學(xué)原則的基礎(chǔ)上，結(jié)合《高等數(shù)學(xué)》知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生親身體驗(yàn)和參與探尋、挖掘其中內(nèi)隱的“數(shù)學(xué)思想方法”，深刻理解和把握其實(shí)質(zhì)，養(yǎng)成自覺運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析問題、解決問題的能力和習(xí)慣，以促進(jìn)學(xué)生綜合素質(zhì)的提高。

教師要經(jīng)常有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生參與到對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的關(guān)系和結(jié)構(gòu)進(jìn)行觀察、分析，發(fā)現(xiàn)個(gè)中規(guī)律的活動(dòng)，將有利于培養(yǎng)他們自覺觀察事物，尋找規(guī)律的能力和習(xí)慣。這種能力和習(xí)慣一旦養(yǎng)成，無論他們將來從事什么工作，都會(huì)幫助其快速進(jìn)入角色，提高工作效率。

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