基于彈道重構(gòu)的脫靶量分析

李殿元,錢龍軍

(南京理工大學(xué),江蘇 南京 210094)

在高炮武器系統(tǒng)射擊精度試驗(yàn)中,脫靶量是最重要的檢測(cè)項(xiàng)目之一, 其大小直接影響彈丸對(duì)目標(biāo)的命中概率和毀傷效果。在這期間,根據(jù)實(shí)測(cè)的彈道軌跡數(shù)據(jù)和目標(biāo)航路數(shù)據(jù),可以很方便地檢測(cè)彈丸的脫靶量,從而獲得客觀的射擊精度分析結(jié)果。

目前,彈道軌跡的建模方法可以分為基于理論彈道方程組的建模方法和基于射表的建模方法[1]。相比彈道方程,射表在火控系統(tǒng)中應(yīng)用更加廣泛,為了便于應(yīng)用,它被制成彈道局部信息關(guān)于發(fā)射條件的表格函數(shù),但不能直接給出滿足某個(gè)發(fā)射條件的整條彈道數(shù)據(jù)。由于射表建立的是命中點(diǎn)與射擊諸元的對(duì)應(yīng)關(guān)系,即通過(guò)目標(biāo)命中點(diǎn)的坐標(biāo)位置(目標(biāo)水平距離、目標(biāo)高度)直接查詢或計(jì)算火炮的射擊諸元(高低角,方位角、彈丸飛行時(shí)間),從而避免了通過(guò)彈道微分方程求解射擊諸元的繁復(fù)過(guò)程[2]。這是射表數(shù)據(jù)的常用方法,同樣也可以從火炮射角和方位角出發(fā)計(jì)算在不同的飛行時(shí)間彈丸所在空間的位置, 即彈丸飛行的水平距離和高度,這里把根據(jù)射表數(shù)據(jù)建立彈丸飛行軌跡的過(guò)程稱為彈道重構(gòu)。

在現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中,往往需要火控系統(tǒng)提供彈道的軌跡數(shù)據(jù),如陸軍指揮系統(tǒng)空域管理模塊需要高炮彈道軌跡數(shù)據(jù)與其他空域使用單位的數(shù)據(jù)進(jìn)行沖突檢測(cè),或使用彈道軌跡數(shù)據(jù)與數(shù)字地理信息系統(tǒng)進(jìn)行遮蔽判斷等[3-4]。而通過(guò)彈道重構(gòu)能夠擬合出一條完整的彈丸軌跡,清晰地再現(xiàn)了彈丸運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程,為彈道的使用提供了方便。而且在計(jì)算脫靶量時(shí)能清楚地知道彈丸所處的空間位置,提高了解算精度,使其成為一種計(jì)算脫靶量的可行方法。

1 彈道重構(gòu)的一般方法

1.1 重構(gòu)方法

通常情況下,火炮基本射表的二元表格函數(shù)是以斜距離D和武器線高低角ε為自變量的,但是由于不同武器其性能和使用方法不同,相應(yīng)射表的格式也不存在統(tǒng)一的規(guī)范。假設(shè)以D、ε為自變量的二元表格函數(shù)為

(1)

由于d=D·cosε,h=D·sinε，

(2)

故二元表格函數(shù)可轉(zhuǎn)化為如下形式

(3)

為了進(jìn)行彈道重構(gòu),考慮把(φ,tf)作為自變量，(d,h)作為函數(shù)值,建立二元表格函數(shù),其中的原理是相同的。這樣就可以在炮口地理坐標(biāo)系[5]中建立以射角φ發(fā)射,在t時(shí)刻彈丸飛行水平距離x(φ,t)與飛行高度的擬合函數(shù)為z(φ,t)

(4)

i=1,2,…,n

(5)

An×(N+2)(N+1)/2X((N+2)(N+1)/2)×2=Bn×2

(6)

其中，

根據(jù)最小二乘法原理,彈丸飛行水平距離x(φ,t)與飛行高度的擬合函數(shù)z(φ,t)的待定擬合系數(shù)為

(7)

在應(yīng)用中,彈道一般以地理坐標(biāo)系為基準(zhǔn),設(shè)地地理坐標(biāo)系與炮口地理坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合,假設(shè)火炮射擊的方位角為β,則對(duì)式(4)表示的坐標(biāo),做一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換,就得到了彈道在地理坐標(biāo)系中的坐標(biāo)

(8)

通過(guò)這樣的方法,彈丸的軌跡便重構(gòu)出來(lái)了。

1.2 重構(gòu)函數(shù)擬合效果的判斷

在用最小二乘法進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合過(guò)程中,本文采用的是誤差平方和最小的準(zhǔn)則。在重構(gòu)彈道時(shí),我們以誤差的均方根作為判斷擬合準(zhǔn)確度的準(zhǔn)則,即

(9)

只有當(dāng)Δ不大于給定的允許誤差時(shí),認(rèn)為擬合函數(shù)符合精度要求。本文采用“卡斯-19”式100 mm高射炮對(duì)空射表數(shù)據(jù)為例,重構(gòu)出水平距離d和高度h的擬合系數(shù),并用均方根誤差判斷其準(zhǔn)確度,如表1、表2所示,經(jīng)過(guò)計(jì)算得到d和h的均方根誤差分別為σd=0.978 5 m,σh=0.972 8 m,而射表中給出的d和h的表格數(shù)據(jù)精確到個(gè)位,故重構(gòu)函數(shù)的擬合精度滿足要求。

1.3 驗(yàn)證

2 彈道重構(gòu)下的脫靶量分析

2.1 脫靶量定義

對(duì)著發(fā)射擊的彈丸而言,嚴(yán)格意義上的脫靶量應(yīng)是彈丸與目標(biāo)之間在空間的最短偏差矢量。當(dāng)該向量等于零時(shí)表示彈丸命中目標(biāo),否則為“脫靶”。但是在測(cè)量實(shí)踐中,這種理論上的脫靶量是難于測(cè)量的,于是衍生出幾種便于測(cè)量又不會(huì)產(chǎn)生較大誤差的等效脫靶量定義。由于脫靶量是彈目偏差或炸目偏差的總稱[5],對(duì)著發(fā)射擊的彈丸而言脫靶量即為彈目偏差,本文給出一種通常意義下的彈目偏差定義,為此首先定義彈目偏差坐標(biāo)系Tg-xByBzB[6]:坐標(biāo)原點(diǎn)為命中點(diǎn)Tg;vbT為彈頭相對(duì)目標(biāo)的相對(duì)存速,其方向稱為迎彈方向,過(guò)Tg點(diǎn)垂直于迎彈方向的平面稱為迎彈面,記為Q。沿著vbT的有向直線規(guī)定為彈目偏差坐標(biāo)系的縱深軸yB;過(guò)vbT的鉛垂面與迎彈面的交線規(guī)定為彈目偏差坐標(biāo)系的高低軸zB,它與地理坐標(biāo)系鉛錘軸z1間的張角為銳角，方向是zB的正方向;在迎彈面內(nèi),垂直于zB的直線規(guī)定為彈目偏差坐標(biāo)系的方位軸xB,依右手定則從yB旋轉(zhuǎn)90°到xB的旋轉(zhuǎn)方向是xB的正方向。顯然由坐標(biāo)軸xB與zB張成的平面是迎彈面如圖1所示。

圖1 彈目偏差坐標(biāo)系

表1 水平距離d的擬合系數(shù)

均方根誤差為:σd=0.978 5 m

均方根誤差為:σh=0.972 8 m

2.2 脫靶量計(jì)算方法

假設(shè)目標(biāo)做勻速直線運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)軌跡為

(10)

其中,(xmb0,ymb0,zmb0)是目標(biāo)的初始位置,(vx,vy,vz)是目標(biāo)在速度方向上沿著各坐標(biāo)軸的分量。目標(biāo)航跡模型是已知的,則可以預(yù)測(cè)未來(lái)點(diǎn)Tg,利用命中問(wèn)題的順解法求出導(dǎo)彈飛行時(shí)間tf和射擊諸元方位角β和抬高角α,從而重構(gòu)出地理坐標(biāo)系下的標(biāo)準(zhǔn)彈道。

按照彈目偏差定義計(jì)算脫靶量,求解方法如下:

1)通過(guò)解命中求出射擊諸元并重構(gòu)出標(biāo)準(zhǔn)的彈丸軌跡；

2)在未來(lái)點(diǎn)Tg(目標(biāo)中心)建立彈目偏差坐標(biāo)系,從其定義可知,彈目偏差坐標(biāo)系是以Tg點(diǎn)為原點(diǎn)的地理坐標(biāo)系經(jīng)過(guò)偏航、俯仰而得。

(11)

(12)

其中vbT=(vbTx,vbTy,vbTz)T是vbT在地理坐標(biāo)系中的投影表示。利用重構(gòu)出的標(biāo)準(zhǔn)彈道對(duì)其做差分求出軌跡上各點(diǎn)的速度, 再借助彈頭相對(duì)目標(biāo)的相對(duì)存速

vbT(tf)=vb(tf)-vT(tf)

(13)

求出地理坐標(biāo)系各軸系下的相對(duì)速度,從而確定偏航角βvbT和俯仰角εvbT;

3)在標(biāo)準(zhǔn)的彈道射擊諸元基礎(chǔ)上,分別給定誤差φ、β,按照新的射擊諸元重構(gòu)出實(shí)際彈道;

4)由于在彈目偏差坐標(biāo)系中要計(jì)算出實(shí)際彈道與迎彈面的交點(diǎn)坐標(biāo),而坐標(biāo)是時(shí)間的函數(shù),難點(diǎn)在于如何求出彈丸飛抵迎彈面的時(shí)間。可將地理坐標(biāo)系下的實(shí)際彈道轉(zhuǎn)換到彈目偏差坐標(biāo)系下,即:先進(jìn)行一步平移變換,再經(jīng)過(guò)偏航βvbT和俯仰εvbT兩次旋轉(zhuǎn)即可完成。

克洛特·蓋博犧牲以后，蘇珊娜把手術(shù)刀深深地切入了自己手腕的肌膚。有風(fēng)經(jīng)過(guò)，有風(fēng)作證，也許是樹(shù)葉的簌簌？也許是泉水輕柔的淙淙？夜的一角已經(jīng)滲透了樹(shù)林和天空，任何懇求般的忠告，再也約束不住她對(duì)蓋博洶涌澎湃的愛(ài)戀與渴慕：

(14)

(15)

由于在迎彈面處的縱坐標(biāo)為零,即yB(t)=0,這樣便找到了求解飛行時(shí)間的約束條件,時(shí)間可求,則交點(diǎn)坐標(biāo)也迎刃而解。

3 實(shí)例仿真

本文以“卡斯-19”式100 mm高射炮對(duì)空射表為例,假定氣象條件和彈道條件均為標(biāo)準(zhǔn)條件,目標(biāo)做勻速直線運(yùn)動(dòng),初始位置[-1 000 3 000 5 000],目標(biāo)速度為[220 -200 -50]。通過(guò)解相遇算出射擊諸元,并重構(gòu)出其標(biāo)準(zhǔn)彈道如圖2所示。

圖2 重構(gòu)出的標(biāo)準(zhǔn)彈道

令諸元誤差Δφ和Δβ服從正態(tài)分布,打靶次數(shù)設(shè)置為400,在Matlab14環(huán)境下進(jìn)行蒙特卡洛打靶仿真,得到彈丸在迎彈面oxh內(nèi)的彈著點(diǎn)分布情況,如圖3所示。圖中“o”為諸元誤差下彈著點(diǎn)在迎彈面內(nèi)的分布,“*”為分布點(diǎn)的均值,即期望彈著點(diǎn)。

圖3 迎彈面Q上的彈著點(diǎn)分布

二維隨機(jī)向量(X1,X2)T服從二維正態(tài)分布的充要條件是其兩主成分(設(shè)為z1,z2)各自服從正態(tài)分布且相互獨(dú)立[9]。利用此結(jié)論將二維隨機(jī)向量轉(zhuǎn)化為兩個(gè)互不相關(guān)的主成分,然后通過(guò)檢驗(yàn)兩主成分是否各自服從正態(tài)分布且相互獨(dú)立來(lái)間接檢驗(yàn)原二維隨機(jī)向量是否服從二維正態(tài)分布。具體分如下兩步進(jìn)行:

1)分別檢驗(yàn)假設(shè):H0i: 主成分zi服從正態(tài)分布;H1i:zi不服從(i=1,2),這可以利用Matlab軟件中的相關(guān)命令進(jìn)行。若有一者不服從正態(tài)分布,則可斷定(X1,X2)T不服從二維正態(tài)分布;若兩者都通過(guò)正態(tài)性檢驗(yàn),則進(jìn)入2);

2)檢驗(yàn)假設(shè)H0:z1,z2相互獨(dú)立;H1:z1,z2不獨(dú)立。此假設(shè)可通過(guò)二維列聯(lián)表進(jìn)行檢驗(yàn),檢驗(yàn)的步驟是先將z1,z2的取值范圍分別分成r和s個(gè)互不相交的子區(qū)間,這樣可得rs個(gè)互不相交的小矩形。算出樣本落入每個(gè)小矩形的頻數(shù)nij(i=1…r;j=1…s)。令

(16)

則檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

(17)

在H0為真時(shí)的極限分布為χ2((r-1)(s-1)),然后利用χ2檢驗(yàn)法進(jìn)行檢驗(yàn)。若獨(dú)立性也獲得通過(guò),即可認(rèn)為(X1,X2)T服從二維正態(tài)分布。

經(jīng)計(jì)算迎彈面上的彈著點(diǎn)(xi,hi)T,i=1…400的相關(guān)系數(shù)矩陣為

(18)

其特征值分別為0.2437,1.7563,對(duì)應(yīng)的特征向量分別為(-0.7071,0.7071)T,(0.7071,0.7071)T,由此可得兩主成分估計(jì)

(19)

由主成分表達(dá)式可求出400對(duì)數(shù)據(jù)(zi1,zi2)T,利用Matlab提供的檢驗(yàn)函數(shù)jbtest分別對(duì)z1,z2的正態(tài)性進(jìn)行檢驗(yàn),均獲得通過(guò),并畫出(zi1,zi2)T的區(qū)間坐標(biāo)分布柱狀圖。

從圖4和圖5的結(jié)果亦能得出z1,z2各自服從正態(tài)分布。

圖4 z1的區(qū)間分布頻率

圖5 z2的區(qū)間分布頻率

表4 數(shù)據(jù)的區(qū)域分布頻率

至此驗(yàn)證了(xi,hi)T的兩主成分z1,z2服從正態(tài)分布且相互獨(dú)立,所以迎彈面上彈著點(diǎn)(xi,hi)T服從二維正態(tài)分布。

對(duì)蒙特卡洛打靶結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,彈著點(diǎn)的數(shù)學(xué)期望值和標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算公式為

(20)

則彈著點(diǎn)在二維平面Q上的協(xié)方差矩陣為

(21)

其中,協(xié)方差陣中的主對(duì)角元素σ11和σ22分別為h向和x向的方差,即

(22)

σ12和σ21則為h向和x向的協(xié)方差,即

(23)

經(jīng)計(jì)算可得

(24)

(25)

可見(jiàn)其平均彈著點(diǎn)位于迎彈面中心,與坐標(biāo)原點(diǎn)十分接近,在此假定散布中心位于原點(diǎn)不變。

由于諸元誤差引起的彈著點(diǎn)在迎彈面內(nèi)服從正態(tài)分布,依照文獻(xiàn)[7-8]的處理方式,其分布密度為

(26)

將目標(biāo)在迎彈面Q上的投影區(qū)作為一個(gè)方形域ν,面積為SABCD,各邊平行坐標(biāo)軸,如圖6所示。

圖6 迎彈面上的二維目標(biāo)域

A點(diǎn)坐標(biāo)為A(-4,4),B點(diǎn)坐標(biāo)為B(4,4),C點(diǎn)坐標(biāo)為C(4,-4),D點(diǎn)坐標(biāo)為D(-4,-4)。故可以知道矩形四條直角邊的直線方程

(27)

對(duì)于該二維目標(biāo),取矩形右下角C點(diǎn)為射擊指向點(diǎn),坐標(biāo)為E0,故射擊誤差EB為

EB=E0+Ep

(28)

所以可計(jì)算彈丸的命中概率p為

(29)

將式(25)、(26)和(27)代入式(29),得

(30)

這樣,在考慮諸元誤差的條件下,利用彈道重構(gòu)的方法,便計(jì)算出了高炮在迎彈面Q上的命中概率。

4 結(jié)束語(yǔ)

對(duì)于利用射表及其逼近函數(shù)進(jìn)行火控解算的普遍做法,本文提出了依據(jù)射表和解算出的射擊諸元,重新構(gòu)建彈道軌跡的思路,在分別改變射角和方位角作為諸元誤差的情況下進(jìn)行蒙特卡洛打靶試驗(yàn),計(jì)算脫靶量和命中概率。通過(guò)對(duì)仿真結(jié)果的計(jì)算和分析,證明了采用該種彈道重構(gòu)方法的正確性,為高炮射擊脫靶量精度分析提供了一個(gè)實(shí)用的工具。