向量在直線方程中的運用

杜盛伙

摘 要：向量已成為中學數學知識的一個交匯點和聯系多項內容的媒介，用向量這個工具可以簡捷地處理數學中的許多問題；利用直線的方向向量和法向量可以從另一個角度解決一些解析幾何問題。

關鍵詞：方向向量；法向量

人教A版選修2—1第三章《空間向量與立體幾何》中介紹了直線的方向向量和法向量；對于直線L，在直線L上任取兩點 ，則向量 及與它平行的向量都稱為直線L的方向向量，而與直線L垂直的向量稱為直線L的法向量。

設直線L的方程為 ，在直線上任取兩點 、 ，則向量 及與它平行的向量都是直線L的方向向量；當 時，設向量 ，則向量 是直線L的方向向

量，且 = =

（ 為直線的斜率）；當 時，B=0，直線L與x軸垂直，設 =

（0，1），則 是直線L的方向向量，且 。

結論：向量 是直線 的方向向量，向量 是直線 的法向量。

下面就如何用直線 的法向量來解決有關直線斜率問題略舉幾例：

例1、（2013年山東數學（理））過點 作圓 的兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB的方程為（ ）

A. B.

C. D.

分析：由已知可知有一切點為（1，1），圓心C（1，0），由圓的幾何性質知直線AB的法向量為 ，所以可設直線AB的方程為 ，把切點（1，1）代入得 ；所以選A。

例2、（2009寧夏海南卷文）已知 ，圓 與圓 關于直線 對稱，則圓 的方程為：

A. B.

C. D.

分析：顯然要求點 關于直線 的對稱點 的坐標，過 作直線 的垂線，垂足為A ，則向量 是直線 的法向量，又因 也是直線的法向量，所以 ，故有 ①，又因 ②，由①②得 ，所以 的坐標為（2，-2），故選B；當然本題還有其

它解法，其中數形結合法最直接也最簡單。

例3、（2009全國卷Ⅱ文）已知圓O： 和點A（1，2），則過點A且與圓O相切的直線與兩坐標軸圍成的三角形面積等于 。

分析：本題只須先求出切線方程，因點A（1，2）在圓上，故 是過A點切線的法向量，所以設切線方程為 ，又切線過A（1，2），可得C=-5，所以切線方程為 。

實際上我們還知道更一般的結論：設點P 是圓 上的一點，則過點P 的切線方程為 。下面用向量的方法來求出這條切線方程。

解：因為 是過切點P 的圓的切線的法向量，所以可設切線方程為 ，又點P 在切線上，則有 ，即 ，所以過點P 的切線方程為 。

例4、已知直線 ： 與直線 ： 互相垂直，求m的值。

分析：直線 的法向量 ，直線 的法向量 ，因 ，所以有 ，故有 ，解得： 或 。

例5、已知直線 ： 與直線 ： 平行，求a的值。

分析：直線 的法向量 ，直線 的法向量 ，因 ，所以 ，從而有 ，解得： 或

。

評注：例3、例4若用斜率來解，要分兩種情況：斜率存在和斜率不存在；而運用向量來解可避開分類討論，提高了解題效率。

例6、已知點M（2，3）和圓C： ，求過M點的圓的切線方程。

分析：設切點P ，因圓心C（1，0），所以向量 是過P點的切線的法向量；設切線方程為 ，又因切線過點P 和M（2，3），點P 在圓C上，所以有如下方程組：

解得： 或

所以所求切線方程為： 或 。

評注：本題若用圓心到直線的距離等于半徑求解，需要分兩種情況：（1）斜率存在；（2）斜率不存在。

總之，向量是一種很好的工具，用向量處理直線斜率問題，既避開了分類討論，又體現了平面向量的工具性。

參考文獻

[1]趙曉梅，潘繼祥.向量數量積在代數顯身手[J].中學數學雜志，2012（3）.

[2]王玉光，李亞男.自由向量在解析幾何中的應用[J].高師理科學刊，2016（11）.