分層抽樣下的變體平行模型及其實(shí)證研究

呂 恕，宋穎瀟

(電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川 成都 611731)

一、引言

互聯(lián)網(wǎng)飛速發(fā)展的現(xiàn)代社會，充斥著復(fù)雜多變的信息，其中敏感性信息因涉及個(gè)人隱私，如吸毒、性取向等，其調(diào)查結(jié)果獲取的難度極大。針對敏感性問題調(diào)查發(fā)展起來的專業(yè)調(diào)查方法，主要有隨機(jī)化應(yīng)答技術(shù)和非隨機(jī)化應(yīng)答技術(shù)，這些專業(yè)調(diào)查方法確保了受訪者在調(diào)查中的匿名性，提高了敏感性問題調(diào)查結(jié)果的有效性。其中非隨機(jī)化應(yīng)答技術(shù)不需要復(fù)雜的隨機(jī)化裝置，使調(diào)查更簡單便捷，還可與網(wǎng)絡(luò)調(diào)查相結(jié)合，這一特點(diǎn)打破了以往敏感問題專業(yè)調(diào)查技術(shù)只能面對面、一對一，調(diào)查結(jié)果回答率和真實(shí)回答率不高的缺點(diǎn)，擴(kuò)大了調(diào)查范圍、降低了調(diào)查成本、提高了調(diào)查效率。但非隨機(jī)化應(yīng)答技術(shù)尚處于發(fā)展中，其各個(gè)方面的研究都還不完善，實(shí)際應(yīng)用也不夠廣泛，因此對非隨機(jī)化應(yīng)答技術(shù)的研究還有待于進(jìn)一步深化。

非隨機(jī)化應(yīng)答技術(shù)是針對二項(xiàng)選擇屬性特征敏感問題的調(diào)查模型，即是否具有某種敏感特征。變體平行模型[1]是非隨機(jī)化應(yīng)答技術(shù)中應(yīng)用范圍最廣且最高效的模型，其既解決了三角模型和交叉模型[2]的局限問題——不能用于敏感問題中兩分類都敏感的情況(如吸毒三次以上和吸毒三次以下)，也解決了平行模型[3]中受訪者非敏感性特征的比例不易得的問題(如喜歡吃辣的人群比例)。目前國內(nèi)外對于敏感問題調(diào)查中非隨機(jī)化應(yīng)答技術(shù)的應(yīng)用，大多限于小范圍特定群體小樣本的簡單隨機(jī)抽樣，即使遇到復(fù)雜樣本也只是利用簡單隨機(jī)抽樣下的非隨機(jī)化應(yīng)答技術(shù)進(jìn)行調(diào)查，導(dǎo)致調(diào)查結(jié)果出現(xiàn)較大誤差。[4]分層抽樣劃分了總體類別，增大了各個(gè)類別中樣本的共同性，抽取的樣本代表性更好，抽樣誤差較小，因此分層抽樣常常被用于樣本間差異較大或樣本較多的復(fù)雜情況。

本文將分層抽樣引進(jìn)變體平行模型中，對分層抽樣下變體平行模型的敏感比例估計(jì)值、估計(jì)值方差和樣本量的確定做出了詳細(xì)推導(dǎo)。介紹了網(wǎng)絡(luò)調(diào)查及其數(shù)據(jù)誤差[5]，分析了分層抽樣下變體平行模型與網(wǎng)絡(luò)調(diào)查結(jié)合的效果。利用新設(shè)計(jì)進(jìn)行實(shí)證研究——吸毒人員復(fù)吸比例調(diào)查研究，使用蒙特卡羅方法模擬實(shí)際的調(diào)查過程。

二、變體平行模型介紹

變體平行模型的設(shè)計(jì)如下：令X=1表示具有敏感性特征的人的類別(吸毒)，X=0表示不具有敏感性特征的人的類別(不吸毒)。引入兩個(gè)二分隨機(jī)變量Y和W，假設(shè)Y和W都是非敏感的且X、Y、W相互獨(dú)立，p=P(W=1)已知而q=P(Y=1)未知。例如，Y=1表示受訪者喜歡吃辣，Y=0表示受訪者不喜歡吃辣，W=1表示受訪者ID最后一位是奇數(shù)，W=0表示受訪者ID最后一位是偶數(shù)。可以合理地認(rèn)為p≈0.5，要求估計(jì)具有敏感性特征的人群比例πv=P(X=1)(下標(biāo)v表示變體平行模型the variant of Parallel Model)。

受訪者被要求如實(shí)回答表1左側(cè)部分，并選擇自己對應(yīng)情況的符號。

表1 變體平行模型設(shè)計(jì)及其對應(yīng)概率

由表1知，當(dāng)受訪者選擇“○”時(shí)，受訪者屬于{Y=0，W=0}這一子類；當(dāng)受訪者選擇“△”時(shí)，受訪者屬于{X=0，W=1}這一子類；當(dāng)受訪者選擇“□”時(shí)，受訪者屬于{Y=1，W=0}∪{X=1，W=1}這一子類。因?yàn)閧X=0}、{Y=0}、{Y=1}、{W=0}、{W=1}均是非敏感的，所以{Y=0，W=0}、{X=0，W=1}和{Y=1，W=0}∪{X=1，W=1}這三個(gè)子類都是非敏感的，無論受訪者做出什么樣的選擇都是非敏感的，都不會被采訪者知道他的真實(shí)分類，即受訪者是否具有敏感性特征。

三、分層抽樣下的變體平行模型

分層抽樣的具體方法為：按總體各單位的顯著特征(如性別、年齡等)將總體分層；根據(jù)各層單位數(shù)、總體單位數(shù)和樣本容量，確定每一層的抽樣比例(抽樣比)；依據(jù)抽樣比在每層以簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取樣本；匯總每層抽樣結(jié)果，組成總體抽樣樣本。在分層時(shí)需做到使層內(nèi)各單位間的差異盡可能小，層間各單位間的差異盡可能大，層與層相互獨(dú)立，總體各單位在劃分時(shí)不重不漏。

設(shè)調(diào)查總體容量為N，將總體劃分為L層，第i層容量為Ni(i=1,2,…,L)，分別在各層以簡單隨機(jī)抽樣的方法獨(dú)立抽樣，調(diào)查共抽取總樣本容量為n，第i層樣本容量為ni(i=1,2,…,L)，對抽取的每個(gè)單位，采用非隨機(jī)化應(yīng)答技術(shù)進(jìn)行調(diào)查。

令πi表示第i層子總體中具有敏感性特征X的人群比例，qi表示第i層子總體中具有非敏感性特征Y的人群比例，pi表示第i層子總體中具有非敏感性特征W的人群比例。pi已知而qi未知。根據(jù)表1，設(shè)mi1、mi2、mi3分別表示第i層ni個(gè)子樣本中受訪者選擇“○”、“△”、“□”的人數(shù)，λi1、λi2、λi3分別表示第i層ni個(gè)子樣本中受訪者選擇“○”、“△”、“□”的人群比例。

第i層子總體中:

由λi1=(1-qi)(1-pi)，λi2=(1-πi)pi可得

調(diào)查總體中，πv的估計(jì)量為：

其中ωi=Ni/N為第i層的權(quán)重，即第i層的抽樣比例，∑ωi=1。

調(diào)查中預(yù)先給定一個(gè)精度α，

根據(jù)分層抽樣樣本量最優(yōu)分配原則可知，當(dāng)且僅當(dāng)

四、實(shí)證研究

網(wǎng)絡(luò)調(diào)查的誤差分為覆蓋誤差、抽樣誤差、無回答誤差和計(jì)量誤差，分層抽樣下的變體平行模型可以有效降低四類誤差，用于網(wǎng)絡(luò)調(diào)查兩分類均敏感的問題。本文實(shí)證研究主題為“吸毒人員復(fù)吸比例調(diào)查研究”，調(diào)查的目標(biāo)人群是吸毒人員，以蒙特卡洛模擬的方式進(jìn)行研究。吸毒人員分為被查獲一次且無戒毒史的偶吸人員和復(fù)吸(成癮)人員，復(fù)吸人員相比偶吸人員更難戒斷，同時(shí)男女在戒毒時(shí)產(chǎn)生的反應(yīng)也有所不同，因此在戒毒方案的制定上要有所區(qū)分。

令X=1表示受訪者(吸毒人員)復(fù)吸，W=1表示受訪者編號ID尾數(shù)為偶數(shù)，Y=1表示受訪者喜歡吃辣。則p=P(W=1)=0.5，q=P(Y=1)未知，求吸毒人員中復(fù)吸的人群比例π=P(X=1)的估計(jì)值。

首先將所有吸毒人員按性別分層，據(jù)《2015年中國毒品形勢報(bào)告》統(tǒng)計(jì)[6]，截至2015年底，全國共有吸毒人員234.5萬(不含戒斷三年未發(fā)現(xiàn)復(fù)吸人數(shù)、死亡人數(shù)和離境人數(shù))，其中男性200.7萬名，女性33.8萬名，分別占85.6%和14.4%。設(shè)調(diào)查總體容量為N=5 000 000，男性層容量為Nm=4 280 000，層權(quán)重ωm=85.6%，女性層容量為Nf=720 000，層權(quán)重ωf=14.4%。令πm表示男性層中復(fù)吸人群比例，πf表示女性層中復(fù)吸人群比例，男性層和女性層中具有非敏感性特征W和Y的人群比例均與總體相同。

利用蒙特卡洛方法對男性層和女性層分別進(jìn)行模擬，實(shí)現(xiàn)了變體平行模型的整個(gè)問卷調(diào)查過程，假設(shè)樣本量的設(shè)定是合理且有效的。在軟件中生成吸毒人員的信息矩陣，每個(gè)人的信息包括{X，Y，W}，其中X、Y、W分別以一定的概率生成。據(jù)統(tǒng)計(jì)，截至2015年底，全國吸毒人員中偶吸人員106.9萬名，復(fù)吸人員127.6萬名，分別占45.6%和54.4%。因此在生成吸毒人員的信息矩陣時(shí)可將概率設(shè)定為：πs=P(X=1)=0.544，p=P(W=1)=0.5，其中s表示實(shí)際調(diào)查中敏感人群比重。

表2 分層抽樣下的變體平行模型

生成信息矩陣后，需要對信息矩陣進(jìn)行篩選，按照表2分層抽樣下的變體平行模型選出符合條件的信息，即{X=0，W=1}，得到受訪者中選擇“△”的人數(shù)。設(shè)mm、mf分別表示男性層和女性層中受訪者選擇 “△”的人數(shù)，通過公式(1)、公式(2)計(jì)算可以得出實(shí)驗(yàn)中男性層和女性層的敏感人群比例。

(1)

(2)

重復(fù)實(shí)驗(yàn)100次，男性層和女性層的實(shí)驗(yàn)結(jié)果分別如圖1、圖2所示。

圖1 男性層敏感人群比例重復(fù)實(shí)驗(yàn)100次的結(jié)果

圖2 女性層敏感人群比例重復(fù)實(shí)驗(yàn)100次的結(jié)果

再將重復(fù)100次實(shí)驗(yàn)的男性層、女性層敏感人群比例代入計(jì)算公式(3)，可以得到重復(fù)100次實(shí)驗(yàn)情況下調(diào)查總體中敏感人群的比例，如圖3所示。

(3)

圖3 調(diào)查總體中敏感人群比例重復(fù)實(shí)驗(yàn)100次的結(jié)果

由上述男性層、女性層和調(diào)查總體中的敏感人群比例圖可以看出，重復(fù)實(shí)驗(yàn)100次，實(shí)驗(yàn)結(jié)果總在預(yù)設(shè)值附近波動，因此蒙特卡洛模擬可以很好地實(shí)現(xiàn)敏感性問題調(diào)查的物理過程，且打破了抽樣調(diào)查在相同情況下只能進(jìn)行一次有效調(diào)查的限制，得到了重復(fù)實(shí)驗(yàn)100次的結(jié)果。

但是從圖中也可以看出，每個(gè)群體中波動的大小不同，分析男性層和女性層的敏感人群比例的方差可知，見公式(4)、公式(5)，在設(shè)定的各層敏感人群比例與非敏感人群比例與總體保持一致的情況下，各層敏感人群比例的方差只與樣本量的大小有關(guān)，且兩者成反比。本實(shí)證研究中男性層的樣本量比女性層大，因此男性層敏感人群比例的方差比女性層小，很好地解釋了實(shí)驗(yàn)結(jié)果中男性層波動更小的情形。

(4)

(5)

五、研究結(jié)論

通過上述分析可知，分層抽樣下的非隨機(jī)化應(yīng)答技術(shù)應(yīng)用范圍更廣、精度更高，相比簡單隨機(jī)抽樣下的非隨機(jī)化應(yīng)答技術(shù)，更適用于調(diào)查較為復(fù)雜、單位間差異較大的總體。其與網(wǎng)絡(luò)調(diào)查相結(jié)合可以使得敏感性問題的調(diào)查變得更加便捷。分層抽樣下的變體平行模型需要注意以下三點(diǎn)：

3.各層樣本量分配比例的確定。每層在抽樣時(shí)的抽樣比例不能簡單地用層權(quán)來衡量，而應(yīng)該根據(jù)分層抽樣樣本量最優(yōu)分配原則來確定。

實(shí)證研究中對于吸毒人員復(fù)吸比例的調(diào)查研究，成功地實(shí)現(xiàn)了相同條件下的重復(fù)實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果在真實(shí)值附近波動，模擬了敏感性問題調(diào)查的實(shí)際過程。該項(xiàng)實(shí)證有助于戒毒管理單位更加科學(xué)有效地幫助吸毒人員戒毒。本文對于變體平行模型的改進(jìn)及其實(shí)證研究敏感性問題調(diào)查方法的進(jìn)一步完善提供了可靠有效的理論參考和指導(dǎo)原則。