二元非結(jié)構(gòu)肥效模型構(gòu)建及其田間試驗驗證*

章明清 李 娟 章贊德 許文江 姚建族

（1 福建省農(nóng)業(yè)科學(xué)院土壤肥料研究所，福州 350013）（2 大田縣農(nóng)田建設(shè)與土壤肥料技術(shù)推廣站，福建大田 366100）（3 福建省亞熱帶植物研究所，福建廈門 361000）（4 福建省永春縣農(nóng)業(yè)技術(shù)推廣站，福建永春 362600）

多項式肥效模型是實現(xiàn)農(nóng)作物計量施肥的主要技術(shù)手段［1-4］。但在施肥實踐中，這種基于多項式函數(shù)形式構(gòu)建的經(jīng)驗肥效模型，因建模成功率偏低，嚴(yán)重制約了推薦施肥的精確性和模型的實用價值。就常用的二次多項式肥效模型而言，典型一元肥效模型比例僅占60%左右，典型二元肥效模型則僅有40.2%［5-6］，而典型三元肥效模型比例更低至23.6%［7］。即使采用蒙特卡洛建模法［8］，二元和三元二次多項式典型肥效模型的比例也僅有56.7%和37.3%。針對多項式肥效模型在應(yīng)用中存在的問題，國內(nèi)外學(xué)者在肥效模型選擇及其適用性［9-11］、試驗設(shè)計與參數(shù)估計方法［8,12-13］、類特征肥效模型構(gòu)建［14-16］及非典型式推薦施肥優(yōu)化方法［8］等方面進行了深入研究，提出了諸多改進措施，但對模型設(shè)定本身是否合理及其改進方法至今仍然鮮見研究報道，相關(guān)問題長期未能得到較好解決。研究表明，模型設(shè)定偏誤［2］及由此引起的多重共線性和異方差［17-19］等問題是導(dǎo)致二次多項式肥效模型建模成功率偏低的重要原因。為此，作者構(gòu)建了水稻一元非結(jié)構(gòu)肥效模型［20］，克服了二次多項式肥效模型存在的上述缺陷，提高了肥效模型的適用性和建模成功率。本研究在此基礎(chǔ)上，根據(jù)植物營養(yǎng)元素功能不可相互替代的原理，構(gòu)建二元非結(jié)構(gòu)肥效模型，并進行田間試驗驗證，旨在提高二元肥效模型的適用性，為計量施肥和推薦施肥專家系統(tǒng)研發(fā)提供理論模型依據(jù)。

1 材料與方法

1.1 水稻二因素田間肥效試驗設(shè)計

2017年分別在福建省永春縣、平和縣和大田縣等水稻產(chǎn)區(qū)設(shè)置了氮磷、氮鉀、磷鉀二因素田間肥效試驗，選擇普通鐵聚水耕人為土和普通簡育水耕人為土等福建稻田主要土壤類型作為供試土壤。供試水稻均為當(dāng)?shù)卮竺娣e種植的雜交早稻和雜交單季稻良種。

每個試驗實施前，按規(guī)范方法采集一個混合基礎(chǔ)土樣。用常規(guī)方法［21］測定供試土壤主要理化性狀（表1），其中，pH為電位法，有機質(zhì)為重鉻酸鉀容量法，堿解氮為堿解擴散法，有效磷（Olsen-P）為0.5 mol·L-1碳酸氫鈉提取—鉬銻抗比色法，速效鉀為1 mol·L-1乙酸銨提取—火焰光度計測定法。

試驗設(shè)計選用二因素五水平回歸最優(yōu)設(shè)計，共9個處理。其中，氮磷二因素試驗的各處理為：（1）N0P0，（2）N0P1，（3）N1P0，（4）N1P1，（5）N0.25P0.25，（6）N0.25P0.75，（7）N0.75P0.25，（8）N0.75P0.75，（9）N0.5P0.5，氮鉀、磷鉀二因素試驗的9個處理設(shè)計與此類似，下標(biāo)為施肥量比例，處理（4）為試驗設(shè)計的最高施肥量，各試驗點最高施肥量見表1。

試驗采用三次重復(fù)，隨機區(qū)組排列，小區(qū)面積20 m2。試驗所用氮肥選擇尿素（N46%），磷肥選擇過磷酸鈣（P2O512%），鉀肥用氯化鉀（K2O 60%），試驗地均不施有機肥。化肥分基肥和追肥施用，其中，磷肥全部做基肥施用；氮肥在基肥、分蘗肥和穗肥中各占總用量的50%、35%和15%；鉀肥在基肥和穗肥中各占50%，分蘗期不施鉀肥。供試水稻收獲時，各小區(qū)單收單稱，分別記錄稻谷和稻草鮮重產(chǎn)量及其曬干產(chǎn)量。試驗區(qū)四周保留1 m寬以上保護行。除施肥外，其他田間管理措施與大田生產(chǎn)一致。

表1 水稻二元肥效試驗供試土壤主要理化性狀及其處理（4）施肥量Table 1 Main physical and chemical properties of the test soil in the experiments on rice and fertilizer application rate in the 4th treatment

續(xù)表

1.2 旱作二因素田間肥效試驗資料的收集整理

為了更全面地驗證二元非結(jié)構(gòu)肥效模型的適用性，本文引用作者在國際植物營養(yǎng)研究所合作項目中完成的7個氮、磷、鉀的二因素田間肥效試驗結(jié)果。試驗的供試作物包括花生、馬鈴薯和毛豆等，試驗內(nèi)容、供試作物、設(shè)置地點、供試土壤類型和基礎(chǔ)土樣主要理化性狀見表2。其中，1999年在莆田市秀嶼區(qū)完成的花生磷鉀肥效試驗采用二因素重復(fù)D-飽和最優(yōu)設(shè)計，共12個處理，其他6個試驗均采用二因素3×3設(shè)計。田間試驗方案和樣品采集方法與水稻試驗大致相同，不再贅述。此外，本研究引用李仁崗編著的《肥料效應(yīng)函數(shù)》［22］在第20、22、102、126頁提供的中國北方冬小麥和夏玉米的4個完整氮磷肥效試驗資料，探討新模型的建模效果，本文試驗點編號分別為第14、15、16、17號。

表2 旱作物二元肥效試驗及其供試土壤主要理化性狀1）Table 2 Main physical and chemical properties of the test soil in the binary fertilization experiments on upland crops

1.3 數(shù)據(jù)整理方法

二元二次多項式肥效模型采用普通最小二乘法回歸建模，二元非結(jié)構(gòu)肥效模型則采用非線性最小二乘法進行模型參數(shù)估計。在計算機上的具體實現(xiàn)則使用MATLABR2015b 軟件的regress功能函數(shù)進行二元二次多項式肥效模型的回歸建模，使用nlinfit功能函數(shù)進行二元非結(jié)構(gòu)肥效模型參數(shù)估計和統(tǒng)計檢驗，具體數(shù)學(xué)原理和軟件使用方法參見相關(guān)專著［23］。文中圖形采用該軟件編程繪制。

1.4 二元非結(jié)構(gòu)肥效模型的構(gòu)建

近年來，Zhang等［20］根據(jù)施用單位養(yǎng)分的稻谷增產(chǎn)量隨施肥量的增加呈現(xiàn)指數(shù)規(guī)律下降的事實，構(gòu)建了一元非結(jié)構(gòu)肥效模型：式中，Y為稻谷產(chǎn)量，X為施肥量，s0為土壤供肥當(dāng)量（即由土壤提供的相當(dāng)于所施肥料的養(yǎng)分?jǐn)?shù)量），單位均為kg·hm-2；c為施肥對產(chǎn)量的效應(yīng)系數(shù)；A表示施肥量X=0時土壤肥力與稻谷產(chǎn)量之間的轉(zhuǎn)換系數(shù)。

在式（1）的一元非結(jié)構(gòu)肥效模型中，當(dāng)施肥量和土壤供肥當(dāng)量均為零時，作物產(chǎn)量必等于零。因此，根據(jù)植物營養(yǎng)元素功能不可相互替代的原理，二元非結(jié)構(gòu)肥效模型可由兩個一元非結(jié)構(gòu)模型相乘而得，即：式中，s1、s2分別表示供試土壤氮磷鉀中兩種元素養(yǎng)分的供肥當(dāng)量（kg·hm-2）。為使土壤當(dāng)季養(yǎng)分供應(yīng)當(dāng)量與施肥量具有加和性，其值大小以N、P2O5、K2O養(yǎng)分形態(tài)計量；c1、c2分別表示兩種養(yǎng)分元素的增產(chǎn)效應(yīng)系數(shù)；A=A1×A2，表示兩種養(yǎng)分施用量均為零時，土壤肥力與作物產(chǎn)量之間的轉(zhuǎn)換系數(shù)，其他代數(shù)符號的含義與式（1）相同。

分析表明，式（2）模型在施肥量范圍內(nèi)存在一個產(chǎn)量峰值，該峰值對應(yīng)的施肥量即為最高產(chǎn)量施肥量。因此，令式（2）的作物產(chǎn)量Y分別對X1、X2施肥量的導(dǎo)數(shù)等于零，得到最高產(chǎn)量施肥量計算式，令式（2）的作物產(chǎn)量Y分別對X1、X2施肥量的導(dǎo)數(shù)等于農(nóng)產(chǎn)品和肥料價格倒數(shù)比，得到經(jīng)濟產(chǎn)量施肥量計算式，即：

式中，α= PX1/PY，β =PX2/PY，PX1、PX2和PY分別表示每千克的X1、X2養(yǎng)分和農(nóng)產(chǎn)品的市場價格。式中Yeco表示經(jīng)濟產(chǎn)量。經(jīng)驗表明，肥效模型計算所得最高產(chǎn)量和經(jīng)濟產(chǎn)量一般差異很小，Yeco可以用最高產(chǎn)量Ymax代替。也可以采用數(shù)學(xué)上的迭代算法得到經(jīng)濟施肥量的精確計算結(jié)果，一般迭代計算3～5次即可。

2 結(jié) 果

2.1 二元二次多項式肥效模型的田間試驗資料擬合效果

水稻和旱作物的氮磷、氮鉀和磷鉀二因素田間肥效試驗的施肥量及其產(chǎn)量結(jié)果見表3。利用常用的二元二次多項式肥效模型，即：對表3的水稻二元肥效試驗結(jié)果，應(yīng)用普通最小二乘法進行回歸建模（表4），然后對各肥效模型進行典型性判別分析［23］。6個水稻二元二次多項式肥效模型的統(tǒng)計顯著性指標(biāo)F值和擬合優(yōu)度R2等均達到顯著水平。但是，僅有第6號早稻磷鉀肥試驗點建立的肥效模型屬于典型式，可用于推薦施肥。在1號至5號試驗點中，二元二次多項式肥效模型的一次項系數(shù)或二次項系數(shù)符號出現(xiàn)異常，不符合作物施肥效應(yīng)的一般規(guī)律，肥效模型均屬于系數(shù)符號不合理的非典型式。

對表3的第7號至13號試驗點的馬鈴薯、毛豆和花生的7個二元肥效試驗結(jié)果，以及冬小麥和夏玉米的4個氮磷二元肥效試驗資料［22］，用相同方法回歸建模和典型性判別（表4）。結(jié)果表明，在第7號至17號試驗點的11個試驗中，二元二次多項式肥效模型均能通過顯著性檢驗，但第13號和第17號試驗點建立的肥效模型均屬于推薦施肥量外推的非典型式，喪失了推薦施肥的可靠性。

因此，在17個試驗資料中，二元二次多項式典型肥效模型僅有10個，占試驗點總數(shù)的58.8%，非典型肥效模型比例則占41.2%。

表3 水稻和旱作物氮磷、氮鉀、磷鉀二因素田間肥效試驗施肥量和產(chǎn)量Table 3 Application rates and yields of rice and upland crops in the NP, NK and PK binary fertilizer experiments

2.2 二元非結(jié)構(gòu)肥效模型的田間試驗資料擬合效果

對式（2）的二元非結(jié)構(gòu)肥效模型，應(yīng)用表3的6個水稻肥效試驗結(jié)果和非線性最小二乘法回歸建模和典型性判別［22］。表5的1號至6號試驗點結(jié)果顯示，6個試驗點的二元非結(jié)構(gòu)肥效模型統(tǒng)計顯著性指標(biāo)F值和擬合優(yōu)度R2同樣均達到統(tǒng)計顯著水平。與表4的相關(guān)指標(biāo)相比，應(yīng)用二元非結(jié)構(gòu)肥效模型擬合這6個試驗點的肥效試驗結(jié)果，均能得到典型肥效模型，明顯提高了田間試驗的建模成功率。

表4 二元二次多項式肥效模型對供試作物二元肥效試驗資料的擬合效果Table 4 Fitting of crop responses with the binary quadratic polynomial fertilizer response model (BPFM) in the binary fertilization experiments

對表3的馬鈴薯、毛豆和花生的7個二元肥效試驗結(jié)果，以及4個冬小麥和夏玉米氮磷二元肥效試驗資料，應(yīng)用相同方法建立二元非結(jié)構(gòu)肥效模型，并進行典型性判別。表5的第7號至17號試驗點的結(jié)果表明，盡管這11個試驗當(dāng)初是為建立二次多項式肥效模型而設(shè)計的典型肥效試驗，二元二次多項式肥效模型能通過顯著性檢驗或得到典型式的試驗點，二元非結(jié)構(gòu)肥效模型同樣能夠得到相同的建模結(jié)論；第13號和第17號試驗點建立的二元非結(jié)構(gòu)肥效模型與二元二次多項式模型一樣，均屬于推薦施肥量外推的非典型式。

因此，在1 7 個二元肥效試驗結(jié)果中，二元非結(jié)構(gòu)肥效模型的典型式有1 5個，占試驗點總數(shù)的88.2%，非典型肥效模型比例僅占11.8%。新模型建模成功率較二次多項式肥效模型提高了2 9.4 個百分點，明顯改善了肥效模型的適用性。

2.3 二元肥效模型推薦施肥量及其相關(guān)性

依據(jù)N4.3 yuan·kg-1、P2O55 yuan·kg-1、K2O 5 yuan·kg-1和農(nóng)產(chǎn)品2 yuan·kg-1的市場均價，應(yīng)用式（3）分別計算表5的典型二元非結(jié)構(gòu)肥效模型相應(yīng)試驗點的推薦施肥量，同時，用邊際產(chǎn)量導(dǎo)數(shù)法分別計算表4中典型二元二次多項式肥效模型試驗點的推薦施肥（表6）。結(jié)果表明，典型二元非結(jié)構(gòu)肥效模的最高施肥量和經(jīng)濟施肥量的推薦結(jié)果均在試驗設(shè)計的施肥量范圍內(nèi)，未出現(xiàn)異常情況。

為比較兩種模型在推薦施肥量上的差異，對表6中兩種模型均能得到典型式的10個試驗點得到的氮、磷、鉀推薦施肥量繪制成圖，并進行線性回歸分析。表明兩種模型推薦的最高施肥量之間以及經(jīng)濟施肥之間均存在極顯著的線性正相關(guān)關(guān)系（圖1）。回歸方程的一次項系數(shù)分別僅有0.915 3和0.916 1，表明當(dāng)二次多項式模型推薦的最高施肥量或經(jīng)濟施肥量每增加1 kg時，非結(jié)構(gòu)肥效模型的相應(yīng)推薦施肥分別僅增加0.915 3 kg和0.916 1 kg，較好地解決了二次多項式模型推薦施肥量普遍偏高的問題［1,11］。

表5 二元非結(jié)構(gòu)肥效模型對供試作物二元肥效試驗資料的擬合效果Table 5 Fitting of crop responses with the binary non-structural fertilizer response model (BNFM) in the binary fertilization experiments

3 討 論

3.1 二元二次多項式肥效模型的局限性

肥料效應(yīng)函數(shù)法是我國測土配方施肥技術(shù)的一個重要分支體系。在過去四十年里，在多項式肥效模型選擇及其適用性、試驗設(shè)計與參數(shù)估計方法、類特征肥效模型構(gòu)建方法以及非典型式推薦施肥優(yōu)化方法等方面的研究和應(yīng)用取得重要進展［1-2］。但不可否認(rèn)的是，該法對田間肥效試驗結(jié)果的建模成功率明顯偏低，并且長期未能得到有效解決，以至于不少人對肥效模型的實用價值喪失信心。本研究在水稻田間試驗實施前，作者曾考慮到試驗?zāi)康氖窍Ｍ玫椒从呈┓柿颗c水稻產(chǎn)量關(guān)系全貌的肥效函數(shù)曲面，因而，試驗設(shè)計選用二因素五水平回歸設(shè)計。雖然該設(shè)計在理論上具有5個施肥水平，且各施肥水平均勻分布在試驗施肥量范圍內(nèi)，有利于控制效應(yīng)曲面的形狀，但是，試驗結(jié)果用于建立二元二次多項式肥效模型的效果仍然不理想，在6個試驗中僅有一個試驗點能得到典型肥效模型。究其原因，肥效模型設(shè)定本身的合理性和可靠性這個核心問題長期未被觸及，更鮮見提出改進建議。

MFPB型模效量產(chǎn)和量肥施濟經(jīng)/ dleiy dna etar noitacilppa .ocE 2-)mh·gk(量產(chǎn)O K OP N 2 5 2 dleiY--------------------921 7 141 26-548 52 112-112 781 63 421-122 514 8 601-432 930 8 28-491 451 21 051-241 263 4 93-48 318 7-421 952 192 5-58 591 384 11-202 662肥式6較比量肥施薦推的式型典型模效肥式項多次二元二和型模效肥構(gòu)結(jié)非元二表MFPB dna MFNB neewteb etar noitazilitref dednemmocer ni nosirapmoC6 elbaT項多次二元二MFNB型模效肥構(gòu)結(jié)非元二量產(chǎn)和量肥施高最量產(chǎn)和量肥施濟經(jīng)量產(chǎn)和量肥施高最/ dleiy dna etar noitacilppa .xaM/ dleiy dna etar noitacilppa .ocE/ dleiy dna etar noitacilppa .xaM 222---)mh·gk()mh·gk()mh·gk(量產(chǎn)量產(chǎn)量產(chǎn)O K OP N O K OP N O K OP N 2 5 2 2 5 2 2 5 2 dleiY dleiY dleiY----419 9-08 251 759 9-99 171----684 9-95 291 725 9-26 622----555 9 28-051 116 9 19-491----556 6 27-45 517 6 58-79----058 9 96-06 529 9 621-76 671 7 671 46-311 7 541 55-961 7 781 95-368 52 222-312 102 62 871-202 812 62 781-702 402 63 631-322 484 63 231-612 405 63 241-222 864 8 331-152 603 48 58-142 084 8 301-662 080 8 58-922 971 8 17-771 722 8 67-712 591 21 471-351 362 21 041-821 413 21 961-241 084 4 721-19 463 4 05-37 694 4 241-79 109 7-751 203 786 7-211 222 867 7-041 762 943 5-401 622 232 5-47 671 682 5-98 112 286 11-352 193 434 11-581 342 016 11-132 953 71 dna 31 setis latnemirepxe ta noitazilitref noitadnemmocer ton era erehT :etoN 71量肥施薦推無點驗試號分養(yǎng)stneirtuN P ,N P ,N K ,N K ,N K ,N K ,P K ,N K ,N K ,N K ,N K ,N K ,N P ,N P ,N P ,N31第和號第號序.oN123456789011121415161：注

圖1 二元非結(jié)構(gòu)肥效模型與二元二次多項式肥效模型推薦施肥量的相關(guān)性Fig. 1 Relationship in recommendation fertilization rate between the binary non-structural fertilizer response model (BNFM) and the binary quadratic polynomial fertilizer response model (BPFM)

作者曾對當(dāng)前廣泛使用的經(jīng)驗肥效模型的研究和應(yīng)用進展進行過總結(jié)，發(fā)現(xiàn)常用的二次多項式肥效模型存在不符合生產(chǎn)實際的兩個缺陷［2］，即：單位養(yǎng)分增產(chǎn)量與施肥量之間的函數(shù)關(guān)系采用線性模型，導(dǎo)致最高施肥量之前施肥的增產(chǎn)效應(yīng)與最高施肥量之后施肥的減產(chǎn)效應(yīng)是對稱關(guān)系，忽略了當(dāng)前廣泛推廣應(yīng)用的高產(chǎn)耐肥新品種在過量施肥時，產(chǎn)量降低幅度得到較大程度緩解的肥料效應(yīng)特征，同時，也忽略了土壤對養(yǎng)分的緩沖能力，進而減輕過量施肥對作物產(chǎn)量負(fù)效應(yīng)的作用；其次是二次多項式肥效模型的回歸變量間存在強烈的多重共線性［18］和異方差［19］，嚴(yán)重制約了普通最小二乘法回歸建模的有效性和統(tǒng)計檢驗結(jié)果的可靠性。因此，模型設(shè)定偏誤、多重共線性和異方差等因素是導(dǎo)致二次多項式肥效模型建模成功率偏低的重要原因。

3.2 二元非結(jié)構(gòu)肥效模型的適用性

針對多項式統(tǒng)計模型的多重共線性和異方差等問題，現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計學(xué)已提出了諸多解決辦法［17］。研究表明，主成分回歸建模法在克服多重共線性危害［18］、廣義可行最小二乘回歸建模法在克服異方差危害［19］等方面具有實用價值。但是，這些方法并不能克服模型設(shè)定偏誤問題，而且，二次多項式肥效模型往往同時存在多重共線性和異方差，如何同時解決這兩個問題，目前在統(tǒng)計學(xué)上還難以做到。因此，研發(fā)新的肥效模型就成為解決相關(guān)問題的關(guān)鍵。

本研究在一元非結(jié)構(gòu)肥效模型［20］的基礎(chǔ)上，根據(jù)植物營養(yǎng)元素功能不可相互替代的原理，建立了式（2）模型。該模型在數(shù)學(xué)形式上顯然不同于二元二次多項式肥效模型，也不同于根系養(yǎng)分吸收機理模型［24］，但模型中的各參數(shù)具有明確的肥效含義，應(yīng)用上也較為簡便。借鑒種群生態(tài)學(xué)對不同類型模型的命名方法［25-26］，將這種介于經(jīng)驗?zāi)Ｐ秃蜋C理模型之間的式（2）模型稱為二元非結(jié)構(gòu)肥效模型。新模型較好地克服了二次多項式模型在施肥效應(yīng)中的對稱缺陷，同時，不能直接進行線性化轉(zhuǎn)換，較好地克服了困擾二次多項式肥效模型的多重共線性等問題，是新模型建模成功率明顯改善（表5）的主要原因。在推薦施肥量方面，兩種模型均能應(yīng)用到典型肥效模型的試驗點，推薦的最高施肥量之間以及經(jīng)濟施肥之間均存在極顯著的線性正相關(guān)關(guān)系，而且新模型的推薦施肥量普遍較低，較好地克服了二次多項式模型推薦施肥量普遍偏高的問題［1,11］。

理論分析表明，對式（2）二元非結(jié)構(gòu)肥效模型的ex項進行泰勒級數(shù)展開，即：ex=1+x+G(x),x∈(-∞, +∞)，其中，因式（2）模型的c值在10-3次方級（表5），若僅取前兩項，且忽略X1X2的高次項，并令B=(1+c1s1)，C=(1+c2s2)；則式（2）模型可轉(zhuǎn)化為：Y=A結(jié)果與二元二次多項式肥效模型具有相同的數(shù)學(xué)表達式。可見，二元二次多項式肥效模型是二元非結(jié)構(gòu)肥效模型的簡化式。當(dāng)某些試驗點的肥效試驗結(jié)果能夠使剩余量G(x)達到足夠小時，這兩種模型均可能得到很好的擬合效果。表5的建模結(jié)果表明，二元二次多項式肥效模型能得到典型式的試驗資料，二元非結(jié)構(gòu)肥效模型同樣能得到典型肥效模型。但當(dāng)剩余量G(x)較大時，二元二次多項式肥效模型可能會因過度簡化導(dǎo)致擬合效果欠佳，而非結(jié)構(gòu)肥效模型因未進行這種簡化而可能仍然具有較好的擬合效果。因此，二元非結(jié)構(gòu)肥效模型具有更寬的適用范圍。

4 結(jié) 論

模型設(shè)定偏誤、多重共線性和異方差等問題是導(dǎo)致二元二次多項式肥效模型建模成功率偏低的主要原因，二元非結(jié)構(gòu)肥效模型較好地克服了這些已知局限性，具有更高的擬合精度和更寬的適用范圍。