考慮有效應力的施工參數對起裂壓力影響分析

唐巨鵬，齊 桐

（遼寧工程技術大學力學與工程學院，遼寧阜新123000）

目前，頁巖氣作為重要的非常規油氣資源成為世界各國的研究熱點[1-5]。頁巖氣儲層低孔低滲特點導致開采效率一直不理想，國內外實踐表明，水平井水力壓裂技術是高效經濟開發低滲油氣田的關鍵。我國頁巖氣儲層水平井水力壓裂技術尚不成熟，亟待在相關領域開展研究工作。實際上，頁巖氣開采過程中，孔隙壓力與儲層地應力相互影響、相互制約，有效應力是反映孔裂隙真實應力環境的重要力學參數，對起裂壓力影響不能忽略，因此從理論分析角度，研究有效應力對水力壓裂起裂壓力的影響對提高體積壓裂效果、促進頁巖氣經濟高效開采具有重要意義。

近年來，隨斷裂力學理論逐漸成熟，國內外學者對起裂壓力機理研究取得了大量成果。黃潤秋等以深埋隧道涌水為研究對象，從斷裂力學角度分析單條裂紋在高水壓力作用時的擴展機理[6]；Zhang等通過研究地應力中間主應力或最大主應力對裂縫起裂與擴展的作用，得到裂縫數量和失準角對井眼起裂位置的影響規律[7]；Warpinski和Teufel預測水力裂縫是否能引起天然裂縫面的剪切滑移從而導致水力裂縫被捕獲（沿著天然裂縫延伸），或者使天然裂縫張開導致了更高的濾失[8]；任嵐以多孔介質流體滲流與巖體應力—應變耦合理論為基礎，提出一種全新的水力壓裂巖石破裂壓力的計算方法[9]；盛金昌等以應力強度因子為參量，給出水力壓裂判據[10]；趙延林通過建立壓剪裂紋斷裂損傷力學模型，分析分支裂紋擴展的貫通機制[11]；郭肖等依據頁巖擴散原理，采用自制頁巖擴散系數測定裝置，對真實地礦進行實驗，分析有效應力與溫度對頁巖擴散系數的影響[12]。趙金洲等建立裂縫性地層射孔井起裂壓力模型，研究近井區域徑向縫網形成機制[13]；藺海曉等通過數值模擬揭示地應力對煤層起裂的影響[14]。呂有廠等分析在水平主地應力相等條件下，穿層鉆孔在垂直煤層中的起裂機制[15]。綜上所述，國內外學者對裂縫起裂壓力機理研究已逐漸達成共識，但深入研究有效應力與起裂壓力作用關系較少。而實際上，有效應力是反映地應力和孔隙壓力相互作用的物理量，研究有效應力與起裂壓力的關系具有重要參考意義。本文將建立考慮有效應力的起裂壓力理論公式，與前人結果進行比較，驗證所建公式的正確性，并分析井筒方位角、鉆孔傾斜角、水平地應力差不同時的裂縫起裂壓力變化規律，以期對水力壓裂開采規劃設計提供一定的參考。

1 考慮有效應力的任意方向鉆孔水力壓裂力學模型

從理論分析角度，考慮水力壓裂過程中有效應力對起裂壓力的影響，同時根據最大拉應力準則，給出有效應力與起裂壓力關系表達式。

1.1 有效應力

Terzaghi在1921—1923年最先提出土的有效應力原理和土的固結理論，1960年Cook對其研究并將其應用于巖石材料中，此后有效應力開始廣泛應用于煤、頁巖等領域中，有效應力張量表達公式：

由（1）式可知，巖體骨架中任意點的有效應力等于總應力減去孔隙壓力，裂縫起裂受水力壓力和地應力共同作用，因此有效應力不可忽略。本文主要研究水力壓裂中有效應力與起裂壓力間的作用關系。

1.2 坐標系

水力壓裂在鉆井過程中會使圍巖應力重新分布，井筒內壁應力集中導致裂縫產生，同時當水力壓力產生的拉應力大于巖體抗拉強度時，裂縫產生并擴展，形成單條裂隙，與巖體本身天然裂縫溝通形成縫網。為簡化分析，采用如圖1所示坐標系對斜孔周圍應力狀態進行描述。為了方便運算，選取坐標軸（1，2，3）與主應力（σh，σH,σV）方向一致，Ω為方位角，Ψ為傾斜角；為描述孔周圍應力狀態，建立直角坐標系（x，y，z）來描述遠場地應力；采用柱坐標系（r，θ，z）描述孔壁周圍應力狀態；其中z軸對應于井軸，x和y位于與井軸垂直平面上。

為了建立（x，y，z）坐標與（1，2，3）坐標之間關系，將（1，2，3）坐標按以下方式旋轉：

（1）將坐標軸以3為軸，按照右手定則旋轉角Ω，變為（x1，y1，z1）；

（2）再將坐標（x1，y1，z1）以y1為軸，按右手定則旋轉Ψ，變成（x，y，z）。

通過以上描述，主地應力坐標系（1，2，3）按圖1所示轉換得到坐標系（x，y，z），并得到應力轉換關系：

1.3 斜孔周圍應力分布

假設巖體所在地層為線彈性多孔、各向同性材料，并認為在井壁處于平面應變狀態，利用無限大平板模型，平板上有一圓孔受均勻內壓Pi，并且在平板無限遠處受水平最大地應力σH,水平最小地應力σh，垂直方向受垂向地應力σv，如圖2，井周地層應力分布由孔內液體壓力Pi、遠場面內應力（σx,σy,σz）和遠場離面應力（σz,σxz,σyz）以下部分應力疊加而得。

液柱壓力Pi引起的應力其中，R為井眼半徑（m），r為極坐標半徑（m）。

由地應力分量σxx和σyy引起的井壁圍巖應力分布分別為：

圖1 井軸坐標系

圖2 井壁圍巖力學模型

由地應力分量σzz引起的井壁圍巖應力分布

由地應力分量σxy所引起的井壁圍巖應力分布為

由地應力分量σxz所引起的井壁圍巖應力分布為

由地應力分量σyz所引起的井壁圍巖應力分布為

應力分量線性疊加后，井壁圍巖應力分布：

式中，R 為圓孔半徑(m)，Pi為起裂壓力（MPa），PP為孔隙壓力（MPa），ν為泊松比孔隙度（%）、θ為井周角（°）（相對于x軸）。

1.4 孔壁應力分布

在（2）式中，當R=r時，得到孔壁應力分布為

1.5 含有效應力的孔壁應力分布

將（1）式帶入（3）式中，得到考慮有效應力下的孔壁應力公式：

2 考慮有效應力孔壁起裂分析

在水力壓裂處理裂縫起裂問題時，通常選定一個斷裂準則作為水力壓裂裂縫起裂依據。前人已提出多種斷裂準則，其中較經典的有最大能量釋放效率理論（G準則）、應變能密度因子理論（S準則）、最大周向應力理論（σθ準則）和最大拉應力準則（σmax）。σmax準則形式簡單，考慮三向地應力，至今普遍應用，對抗拉強度較低的巖石類材料，更接近于實際情況，所以本文采用最大拉應力準則作為裂縫起裂判據：

由上述孔壁應力狀態可看出，液體壓力Pi是σθ的函數，所以Pi也是σmax函數，井筒內壁圓周方向上，當θ發生改變，σmax也隨之改變。當液體壓力Pi增加到一定值時，孔壁θf處開始逐漸裂開，產生裂縫，即在θf處達到最大值。以最大拉應力準則為準，孔壁最大拉應力大于等于巖石抗拉強度σt，裂縫在θf處起裂，即σmax=σt，可由以下公式得到裂縫起裂位置θf：

Hossain等研究表明，起裂壓力隨巖石抗拉強度增大而增大，隨孔隙壓力的增大而減小[16]。假設巖體抗拉強度σt=0、孔隙壓力Pp=0，可以抵消兩者對起裂壓力影響，根據（6）式得出θf，由（4）式和（5）式可得到考慮有效應力的裂縫起裂壓力i：

3 計算實例與參數分析

結合最大拉應力準則及斜井周圍應力分布，引入有效應力，推導出適用于頁巖開采的、考慮有效應力的起裂壓裂公式。從（7）式可以看出：i不僅與巖體所受地應力分量σxx、σyy有關，而且與孔隙壓力PP、起裂位置也有關。對于深部開采的高地應力儲層，通過已知巖體力學參數，引入有效應力推導起裂壓力公式，對實際水力壓裂工作具有一定的參考價值。

施工參數（井筒方位角、鉆孔傾斜角、壓裂液量）和儲層地質條件（層理、水平主應力差、天然裂縫）共同影響體積壓裂復雜程度。下面研究考慮有效應力時，井筒方位角、鉆孔傾斜角、水平地應力差對頁巖起裂壓力的影響規律。裂縫起裂受多方面影響，其中地應力場起主要作用，由σv、σH、σh大小決定，本文研究其中一種情況，即σh＜σH＜σv工程算例參數選自文獻[17]某四川頁巖儲層力學參數（表1）。

表1 頁巖力學參數與井筒地應力情況

3.1 井筒方位角對起裂壓力影響

在頁巖氣實際開采中，井筒方位角影響井筒內壁周圍應力狀態改變，導致起裂壓力變化，因此分析井筒方位角與考慮有效應力的起裂壓力作用規律具有重要意義。選取表1頁巖力學參數計算，當鉆孔傾斜角Ψ =90°時，探討井筒方位角Ω為0°、30°、45°、60°、90°時，考慮有效應力的起裂壓力變化規律。

鉆孔傾斜角Ψ =90°時，井筒為水平井筒，井筒方位角Ω從0°旋轉到90°，從圖1可知井筒軸線從σh轉到σH方向，即井筒在平面1-2內旋轉。本文建立的起裂壓力公式考慮了有效應力的作用，即考慮了實際頁巖氣開采過程中水壓與地應力間的相互作用，更接近實際地層情況。起裂壓力隨井筒方位角變化曲線如圖3所示。據此得到起裂壓力與井筒方位角關系規律。

（1）與國內學者馮彥軍[18]研究結果進行對比可以發現，考慮有效應力時起裂壓力比不考慮有效應力時的起裂壓力明顯減小，但兩者關系曲線趨勢一致，驗證了本文考慮有效應力的起裂壓力公式的正確性。考慮有效應力時，井筒方位角為0°、30°、45°、60°和90°時，起裂壓力分別為37.9、35.8、33.5、31.2和29 MPa，起裂壓力分別降低了9.67%、5.74%、6.44%、3.5%和3.56%。研究發現：考慮有效應力時，起裂壓力降低，更容易滿足起裂條件。在實際工程中，起裂壓力越小，水力壓裂越容易實現，越有利于頁巖氣經濟開發。

（2）起裂壓力與井筒方位角呈線性遞減關系。井筒方位角為0°和30°時分別對應起裂壓力的最大值和次大值，此時井筒軸向與最小水平地應力方向相同，因此主要受最小水平地應力作用，剪切力影響小。井筒方位角30°～60°井筒受剪切力作用明顯。井筒方位角60°～90°起裂壓力降低至29 MPa，井筒軸向與最大水平地應力相同，主要受其影響。所以，井筒方位角是影響起裂壓力的重要因素。在實際頁巖開采時，應盡可能增大井筒方位角，以降低起裂壓力。對于頁巖儲層而言，井筒方位角為90°時，水力壓裂一般會產生垂直于井筒的橫向裂縫，更易于縫網形成，對頁巖氣開采就越有利。

3.2 鉆孔傾斜角對起裂壓力影響

鉆孔傾斜角是井筒與孔眼橫截面軸線與水平方向間夾角。實際鉆井過程中，鉆孔傾斜角度會影響裂縫起裂壓力及頁巖氣開采量，因此研究鉆孔傾斜角與考慮有效應力的起裂壓力變化規律十分必要。為研究單一因素鉆孔傾斜角，選取井筒方位角Ω=90°，鉆孔傾斜角Ψ從0°轉到90°，即鉆孔從垂直井變為水平井，圖1所示鉆孔軸從與軸3重合轉到與軸1重合。理論計算鉆孔傾斜角與起裂壓力間關系規律，如圖4所示。

（1）起裂壓力隨著鉆孔傾斜程度的增加呈先增大后減小趨勢。鉆孔傾斜角由0°、30°、45°、60°增加到90°時，起裂壓力分別為26、34.5、42.1、36.3和30.1 MPa，起裂壓力變化率分別為22.03%、32.29%、20.6%和15.97%，0°～30°垂直地應力占主要影響，30°～60°剪切應力起主要作用，60°～90°最大水平地應力占主要影響。

（2）由圖4發現，以45°為中心，起裂壓力值呈對稱分布。這是因為Ψ=0°受垂直地應力影響，Ψ=90o受最大水平地應力影響，而剪切應力無明顯作用，所以起裂壓力??；Ψ=45°時，起裂壓力最大，井筒周圍受到剪切應力和地應力共同作用，這一規律與龔迪光所得“射孔傾斜角為0°和90°剪切力影響小，射孔傾斜角為45°剪切力作用”[19]顯著相符。

圖3 井筒方位角與起裂壓力關系曲線

圖4 鉆孔傾斜角與起裂壓力關系曲線

上述結果表明，鉆孔傾斜角對起裂壓力作用明顯，隨著鉆孔傾斜角的增大，起裂壓力呈“∧”型對稱分布。因此，在實際壓裂鉆井中，根據鉆孔傾斜角合理布置可以經濟有效地開采頁巖氣。本文建議最佳鉆孔傾斜角為0°。

3.3 水平地應力差對起裂壓力影響

水力壓裂發生時，頁巖氣儲層在地應力和水力壓力共同作用下產生裂縫，水力裂縫溝通天然裂隙形成縫網，此過程中地應力起決定作用，因此研究地應力與考慮有效應力的起裂壓力變化規律意義重大。

由于在頁巖氣開采中水平井是在同一深度向前延伸，即保持σv不變。水平軸與σh方向一致，即圖1中Ψ=90°、Ω=90°，改變水平地應力差，從以下兩個方面分析，選取表2不同地應力組合，計算說明水平地應力差與起裂壓力關系的規律，如圖5所示。

（1）圖5表明，最小水平地應力改變時，隨著水平地應力差增大，起裂壓力線性減?。ㄟ@與文獻[17]規律一致），起裂壓力變化范圍較大。水平地應力差由2、4、6、8 MPa增加到10 MPa時，起裂壓力為68.1、62.1、58.9、55.4和50.3 MPa，降低變化率依次為9.66%、5.95%、6.32%和10.14%。巖體在地層受附加應力影響大，受層理和天然裂縫影響時需要較大壓力才能使裂縫起裂。隨著最小水平地應力減小，水平地應力差增加，使巖體應力集中，裂縫容易起裂，因此，起裂壓力小。

總之，改變最小水平地應力時，起裂壓力隨著水平地應力差增大而降低，且降低幅度較大，在水力壓裂過程中考慮水平地應力差為探索裂縫形成過程及擴展規律提供了設計思路。

（2）由圖5可知，最大水平地應力改變時，起裂壓力隨著水平地應力差的增加線性增大，增加幅度較小。水平地應力差由2、4、6、8 MPa增加到10 MPa時，起裂壓力為49.5、50.1、51.2、52和52.9 MPa，增加了1.21%、2.19%、1.56%、1.73%。因為在水平地應力增加時，對裂縫尖端延伸的約束能力增強，水力能量集中，因此起裂壓力值大。在水力壓裂過程中，最大水平主應力的變化，導致裂縫起裂和擴展不同，但水平最大地應力的改變對起裂壓力影響較小。

以上結果表明，頁巖儲層受構造應力影響，同一深度不同位置水平地應力有明顯差異。在鉆水平井過程中，最小水平地應力改變對起裂壓力影響顯著，使井壁發生破裂的可能性增加。

表2 三向地應力狀態

圖5 水平地應力差與起裂壓力關系曲線

4 討論與結論

本文以任意方向鉆孔水力壓裂力學模型為基礎，基于最大拉應力準則，推導考慮有效應力的起裂壓力公式，與文獻報道結果吻合較好，驗證了該公式的正確性。因此研究井筒方位角、鉆孔傾斜角、水平地應力差對考慮有效應力的起裂壓力的影響規律，所得結論對體積壓裂設計具有一定的參考價值。但由于水力壓裂機理的復雜性，且影響裂縫擴展因素較多，如深部儲層溫度、地層構造條件等，故所得結論尚需進一步完善。