用兩種方法研究二維光子晶體的帶隙結構

劉繼平，張曉茹，劉 晗，楊涪銓，潘 慶，吳向堯

（吉林師范大學物理學院，吉林四平136000）

1987年Yablonovitch和John兩人分別獨立提出光子晶體的概念[1-2]。目前為止，國內外學者對于光子晶體的研究也取得了較為豐碩的成果[3-5]，例如Zhang等制備出一種多通道可調太赫茲濾波器[6]，Dai等設計出一種基于等離子體量子阱結構的雙通道窄帶可調濾波器[7]，Wu等提出光子晶體三極管等[8]。光子晶體是由介電常數不同的兩種或兩種以上材料構成的人工微結構，從維度角度可將光子晶體分為一維、二維和三維光子晶體。二維光子晶體的相關研究是目前國內外的研究熱點。光子晶體中介質介電常數的形式有常規和函數之分，故又可將其分為常規光子晶體和函數光子晶體。光子晶體的主要特征有光子帶隙、缺陷態、光局域化等[9-11]。當光在光子晶體中傳播時，某些頻率范圍內的光會受到限制，形成光子禁帶，在禁帶中光的傳播是被禁止的。當光子晶體的周期性結構被破壞時，如去掉一個或幾個介質柱，改變其中一個或幾個介質柱的折射率，這樣在原來的帶隙中就會出現一條或幾條缺陷模式曲線，允許某些特定頻率的光通過帶隙，因此起到控制光子運動的作用。利用這一特性可以設計優化很多高性能設備，如發光二極管、半導體激光器、光學濾波器等[12-13]。光子晶體在TE和TM偏振下，均存在帶隙結構，在TE和TM波帶隙重合的區域，稱為絕對帶隙或完全帶隙。一般情況下，光子晶體的禁帶越寬，其性能就越穩定[14-15]。研究光子晶體常用的方法有平面波展開法、有限元法、傳輸矩陣法和時域有限差分法等[16-18]。

在文獻[16]中，肖利等首次提出二維函數光子晶體的概念，所謂二維函數光子晶體，即組成光子晶體的介質柱的介電常數是空間坐標的函數，可通過外加電場光場實現將光子晶體介質柱的介電常數呈空間坐標形式分布，即通過電光效應和光學Kerr效應使介質柱介電常數成為空間坐標的分布函數。在本文中，基于二維常規和函數光子晶體在TE偏振下，用平面波展開法和COMSOL Multiphysics軟件基于有限元法研究二者的帶隙結構，比較兩種方法的研究特點。通過對比研究我們得到一些經驗結論，這為進一步研究二維函數光子晶體理論和利用函數光子晶體設計光學器件奠定了重要基礎，并且提供重要的研究方法與思路。

1 二維光子晶體研究方法

1.1 平面波展開法

文獻[16]中，用平面波展開法給出了TM和TE波的特征方程：

二維函數光子晶體介質柱的介電常數可以寫為

即

由傅里葉逆變換得到

當εa(r)= εa，εa是常數，方程（5）可以變為

方程（6）是二維常規光子晶體介電常數的傅里葉變換。可見，二維常規光子晶體是二維函數光子晶體的一個特例。把方程（5）和（6）分別代入方程（1）和方程（2）中，可以得到二維函數光子晶體和二維常規光子晶體在TM和TE偏振下的帶隙結構。

1.2 有限元法

有限元法（Finite Element Method,FED）[17]的主要思想是將連續場求解區域剖分成有限個離散的子域單元區域，并在每個離散的子單元中利用簡單的函數來近似場值，然后將所有子單元的場值合成，逼近整個場域的解。

在本文中，基于COMSOL Multiphysics軟件，利用Bom-Von Kannan周期性邊界條件和Bloch波理論，將周期結構的有限元離散特征方程化歸到一個周期單胞內的復系數特征方程，然后將其分為實部和虛部兩組方程，并在周期單胞邊界上應用Bloch定理，求解得到實數特征方程，獲得頻散曲線。具體來說，在COMSOL中，利用幾何工具建立晶體模型最簡單的單細胞結構，根據布洛赫定理，在單元格的4個邊界上增加了兩組周期性邊界條件，并建立合適的網格，通過給定波矢k的范圍，求解頻率ω，得到色散曲線關系ω (k)，利用matlab軟件編程轉換數據，通過Origin畫圖得到二維光子晶體的色散關系曲線。

2 物理模型與數值分析

以二維正方結構光子晶體為例，由于光子晶體是周期性結構，所以選取光子晶體中的一個單胞進行計算。在二維光子晶體中，介質柱半徑為ra=0.3a（晶格常數a=10-7m），背景介質為空氣εb=1。對于二維常規光子晶體取介質柱的折射率n=3.42；對于二維函數光子晶體，取介質柱的介電常數為εr=k?r+b，其中k為函數系數，單位為1 m，b為無量綱參數。

圖1（a）為正方結構二維光子晶體中的一個單胞，其中a1、a2為單胞的晶格矢量。圖1（b）中，藍色陰影部分是由3個高對稱點Γ、Χ和Μ定義的簡約布里淵區，三點坐標分別為為布洛赫波矢k的x，y分量。

圖1 （a）定義正方單胞的晶格矢量a1和a2；（b）第一布里淵區擴展圖

圖2 為常規光子晶體的帶隙結構圖，其中介質柱的折射率n=3.42。圖2（a）為通過平面波展開法計算得到的帶隙結構，其中，第一條禁帶的頻率范圍：0.238 6～0.318 9，第二條禁帶：0.428 4～0.528 3，第三條禁帶：0.670 5～0.701 0。圖2（b）為通過COMSOL建模計算得到的帶隙結構，其中，第一條禁帶的頻率范圍：0.233 4～0.303 8，第二條禁帶：0.412 7～0.516 9，第三條禁帶：0.642 3～0.694 1。從2（a）與2（b）以及禁帶頻率范圍的對比可以看出，兩種計算方法得到的帶隙結構圖的能帶分布基本相同，第一、二條禁帶的位置及范圍相差很小，第三條禁帶的頻率頻率范圍差距相對明顯。

圖3為函數光子晶體平面波展開法和COMSOL建模計算得到的帶隙結構圖，其中介質柱的函數介電常數ε(r)=5.6× 107?r+11.6964。在圖2（a）中，第一條禁帶頻率范圍：0.230 1～0.309 1，第二條禁帶：0.410 7～0.520 2，第三條禁帶：0.651 4～0.690 6。在圖2（b）中，第一條禁帶頻率范圍：0.224 1～0.291 7，第二條禁帶：0.393 8～0.502 7，第三條禁帶：0.620 8～0.680 6。從圖2（a）與圖2（b）以及禁帶頻率范圍的對比可以看出，兩種計算方法得到的帶隙結構圖的能帶分布基本相同，第一、二條禁帶的位置及范圍相差很小，第三條禁帶的頻率頻率范圍差距相對明顯。

圖2和圖3中，均是第三條禁帶及以上通帶的差別較大，這是頻率所致。低頻時，誤差相對較小；高頻時，其誤差相對較大。關于頻率造成誤差的原因在文獻[19]中有進一步的解釋。平面波展開法與有限元法實質上都是求解電場的偏微分方程，只是運用的方法不同，兩種算法計算同一參數下光子晶體帶隙結構出現微小差距，原因在于兩者的計算方法不同，得到的結果會有相應的誤差，用COMSOL建模計算時，給定的波矢范圍是個猜測值，取值會對計算結果又一定的影響，但是經過驗證，一般取頻率為光子晶體歸一化頻率的0.1～0.5倍，都能得到較好的計算結果。

圖2 常規光子晶體在兩種計算方法下的帶隙結構圖。

圖3 函數光子在兩種計算方法下的晶體的帶隙結構圖

3 結論

利用平面波展開法研究光子晶體帶隙結構時，理論推導較為清晰，能夠更加直觀地理解光子晶體色散關系的求解過程，但是對于處理較復雜的光子晶體結構或含有缺陷的光子晶體結構時，該方法很難精確計算，甚至不能求解。利用基于有限元法COMSOL軟件計算光子晶體能帶時，雖然計算過程不能直觀顯示，但是COMSOL中能夠結合超胞技術計算超胞的能帶，該方法也可計算含缺陷的光子晶體能帶，并能直觀地看出光子在缺陷處的分布狀態。與已有計算方法相比，該方法在適用性、難易程度、計算速度、精確度、收斂性等方面具有明顯的優越性。