正定Hermite矩陣跡的不等式的幾點注記
2019-08-26 05:05:50宋園
安慶師范大學學報(自然科學版) 2019年2期
宋 園
（滁州職業技術學院基礎部，安徽滁州239000）
矩陣跡的運算在數值計算、量子信息、經濟計量學以及控制論、逼近論等理論中有著廣泛的應用，近年來國內外有許多作者對此類問題作了大量深入細致的研究，文獻[1]給出了幾個結果，然而定理1的證明過程存在幾處錯誤，現給予修正，同時還給出關于Hermite矩陣跡的不等式證明中一些容易忽視問題的幾點注記。下面先介紹文獻[1]中的定理1。
定理1[1]設p1,p2,…,pn是給定的正數，A1,A2,…,An是同階正定Hermite矩陣且，則
仔細分析原文的證明，作者用了如下兩個等式：
下面結合具體例子說明上述證明過程中的錯誤，首先通過一個例子說明(2)式是不成立的。
同樣，文獻[1]中的定理2也存在同樣問題，不贅述。
這里給出等號成立的條件trA=trB也是不成立的。反例如下：
因此（4）式等號成立的條件不成立，應該改為A=B。
通過文獻[1]可以看出，在矩陣跡的不等式證明中存在著若干個問題，下面給出幾點相關注記。
注2 對于n個Hermite正定矩陣A1,A2,…,An冪的乘積的跡，當n≥3不等式中“的書寫是不正確的，因為此時不能保證為實數，所以不能在不等式中作比較，應該寫為
