似是而非的抽象函數問題剖析

李盛 李世杰

抽象函數是指沒有給出具體的函數解析式或圖象，只給出函數所滿足的某些性質、運算法則或特殊條件的一類函數.

抽象函數問題往往會包括函數的單調性、奇偶性、對稱性、周期性、定義域、值域等知識，題目綜合性強，敘述比較抽象復雜，解答難度較大.含有抽象函數的數學試題考查功能強大，具有較大的區分度，既能考查學生對函數概念和函數性質的掌握情況，學生具有的閱讀理解、邏輯推理、數學論證的綜合運用能力，又能考查學生對 “一般”與“特殊”的辯證關系的認識水平，以及學生數學思維發展的潛能，因而頻頻受到命題人的青睞，命制以抽象函數為背景或題設條件的試題，在當前各級各類考試中呈現出“百花齊放”的態勢，已成為命題熱點之一.

但不少這類試題或教學參考資料中出現的抽象函數問題，其解答過程看上去似行云流水，天衣無縫，但一旦深入思考研究，就會暴露出題目本身存在的極其隱蔽的科學性問題，下面舉幾例加以說明：

也是值得商榷的，如果函數的定義域D不明確，沒有具體給定，討論函數f（x）的周期性是沒有意義的[6].

從上可見，盡管函數是高中數學中一個重要的核心概念，抽象函數問題能全面考查函數的基本概念與性質，綜合考查學生分析問題和解決問題的能力，但抽象函數試題不宜隨意編造.如果需要命制抽象函數有關試題，一定要注意試題本身的科學性和合理性.

參考文獻

[1]?溫和群.抽象函數性質中的易錯問題[J].教學考試高考數學，2017（52）.

[2]?李世杰，李盛.不等式探秘[M].哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2017年1月版.

[3]?李盛，楊樟松，李世杰. 函數的性態及其應用[M].杭州：浙江大學出版社，2012年1月版.

[4]?李世杰，李盛.函數元不等式理論及其應用[M].杭州：浙江大學出版社，2011年10月版.

[5]?宋波.換元法求抽象函數周期常見類型例析[J].數學教學，2007（6）.

[6]?李世杰.周期函數論[M].杭州：浙江大學出版社，2005年9月版.