課本惹“禍”了嗎

王耀文

1?問題展示

這是我校高二一次月考的第18題，題目很簡單，但閱完卷后，老師感到很驚訝，平均分只有1.3分（滿分12分）. 到底是怎么回事呢？從閱卷老師反饋的信息來看，問題主要出現在如何理解命題p：“方程x2-4mx+1=0有兩個正根”成立，大多數學生認為判別式Δ>0，但參考答案認為應該是Δ≥0.我和備課組老師交流的情況也是這樣，大家都認為應該是Δ≥0，這是經驗，以前也都這么認為.我調查了我班（學校實驗班）學生的答題情況，大多數學生也認為是前者，他們也是這么做的，而且理由似乎很充足，因為最近所學內容正好強調了這種說法.比如橢圓、雙曲線的定義.

無獨有偶，高考也出現了這樣的問題，比如這道高考題中的A，B兩點，從高考參考答案和相關雜志解答可以看出，命題者和大多數老師、學生的想法應該一致，認為A，B是不同兩點[4].

4?師生困惑

在代數問題中，比如一元二次方程有兩個根，包括有兩個相等根和兩個不等根;在幾何問題中，比如直線和曲線有兩個交點是說有兩個不同交點，還是交點可能重合？還是要揣測命題老師的意圖呢？我們應該怎么辦？

5?問題解決

上述問題到底怎么解決呢？

兩個正根是否可以相同呢？兩個交點是否可以重合呢？還是像課本必修1對代數和幾何采取不同的辦法呢？老師和學生很困惑.

筆者針對此類問題，在此提出幾點建議：

第三，當然最好的做法是課本能明確這些說法，比如交于A，B兩點（含A，B重合）;如果不重合，就稱作交于A，B不同兩點.現在遇到這些問題時，老師往往憑直覺或憑經驗，有時感覺也很迷茫.因此建議教材編寫者或相關專家能夠重視這些看似簡單但也確實困擾我們老師學生的問題.

課本作為老師和學生第一參考資料，如果能對此類說法進行規范和明確，將對此類問題的解決提供很大幫助.例如當稱交于A，B兩點時，A，B重合情況包含在內;如果不重合，就稱作交于A，B不同兩點.在此建議除了學生細心審題，發掘題目所含條件之外，也希望對可能出現歧義的某些說法進行規范和明確.這樣也將對老師和學生對題目的正確理解提供幫助.

參考文獻

[1]?人民教育出版社等.普通高中課程標準實驗教科書（A版）·數學（選修2-1）[M].北京：人民教育出版社，2007.

[2]?人民教育出版社等.普通高中課程標準實驗教科書（A版）·數學教師教學用書（選修2-1）[M].北京：人民教育出版社，2007.

[3]?人民教育出版社等.普通高中課程標準實驗教科書（A版）·數學（必修1）[M].北京：人民教育出版社，2004.

[4]?何卓，何昌俊等.2018年高考試題創新解法賞析[J].中學數學教學參考，2018（7）：46（上旬）.