基于數學核心素養的概率統計試題命制與分析

張鵠 陳莉 孔峰 郭曉凌 李紅春

《普通高中數學課程標準》指出：“數學核心素養是數學課程目標的集中體現，是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現，是在數學學習和應用的過程中逐步形成和發展的.數學核心素養包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析.這些數學核心素養既相對獨立、又相互交融，是一個有機的整體.”同時又指出：“命題應依據學業質量標準和課程內容，注重對學生的數學核心素養的考查.在命題中，選擇合適的問題情境是考查數學核心素養的重要載體.”

可見，在新的課程標準指導下，教師不僅要思考如何將學生的數學核心素養的培養貫穿于教學活動的全過程，更要研究在試題的命制中如何體現對學生的數學核心素養的考查.為此，筆者結合2019年武漢市高三四月調研測試中的一道概率統計題的命制過程，談談基于數學核心素養的試題命制問題，旨在與同仁切磋交流.

1?命制過程

考前，市教育科學研究院數學學科命題組召開了全體命題人員會議，確定了試題命制的原則與要求.經過積極的討論與研究，在概率統計解答題的命制過程中，命題組全體人員認為，最近幾年全國Ι卷將概率與統計視為一個有機聯系的整體，以當前社會熱點應用問題為切入點，緊密聯系教材組織試題素材，重點考查學生的數學運算、數據分析、邏輯推理等數學核心素養.因此，作為高考前的最后一次市級大型模擬考試的試題命制，應該積極貫徹落實全國Ι卷的命題精神與特點，引導師生做好后續復習備考.

首先，在試題的命制背景方面，我們主要參考了2018年全國Ι卷理科第4題：

某地區經過一年的新農村建設，農村的經濟收入增加了一倍，實現翻番.為更好地了解該地區農村的經濟收入變化情況，統計了該地區新農村建設前后農村的經濟收入構成比例，得到如下所示餅圖：

則下面結論中不正確的是（）.

A.新農村建設后，種植收入減少;

B.新農村建設后，其他收入增加了一倍以上;

C.新農村建設后，養殖收入增加了一倍;

D.新農村建設后，養殖收入與第三產業收入的總和超過了經濟收入的一半.

該題以黨中央提出的新農村建設工程為背景，引導考生關注社會生活，使學生體會到數學的應用價值，學會用數學知識解決實際問題，同時考查學生的理解能力、讀取數表信息能力和數據處理能力.由此可見，此題包含的背景回應了當前社會發展的熱點問題，可以作為概率與統計方面的命題切入點.

其次，在試題的知識點考查以及設問方式等方面又參考了2014年全國Ι卷理科第19題：從某企業生產的某種產品中抽取500件，測量這些產品的一項質量指標值，由測量結果得如下頻率分布直方圖：

第二小問考查二項分布，以“精準扶貧、不落一人”為背景，旨在提醒考生年收入位于13.432千元～21.368千元之間的概率接近100%，由此可以得出，要順利解答本題，需要考生平時加強閱讀能力和審題能力的訓練，2018年全國Ⅰ卷概率統計題之所以能成為考生的壓軸題就在于許多考生缺乏這些能力，而若有了這方面的諸多能力就不難分析得出，收入位于13.432千元～21.368千元區間的概率屬于大概率事件，又由于每個農民的年收入是否位于該區間相互獨立，所以該隨機變量服從二項分布，最終得出數學期望.

試題命制出來后，又進行了深入的討論研究，一致認為最后一小問表述不夠簡潔和嚴謹且與全國卷概率統計大題的考查難度還有一定的差距，能否結合后期復習回歸教材的要求設計新的合理的設問方式進行考查.最后，在選修2-3第58頁閱讀材料《服從二項分布的隨機變量取何值時概率最大》一文中找到了命題素材.這樣就得到了如下的試題：

2?試題解答

十九大以來，某貧困地區扶貧辦積極貫徹落實國家精準扶貧的政策要求，帶領廣大農村地區人民群眾脫貧奔小康.經過不懈的奮力拼搏，新農村建設取得巨大進步，農民年收入也逐年增加.為了更好的制定2019年關于加快提升農民年收入力爭早日脫貧的工作計劃，該地扶貧辦統計了2018年50位農民的年收入并制成如下頻率分布直方圖：

由此可知，在所走訪的1000位農民中，最多可能有978人的年收入不少于12.14千元.

3?命題感想

3.1?素材積累，功在平時

俗話說，功夫在詩外.命題也是如此，這次命題讓我感覺到要命制一道出色的試題，必須堅持持續的學習與思考，必須注重零星的素材積累與整理.機會總是留給有準備的頭腦.如何做到厚積薄發呢？筆者以為，要重視課本例習題的研究、改編、重組;高考真題的收集、整理、歸類、研究等.唯有這樣方能內化于心，外化于形.

3.2?立足學生，關注發展

著名數學家華羅庚曾說，命題比解題難，命題要測得出水平，測得出能力.這就要求我們命題者要深入思考命題的目的是什么.只有這樣，才不會命制出偏題怪題，才能命制出考查學生關鍵能力與核心素養的好題.因此，命題時一定要心懷學生，立足學生實際，傾聽學生心聲.即便是命制壓軸題，也要站在學生的立場加以考慮，難要合理，新要恰當，不在無關緊要之處設置障礙.

3.3?控制難度，精心磨題

命制一道好的試題就像是在創作一幅藝術作品.藝術作品為什么有強大的感染力，原因在于它能使人易于親近并感受到它的內在美.命題也是如此，唯有適當降低難度，才能讓學生樂于親近它接受它研究它.所以，命制的題目要盡量控制難度、信息量、閱讀量，力求敘述簡潔、文字凝練、語言親切，讓學生感受到題目各方面的美，如簡約美、對稱美、深刻美，讓學生在愉悅的狀態下積極思考，這也體現了命題者的人文關懷.這些都要求我們命題者要不辭辛勞，精心打磨試題，力求創造出美的試題.這也是我們命題者孜孜不倦的追求.