歸納與演繹，數學建模的“左膀右臂”

黃蓮花

數學作為一門應用性很強的科學，在實際生活中的應用廣泛，這種應用的廣泛性靠的是數學模型。模型是把現實生活中的數量關系和圖形關系抽象成概念和符號，它們作為數學研究的對象，推進了數學自身的發展。而數學自身的發展得益于歸納推理及演繹推理，依靠推理，數學才具有了嚴謹性。由此，小學數學建模應該重視歸納推理與演繹推理的教學，促進小學生建模意識的形成，最終提升其數學核心素養。

一、歸納推理——激發創新意識

小學數學建模教學，是從現實情境中抽象出數學問題，圍繞著研究對象所呈現的數量關系、變化規律或空間形式，建立數學抽象層面的符號化結論。這個過程，歸納推理發揮著關鍵作用。所謂的歸納推理，就是從特殊到一般的推理方法，通過觀察某類事物中部分對象以發現某些相同的性質，從而推導出該類事物具有這種性質。由此可以看出，模型建立的過程中，首先，尋找相關的特殊實例，使之成為教學研究的一類對象，這是歸納推理的重要內容;其次，引導學生發現這一類對象的共性之處，進而推理概括出符號化結論，即數學模型，這是歸納推理的重要結果。歸納推理的過程，猜測、驗證、舉例、觀察、發現、歸納，學生在經歷這個過程中，不僅由已知發現了未知，而且激發了學生主動思考、主動創新的意識。

例如，教學人教版五上“平行四邊形的面積”一課。學生從現實情境中抽象出數學問題“這個平行四邊形的面積怎么求”之后，可進入如下幾個環節的探究。

（1）驗證本案例中的兩種猜測“6×5”或“6×3”。引導學生先數方格，用剪拼法進行驗證后，再借助填寫表格和觀察數據，不但發現“6×3”是正確答案，而且發現這個平行四邊形的面積正好是底乘高的積。

（2）猜測平行四邊形的面積計算方法。此時，筆者追問：“看來這個平行四邊形的面積與它的底乘高的積有關系。是不是所有的平行四邊形的面積都可以用底乘高計算呢？你有什么好辦法驗證下？”

（3）多個案例驗證平行四邊形的面積計算方法。引導學生數一數另外3個平行四邊形的面積，并填寫表格。（筆者通過多媒體展示方格紙圖，并在圖上出示標有底和高的平行四邊形3個，圖略）

（4）概括得出平行四邊形的面積計算公式。此時，學生通過觀察表格中面積與底和高之間的關系，可以推導出平行四邊形的面積等于底乘高。

上述四個環節的教學，學生經歷了兩次猜測，兩次驗證，借助數方格和觀察數據，學生從所舉出的案例中，發現了每一個平行四邊形的面積與它的底和高之間存在著一定的關系，即“面積=底×高”。由此，完成了歸納推理的過程。這樣的設計，學生是通過對一個個不同實例的思考、操作、觀察、分析，發現實例間的共性，進而推理得出結論的，學生的主動性、思考性都得以彰顯，創新性得到培養。

二、演繹推理——培育科學精神

演繹推理是從一般到特殊的推理方法，其一般模式包括：大前提——已知的一般原理，小前提——要研究的論斷，結論——根據一般原理，對特殊情況作出的判斷。演繹推理在于證明結論而不在于發現結論，引導學生經歷演繹推理的過程，可以讓學生感受到數學結論的嚴謹性，培育敬畏科學的精神。

例如，在通過歸納得出平行四邊形的面積等于底乘高后，教學不應止步于此，還需要完成如下幾個環節的論證過程。

（1）繼續追問，引導質疑。問題：僅僅舉幾個例子，就能確定所有的平行四邊形面積等于底乘高嗎，還是要繼續舉例，越多越好？或是有更好的方法？

（2）運用轉化的方法探究。這個過程要處理好幾個問題：一是為什么要將平行四邊形轉化為長方形？二是如何轉化？三是轉化前后圖形各部分之間什么變了，什么不變？

（3）推導出面積公式。學生反饋交流后，圍繞著怎樣得出平行四邊形的面積計算公式這一主旨，就有了演繹推理三段論的過程：長方形的面積等于長乘寬（大前提），平行四邊形的面積等于轉化后的長方形的面積，平行四邊形的底和高相當于長方形的長和寬（小前提），所以，平行四邊形的面積等于底乘高（結論）。

歸納得出的概念可以真也可以假，如何讓學生領悟和感受真假結論是教學中的重點。從上述片段教學中可以看出，引導質疑是一個好的方法，通過尋找一個更好的解決途徑，借助已知與未知間的關聯，推斷出未知，確保結論的正確性。從中學生也能體會數學思維的邏輯條理，學習科學方法，培育科學精神。

三、兩者并舉——積累活動經驗

小學數學建模教學旨在培養學生的建模意識，形成建模思想，積淀數學基本活動經驗。積淀數學基本活動經驗，需要親身經歷和感悟歸納推理和演繹推理的過程，從而形成一定的思維模式，建立一定的數學直觀。歸納推理在于由已知發現未知，演繹推理在于驗證結論。歸納推理，本質上是從經歷過的東西推斷沒有經歷過的東西。經驗不是靠教出來的，而是親身經歷過程，自己感悟出來的。當然，親身經歷過程未必有感悟，必須是這個過程有發生“故事”或者“事故”，引發了學生的思考，吸取了教訓，才成為了經驗。因此，這里的“故事”或者“事故”就成為了教學的焦點。

例如，情境創設蘊含實例與非實例問題，即上述猜測的兩種答案“6×3”（底×高）或“6×5”（鄰邊×鄰邊），可看成是學生經歷歸納過程中的一個“故事”。因為這個“故事”，維系了學生已有的經驗，依據“長方形的面積=長×寬，長與寬是相鄰的邊，同時又是互相垂直的兩條邊”這個經驗，推斷出上述的兩種答案。通過驗證，借助方格紙中的“剪切法”又是另一個“故事”，經歷這個過程，學生獲得了新的經驗，一是感悟到了平行四邊形的面積不是與相鄰的邊有關，而是與相互垂直的兩條邊有關;二是積累了“面積就是面積單位的累加”的這一內涵的直觀感知;三是為后面的演繹推理蘊伏了方法經驗。接下來的再猜測再驗證更是一個“故事”，學生獲得了歸納的經驗，形成“從特例入手，嘗試性歸納探索一般規律或結論”的思維方式。最后，借助演繹推理過程驗證歸納得出的結論;進而再推廣到另外一些特例中去，獲得實踐活動的經驗。

歸納與演繹，兩者同樣重要。經歷歸納與演繹的過程，就是自主體驗、感悟和積累“創新”與“邏輯”經驗的過程，長期積累形成經驗后，就會成為自己獨特的思維模式，最終演變為一定的數學直觀，從而在遇到類似的問題或新的問題時能下意識地回憶或聯想，能作出一定的直觀判斷。歸納與演繹恰似建模的“左膀右臂”，在建立數學模型的過程中起著舉足輕重的作用。

（作者單位：福建省廈門市文安小學? ?責任編輯：王振輝）