基于軸心軌跡形態的轉子裂紋故障分析與診斷*

向 玲， 張 悅

(華北電力大學(保定)機械工程系 保定，071003)

引 言

轉子系統在運行中轉子故障時有發生。由于材料加工的原始缺陷和轉子的疲勞運轉，使之產生裂紋故障。單一的碰摩故障和裂紋故障均會使系統的振動加劇，對轉子的正常運轉產生影響。當碰摩和裂紋故障同時存在時，會使系統的非線性行為更加復雜，存在安全隱患。因此，在故障發生之前及時診斷，可極大地減少經濟損失及人員傷亡，對工業生產具有重大意義。艾延廷等[1]基于融合信息熵距，提出了一種轉子振動故障的診斷方法。文獻[2]針對仿真結果和實驗轉子的故障信號，對轉子不平衡、碰摩和油膜渦動故障提出了基于局部均值分解的故障診斷方法。文獻[3]提出用自適應經驗小波變換的方法診斷轉子碰摩故障，克服了希爾伯特變換的瞬時頻率。孫斌等[4]基于復雜網絡的動力學統計量，對轉子系統振動故障作出診斷。

故障轉子的非線性動力學研究一向是學者們研究的重點，其中裂紋和碰摩這兩種常見故障尤為重要。文獻[5-6]基于裂紋-碰摩故障轉子系統的動力學模型，利用延拓打靶法研究了系統周期運動的穩定性。劉元峰等[7]運用龍格-庫塔法研究了轉子在裂紋和碰摩這兩種非線性因素作用下的非線性行為。Mohammad[8]利用有限元模型和諧波平衡法，討論了基于時變剛度的裂紋轉子系統的動態穩定性。Hamid等[9]采用改進的諧波平衡法發現第2裂紋的存在對系統臨界轉速的影響。

學者們還對轉子系統的動力學研究進行了實驗驗證。Guo等[10]對裂紋轉子的動力學行為和基于經驗模態分解的裂紋檢測方法進行了實驗驗證。Yang等[11]對存在不平衡和定點摩擦的雙轉子系統的動力學特性進行了理論分析和實驗研究。Anuj等[12]從裂紋深度和位置等多方面對多裂紋轉子系統的非線性動力學行為進行實驗驗證和分析。Kumar等[13]通過Ansys設計了簡化的實驗裝置模型，對不同參數的裂紋軸進行了諧波分析。已有的研究多從動力學角度對故障轉子進行分析，利用頻譜圖對故障轉子進行診斷，而基于軸心軌跡形態對裂紋故障進行分析的較少。

筆者從軸心軌跡的形態分析角度出發，通過對比分析無故障和裂紋故障轉子系統、碰摩故障和碰摩-裂紋雙故障轉子系統1/2臨界轉速附近的軸心軌跡形態變化，提供了一種診斷系統裂紋故障的新方法，同時利用分岔圖和頻譜圖分析了不同轉子系統的動力學響應。

1 含裂紋-碰摩雙故障的轉子系統

圖1為含裂紋-碰摩雙故障的Jeffcott轉子模型。轉軸兩端為對稱剛性支承，無裂紋的轉軸剛度為k，轉軸中間位置安裝一圓盤，圓盤的質量為m，圓盤的阻尼為c。一個橫向裂紋位于轉軸中部靠近圓盤處，圓盤幾何中心為O1，圓盤質心為O2。

圖1 裂紋-碰摩雙故障轉子系統Fig.1 Rotor system with coupling fault of crack and rub-impact

1.1 碰摩力模型

在碰摩發生的過程中，對碰摩轉子進行簡化，轉、定子之間的碰撞視為彈性碰撞，不計熱效應，碰摩視為局部碰摩。碰摩發生時的切向摩擦力為PT，法向碰摩力為PN，e為圓盤的偏心量，碰摩力的求解公式為

(1a)

PT=μPN

(1b)

將碰摩產生的切向和法向碰摩力分解到x方向和y方向[8]為

(2)

1.2 裂紋轉子開閉模型

圖2為轉軸的橫向裂紋截面示意圖。xOy和ξO′η分別為系統的固定坐標系和轉動坐標系，轉軸的中心為O′，轉動坐標系中的O′ξ軸與裂紋擴展方向一致，轉子在旋轉過程中僅考慮彎曲振動。本研究的裂紋模型采用開閉裂紋模型，其張開與閉合程度隨著重力和不平衡力合力的周期變化而變化。圖中：θ=ωt+φ0；φ0為轉軸初始相位角，這里設定φ0=0；α為一半的裂紋角；ψ為轉軸的渦動角，ψ=arctan(y/x)；β為偏心量和裂紋方向之間的夾角，設β=0；φ為轉渦差角，φ=θ+β-ψ。

圖2 裂紋截面示意圖Fig.2 Schematic diagram of cross section of transverse crack

在筆者研究的裂紋-碰摩雙故障轉子模型中，考慮到不同裂紋深度對轉軸剛度的影響，選用的裂紋開閉模型為將裂紋深度考慮在內的非線性模型

(3)

其中：A=a/R，為轉軸的無量綱裂紋深度；a為裂紋深度；R為轉軸半徑。

1.3 裂紋剛度模型

筆者建立的裂紋-碰摩雙故障轉子模型中，轉軸的兩端為剛性對稱支承，忽略系統的耦合剛度。在轉軸轉動的過程中，裂紋的存在會時刻改變橫截面所受的應力大小及方向，矩陣K為變化后的剛度矩陣。在轉軸剛度變化的過程中，忽略O′η軸方向的變化，即ΔK=ΔKξ，故變化后的剛度矩陣表達式[8]為

(4)

其中：f(φ)為呼吸裂紋的開閉函數；k為轉軸剛度；Δk為有裂紋的轉軸剛度變化量。

將計算中所用的轉動坐標系ξO′η替換為固定坐標系xOy，則式(4)中的各剛度可表示為

kxx=k-f(φ)Δkcos2(φ+ψ)

(5)

kxy=kyx=-f(φ)Δkcos(φ+ψ)sin(φ+ψ)

(6)

kyy=k-f(φ)Δksin2(φ+ψ)

(7)

2 裂紋-碰摩轉子系統運動微分方程

2.1 裂紋-碰摩轉子系統運動微分方程的建立

假設x和y分別為轉軸中央圓盤處的徑向位移，不考慮陀螺力矩和扭轉振動。根據Lagrange方程將兩端支承連線的中心視為零勢能點，得到裂紋-碰摩雙故障轉子系統的運動微分方程為

(8)

其中：m為圓盤質量；c為圓盤阻尼系數；k為無裂紋的轉軸剛度；e為圓盤偏心量；ω為轉軸轉速；Px為系統x方向的碰摩力；Py為系統y方向的碰摩力。

2.2 裂紋-碰摩轉子系統運動微分方程的求解

(9)

(10)

3 數值仿真與分析

轉子系統中的故障存在會使系統響應發生不同程度變化。轉子中裂紋故障會對轉軸剛度產生一定影響，進而使系統響應發生一系列變化。根據裂紋故障對系統響應引發的規律變化，可對系統的裂紋故障進行初步診斷。

3.1 無故障及裂紋故障轉子系統的仿真與分析

利用四階龍格-庫塔法對無量綱化后的非線性方程組進行求解，無故障轉子系統和裂紋轉子系統的參數設定如表1所示。另外，無故障轉子系統的無量綱裂紋深度A=0，裂紋轉子系統中的設定為A=0.3。考慮到瞬態響應的影響，故選用100周期以后的計算結果進行仿真，得到系統的分岔圖和1/2臨界轉速附近的軸心軌跡圖，如圖3，4所示。

表1 無裂紋及裂紋故障轉子系統參數

Tab.1 System parameters of the uncracked rotor and the cracked rotor

參數符號數值圓盤質量/kgm0.594 3圓盤阻尼/(N s·m-1)c10.89定子剛度kc0轉子剛度/(N·m-1)k19 959偏心量/mme0.085轉軸半徑/mmR5

由圖3可知，在轉速為0～1.5倍臨界轉速區間內，無故障Jeffcott轉子系統和裂紋故障轉子系統均未出現分岔，始終為單周期運動。由圖3(a)可知，無故障轉子系統運動較為穩定。在圖3(b)中，曲線存在多處峰值，即當系統轉速比為1/n(n=1,2,…)時,系統出現共振現象。對比圖3 (a), (b)，雖然兩圖具有不同特征，但不能為裂紋故障的診斷提供有力條件。

圖3 無故障轉子系統和裂紋轉子系統分岔圖Fig.3 Bifurcation diagram of the uncracked rotor and the cracked rotor

圖4 1/2臨界轉速區無裂紋轉子和裂紋轉子的軸心軌跡Fig.4 The axis orbits of the uncracked rotor and the cracked rotor around the 1/2 subcritical speed zone

從圖4(a)可以看出，在1/2臨界轉速附近，無故障轉子系統的軸心軌跡均為光滑圓環，隨著轉速變化，僅僅是圓環大小發生變化，并沒有內環出現。在圖4(b)中，裂紋轉子系統的軸心軌跡在轉速變化區間內始終存在一個內環，且內環的形狀和偏置角度均隨轉速的變化而變化，其中內環的偏置方向在轉速區間內的旋轉角度約為π。

對比有無故障轉子的軸心軌跡可知，通過判斷系統1/2臨界轉速附近的軸心軌跡有無內環出現，且偏置角度是否為π，可以為系統中裂紋故障的診斷提供一種簡便方法。

3.2 碰摩故障及裂紋-碰摩轉子系統的仿真與分析

碰摩轉子系統和裂紋-碰摩轉子系統的參數設定如表2所示。碰摩轉子系統的無量綱裂紋深度A=0，在裂紋-碰摩轉子系統中設定A=0.3。同樣考慮瞬態響應的影響，選用100周期以后的計算結果進行仿真，對轉子系統響應進行對比分析。

表2 碰摩轉子和裂紋-碰摩轉子系統參數

Tab.2 System parameters of the rub-impact rotor and the crack and rub-impact rotor

參數名稱符號數值圓盤質量/kgm0.594 3圓盤阻尼/(Ns·m-1)c41.64摩擦因數μ0.2定子剛度/(105N·m-1)kc1.035 7轉子剛度/(105N·m-1)k1.726 2偏心量/10-3mme9.8轉軸半徑/mmR5

由圖5 (a)可知，在轉速為0～1.5倍臨界轉速區間內，碰摩轉子系統未出現分岔，始終為單周期運動。圖5(b)為裂紋-碰摩轉子系統的分岔圖，可知系統發生三分岔的轉速為0.492倍的臨界轉速，在此之前系統為單周期運動。系統經過短暫的三周期運動后，在轉速為0.495倍的臨界轉速處進入二周期運動, 繼而系統又在轉速為0.498倍的臨界轉速處經過倒分岔回歸到單周期運動。

圖5 碰摩轉子系統和裂紋-碰摩轉子系統分岔圖Fig.5 Bifurcation diagram of the rub-impact rotor and the crack and rub-impact rotor

圖6 碰摩轉子系統和裂紋-碰摩轉子系統1/2臨界轉速區的軸心軌跡Fig.6 The axis orbits of the rub-impact rotor and the crack and rub-impact rotor around the 1/2 subcritical speed zone

圖6為碰摩轉子系統和裂紋-碰摩轉子系統1/2臨界轉速附近的軸心軌跡圖。由圖6(a)可知，碰摩轉子系統在1/2臨界轉速附近，軸心軌跡圖中無明顯的內環出現，圓環存在輕微凹凸現象，這是由于系統的碰摩故障所致。由圖6(b)可以看出，裂紋-碰摩轉子系統1/2臨界轉速附近的軸心軌跡形態呈現出規律變化。圖中的軸心軌跡始終存在一個內環，且隨著轉速升高，內環的形狀和偏置方向均發生變化。在轉速變化范圍內，內環逐漸變小，其偏置方向也旋轉一定角度。與裂紋故障轉子系統的軸心軌跡相對比，此時由于碰摩故障的存在，使軸心軌跡內環的旋轉角度有一定的減小，略小于180°。

圖7 裂紋-碰摩轉子系統1/2臨界轉速區的時域波形圖和頻譜圖Fig.7 Time series and frequency spectra of the crack and rub-impact rotor around the 1/2 subcritical speed zone

因此，在裂紋-碰摩雙故障轉子系統中，通過觀察系統1/2臨界轉速附近的軸心軌跡圖是否存在內環、內環的偏置方向是否在轉速變化范圍內旋轉一定角度，便可對轉子系統的裂紋故障作出初步診斷。

圖7為裂紋-碰摩轉子系統對應轉速下的時域波形圖和頻譜圖。可以發現，系統波形均為周期信號，并有“削波”現象存在。在頻譜圖中隨著轉速變化，各諧波分量幅值有所變化，由于裂紋故障的存在，其中2X分量明顯，另外還存在3X，4X等諧波頻率成分，系統碰摩特征也較為明顯。

由以上仿真結果可以看出，通過對比無故障Jeffcott轉子系統和Jeffcott裂紋轉子系統1/2臨界轉速附近的軸心軌跡圖，根據軸心軌跡圖中是否存在內環，且內環的偏置角度是否旋轉180°，為轉子系統中裂紋故障的初步診斷提供一種簡便清晰的方法。同樣，通過對比Jeffcott碰摩轉子系統和裂紋-碰摩雙故障轉子系統1/2臨界轉速附近的軸心軌跡圖，也可根據圖中是否存在內環以及內環是否旋轉一定角度，對裂紋-碰摩雙故障轉子系統中的裂紋故障作出初步診斷。

4 實驗研究

對剛性支承下裂紋轉子系統進行實驗研究，圖8為Bently RK-4轉子實驗臺。實驗采用5只傳感器進行數據測量，分別在兩端支承處安裝一對呈45°分布測量振動信號，在電機輸出端安裝一只光電傳感器向轉速調節器提供反饋信號。實驗中ZonicBook/618E振動測試系統用于數據采集，實驗臺運行穩定，可實現0～10kr/min范圍內的無級調速。

此次實驗將模擬轉子的裂紋故障，圖9為裂紋軸的細節圖。實驗使用一根裂紋深度a=2mm的轉軸，該模擬裂紋是利用線切割加工而成。轉子系統的臨界轉速約為2 800r/min，為了對理論仿真進行驗證，在實驗臺完成了定速實驗，通過測得振動信號得到轉軸相應的軸心軌跡并進行分析。

圖8 Bently RK-4轉子實驗臺Fig.8 Bently RK-4 rotor test rig

圖9 裂紋軸細節圖Fig.9 Schematic diagram of crack shaft

圖10為2mm裂紋轉子系統1/2臨界轉速附近的軸心軌跡的實驗結果。通過圖中箭頭的標識可以發現，系統1/2臨界轉速附近的軸心軌跡存在一個隨著轉速升高而旋轉的內環，且在轉速變化范圍內其旋轉角度接近180°。該實驗結果對之前的理論仿真進行了部分驗證，證明了通過軸心軌跡特征初步診斷裂紋故障的有效性。另外，此次實驗過程中，實驗轉軸可能存在輕微的不對中，使部分軸心軌跡圖中存在一個尖端，在后續的實驗中將對該問題進行改進。

圖10 實驗轉軸1/2臨界轉速區的軸心軌跡Fig.10 The axis orbits of the test shaft around the 1/2 subcritical speed zone

5 結束語

基于轉子系統軸心軌跡的形態分析，通過對比無故障轉子系統和裂紋轉子系統、碰摩轉子系統和碰摩-裂紋雙故障轉子系統1/2臨界轉速附近的軸心軌跡形態變化，為多故障轉子系統中的裂紋故障的初步診斷提供了一種簡便的新方法。結果表明：在裂紋-碰摩轉子系統中，隨著轉速升高，系統1/2臨界轉速附近的軸心軌跡形態呈現出規律和典型的變化。在速度變化區間內，系統軸心軌跡始終存在一個內環，且內環形狀和位置均隨轉速變化而發生變化，其中內環的位置在轉速變化區間內的旋轉角度接近π。在碰摩轉子系統中，其1/2臨界轉速附近的軸心軌跡并未存在內環，因此可根據系統1/2臨界轉速附近的軸心軌跡是否存在內環、內環是否旋轉一定角度，來判斷系統中是否存在裂紋故障，為裂紋-碰摩雙故障轉子系統中裂紋故障的初步診斷提供了一種新方法。可以看出，該方法與通過對比無故障轉子和裂紋轉子系統的軸心軌跡來初步診斷裂紋故障的方法類似。筆者通過分岔圖、時域波形圖及頻譜圖，對不同轉子系統的系統響應進行了分析。可以看出，裂紋-碰摩轉子系統的時域波形圖呈周期變化，并有“削波”現象存在。系統頻譜中包含豐富的諧波成分，碰摩現象明顯。在Bently轉子實驗臺對裂紋轉子的軸心軌跡進行了實驗驗證。結果顯示，1/2臨界轉速附近的軸心軌跡存在一個隨著轉速升高而旋轉的內環，且在轉速變化范圍內其旋轉角度接近180°，進一步證明了通過軸心軌跡特征初步診斷裂紋故障的有效性。