結合模態區間分析和IARR的不確定性損傷識別*

方圣恩， 張 寶

(1.福州大學土木工程學院 福州，350108) (2.福州大學土木工程防震減災信息化國家地方聯合工程研究中心 福州，350108)

引 言

結構健康監測與安全狀態評估的核心內容之一是基于靜動力響應測試數據來識別結構可能存在的損傷[1]，但工程結構中總是存在不確定性因素，導致確定性損傷識別方法實用性不強[2]。為此，在概率統計框架下考慮上述不確定性因素，量化參數的不確定性[3]，建立概率損傷識別過程，是近幾年的研究熱點。具體來說，可以采用隨機有限元[4]，通過對模型參數攝動式的隨機模擬來獲取參數的概率統計特征；也可以基于統計模式識別[5]，基于響應時程數據的統計特征構建表征結構狀態的統計模式向量，通過比較不同狀態下的模式向量在特征空間的距離來判斷損傷；或者利用貝葉斯公式建立貝葉斯推斷過程[6]，基于結構參數先驗分布和當前實測信息不斷更新參數后驗概率分布，建立概率損傷指標來判斷結構是否發生損傷。可以說，概率統計理論在損傷識別實用化進程中非常重要。對幾何尺寸大、構件數目和種類繁多、材料性能復雜的土木工程結構而言，大樣本量的實測數據在測試時間和成本上難以接受，且工程上更關心的是結構參數和響應的上下界，因此經典區間分析(classic interval analysis,簡稱CIA)的優勢就得到了利用[7-8]。

可以由包含不確定性的實測響應數據得到結構健康特征量，并以區間量或區間向量的形式來表示[8]。將結構不確定性量用有界區間數表示，通過區間修正方法得到完好與損傷結構的區間模型，根據損傷存在可能性指標判斷結構各單元損傷情況[9]，其單元剛度參數上下界可以由一階泰勒級數展開式來表示[10]。區間建模技術可以有效提取結構損傷特征，與自適應神經模糊推斷系統相結合，可實現對結構損傷的快速診斷[11]。但是，傳統的區間算法容易發生區間擴張，使估計的參數區間范圍大于真實區間，造成識別結果精度不足。為此，文獻[12]提出了模態區間分析(modal interval analysis,簡稱MIA)方法，通過定義邏輯謂詞和語義函數進行區間分析，用不規范區間考慮了變量之間的相關性，從而得出參數的精確區間包絡線，可以與響應面法相結合用于區間參數的識別[13]。

約束滿足問題(constraint satisfaction problem,簡稱CSP)[14-15]用于損傷識別時需要測量節點或截面的轉角位移，雖然通過解析冗余度(analytical redundancy reduction,簡稱ARR)可以剔除轉角未知量，但無法實現損傷定位。筆者提出的改進解析冗余度方法可以僅用相對容易測量的位移或振型來判斷結構是否發生損傷并定位，分析過程無需構建結構數值模型并進行模型修正，屬于一種無模型的損傷識別方法。為了進一步考慮損傷識別中的不確定性，筆者將MIA和ARR相結合，提出模態區間約束條件和模態區間中心預處理方法，通過對比結構損傷前后參數區間約束條件變化情況，實現損傷定位。最后，用一根試驗鋼梁驗證了所提出方法的可行性。

1 經典和模態區間分析

1.1 經典區間算法

區間寬度W和區間中心O定義為

(1a)

(1b)

區間四則運算與傳統數學運算法有顯著區別[7]，函數f(x)的區間運算過程通常都會發生區間擴張現象，即估計的f(x)區間大于真實區間。例如：一元函數f1(x)=x(10-x)和f2(x)=10x-x2，二者在傳統數學上完全一樣，但若x為區間數xI=[4,6]，則由區間運算可得f1(xI)=[16,36]，f2(xI)=[4,44]，而準確的區間解為[24,25]，為前述計算的兩個區間所包含，即發生了區間擴張現象，對f2(xI)來說更嚴重。原因有兩方面：a.函數區間分析過程中，表達式中同一變量xI的兩次出現被看作是兩個完全獨立的變量，從而產生了區間擴張；b.不同的函數表達式導致不同的擴張結果，這是由于區間的弱分配律和區間包含特性所致，且擴張程度會隨著區間變量和運算次數增多而變大。

1.2 模態區間分析

MIA[12]可以看作是CIA和模態邏輯理論的有機結合，利用模態邏輯謂詞對區間進行語義學解釋，從而得到符合模態邏輯語義解釋的區間分析方法。若I(R):={[a,b]|a,b∈R,a≤b}，引入存在量詞E和全局量詞U，則模態區間的規范化表示為

(2)

其中：([a,b],E)為“規范區間”或“存在區間”；([a,b],U)為“不規范區間”或“全局區間”。

可見，通過引入邏輯謂詞，使模態區間也具有絕對值相同、符號相反的區間(像實數那樣)，這是CIA所不具備的。具體應用上，MIA通過對偶算子Dual實現規范到不規范區間的變換，即Dual([a,b])=[b,a]，由此延伸出MIA中的兩個理論。

f*(X′)=C(X′D)=f**(X′)

(3)

其中：f*和f**為語義函數。

2) 部分強制最優理論：若C(X)只對X′中的部分X完全單調，則對于完全單調的部分，若X′D中的任一變量與X′的單調性不一致，則將該單一變量在函數中作對偶。對于不完全單調的部分，對X′不規范區間向量中除一個變量外的其余所有變量作對偶，將X′D轉化為X′DT*，并對所計算結果取并集，由此計算出的結果將是近似區間解

f*(X′)?

(4)

可見，MIA與CIA的運算規則類似，但MIA的四則運算法則中存在不規范區間，并在分析過程用不規范區間考慮了變量之間的相關性，有效避免了區間擴張，這也是MIA和CIA最大不同之處。仍以函數f2(x)=10x-x2在變量x=[4,6]時為例，CIA的計算結果為[4,44]，而MIA應用強制最優理論的計算結果為精確解[24,25]，由此可見后者有效解決了區間擴張問題。限于篇幅，此處不再詳細介紹MIA，具體理論可參見文獻[12]。

2 不確定性損傷識別

2.1 約束滿足問題及改進解析冗余度

CSP是人工智能領域的一個重要基本問題[16]，由一個變量集合和一個約束集合組成。經典CSP通過一個三元組[X,D,C]定義

(5)

其中：X為CSP中變量集合；D為X中各變量的取值域集合；C為約束條件集合，可以定義為函數方程及不等式等。

若找到賦值X1=x1,X2=x2,…,Xn=xn，使C中所有約束條件都滿足，則集合{x1,x2,…,xn}就是該CSP的一個解。損傷識別問題中，當一個或多個Ci(x)無法滿足時，就稱為發生了不一致，表示為

?x∈X{(C1(x))∨…∨(Cm(x))}

(6)

結構靜力分析時，可將結構剛度方程寫成矩陣的形式

其中：Δt和Δθ分別為節點平動和轉動位移；Ktt和Kθθ對應平動和轉動的部分剛度矩陣；交叉項為Ktθ=Kθt；Pt和Pθ為作用在結構上的集中荷載和力矩。

結構參數變量均包含在剛度(子)矩陣K中，即認為損傷引起的參數變化反映為剛度的降低。式(7)分解為方程組時就形成了CSP，每個方程代表1個約束條件。為消除難以實測的Δθ，ARR法以包含了Δt，Δθ的部分約束方程為基礎，假定Δt為已知量來表示Δθ，形成以Δθ為因變量的轉換方程，再代入剩余的CSP方程組中，最終得到只含Δt的方程組[15]。由于轉換后方程組仍包含了與損傷單元相關的方程，使所構造的CSP只能用于判斷整體結構是否發生損傷，無法進行損傷定位。

為此，筆者提出了IARR方法，預先假定可能損傷單元，通過消除與Δθ相關的方程組，剔除了與假定損傷單元相關的方程，同時補充了與損傷單元無關的方程來形成新的CSP求解方程組

(8a)

(8b)

將式8(b)求解結果代入式8(a)中，得到不包含Δθ方程組子集KtΔt=Pt，以此作為約束關系集合，將結構損傷識別問題就變成一個只包含可測量Δt的CSP，展開式為

(9)

表1 結構約束條件滿足情況

Tab.1 Satisfaction of structural constraints conditions

結構狀態約束條Cx()¨Cx()無損TCx()=0)T(¨Cx()=0)假定單元發生損傷TCx()=0)F(¨Cx()≠0)其余單元發生損傷FCx()≠0)T(¨Cx()=0)

2.2 結合MIA的不確定性損傷識別

實際工程結構參數x往往帶有不確定性，滿足某一概率分布或處于一定取值范圍，后者可用區間數xI表示，此時相應的CSP約束條件方程也擴展成區間形式，通過MIA計算判斷約束條件是否滿足，即約束區間值是否包含0值。和表1類似，結構區間約束條件如表2所示。

表2 結構區間約束條件滿足情況

Tab.2Satisfaction of structural interval constraints conditions

結構狀態約束條CxI()¨CxI()無損T(0CxI())T(0∈¨CxI())假定單元發生損傷T(0CxI())F(0?¨CxI())其余單元發生損傷F(0CxI())T(0∈¨CxI())

除了結構參數不確定性，實際測試中還存在儀器系統誤差、測量噪聲、環境溫濕度變化及人為因素等不確定性因素，部分因素難以量化。分析過程若考慮過多的不確定性組合，會導致求解的結構響應區間范圍變得很大，使結構發生較大程度損傷時才能被識別，無法體現“早發現、早處理”的目標。分析中未考慮的不確定性因素也會使響應區間發生“偏差”，表現為結構無損傷時響應區間不包含零值。為了在簡化問題的同時避免上述“偏差”，筆者采用區間中心O(式(1))預處理結構在無損狀態下的響應區間

(10)

其中：上標u表示無損(undamaged)。

(11)

具體的不確定性損傷識別流程如圖1所示。

圖1 不確定性損傷識別流程Fig.1 Flow chart of uncertainty-based damage identification

3 鋼梁試驗算例

實際工程中監測處于交通生命線上橋梁結構的健康狀態是十分必要的，而主梁又是橋梁主體結構中最關鍵和最常受損的構件。為結合工程實際并驗證所提出的不確定性損傷識別方法，筆者實測了一根薄壁矩形截面鋼梁，幾何尺寸如圖2所示。鋼材實測屈服強度為343 MPa，抗拉極限為450 MPa，彈性模量為202 GPa。試驗通過在鋼梁截面上切口來模擬損傷，采用千斤頂靜力加載方式得到鋼梁的撓度，作為目標響應。

3.1 鋼梁計算模型和約束條件

靜載試驗時鋼梁兩端邊界條件為簡支，在距左端支座1/3梁長處施加豎直向下的集中荷載P。試驗前先建立鋼梁的計算模型，將梁劃分為6個識別區域(梁段)，每個梁段對應的約束條件如圖3所示。梁段劃分長度根據識別精度要求來確定，剛開始可以先粗劃分，確定可能發生損傷的梁段后，再針對此梁段進行細化分，以準確定位損傷。彈性模量E、豎向撓度d及外荷載P為隨機變量：E的區間范圍根據試驗結果設為[190,210] GPa；d的不確定性根據千分表的精度設為±0.001 mm；P的不確定性力根據千斤頂的力傳感器精度設為±100 N。

限于篇幅，算例中假定梁段4發生損傷并建立該梁段的CSP，相應的求解方程組和約束條件如表3所示。其中，支座處豎向位移為0，故相應的約束條件C1，C13和豎向撓度變量d1，d13恒為0，不在圖表中列出。得到的約束條件方程為

其中：E，d及P為區間變量(為簡化表示，不作上標I)。

圖2 試驗鋼梁示意圖(單位：mm)Fig.2 Schematic diagram of experimental steel beam (unit: mm)

圖3 鋼梁梁段劃分及約束條件Fig.3 Segment division and corresponding constraints of steel beam

項目內容假定損傷梁段④轉角變量θ2,θ4,θ6,θ8,θ10,θ12,θ14豎向位移變量d3,d5,d7,d9,d11用于求解的方程組C2,C4,C5,C6,C11,C12,C14與損傷單元無關的約束條件方程C3與損傷單元有關的約束條件方程C7,C8,C9,C10

3.2 試驗過程

試驗加載系統由反力架、支座、油壓千斤頂及力傳感器等組成，如圖4所示。按圖2將梁劃分為6段，除支座外的分段梁截面下共布置5個千分表。試驗中鋼梁在第4梁段中間截面轉角處采用切割方式模擬單損傷(圖4右上角)，分為3種損傷程度逐步增加的工況，切割寬度均為0.8 cm，長度分別為1，2和3 cm。值得注意的是，切割寬度僅為該梁段長度(300 mm)的2.7%，3種切口對箱梁截面慣性矩降低的程度分別為1.4%，2.1%和2.7%。可見，對鋼梁來說是很小的損傷，目的是為了增加識別的難度。

圖4 試驗鋼梁靜力加載及損傷模擬Fig.4 Static loading and damage simulation of experimental steel beam

試驗前首先進行預加載，以檢查測量系統的穩定性并壓實梁與支座、加載系統間的縫隙。正式加載時荷載步為1 kN，逐步加載至4 kN后維持該荷載，并記錄鋼梁在無損狀態下的撓度數據。然后，在預定位置切割，每個工況切割完畢后，記錄鋼梁在受損狀態下的撓度。

3.3 損傷識別結果

結合梁計算模型和實測撓度數據進行了不確定性損傷識別過程，如表4所示。表中不僅列出與損傷梁段4相關的4個約束條件C7～C10，也將無損梁段1，2的約束條件C3進行對比。約束條件值為T說明無損傷，為F時說明發生損傷。由表4可見：a.P<4 kN的無損狀態下，C3,C7～C10均為T，表示梁未發生損傷，與實際情況相符;b.P=4 kN、切割長度為1 cm時，C3,C7～C10均為T，未能識別出該工況的損傷，可能是由于損傷程度太小所致;c.P=4 kN、切割長度為2 cm時，C10為F，說明梁存在損傷，損傷位置為第4或第5梁段(因為C10為這兩段共同的約束條件)；d.P=4 kN、切割長度增加到3 cm時，C8和C10均變為F，說明梁的損傷在增大，且此時可以確認損傷位置處于第4段。

表4 靜力損傷試驗約束條件滿足情況

Tab.4 Scenarios of damages in static test

荷載/kN切口寬度/cm切口長度/cm切割梁段約束條件方程C3C7C8C9C10梁狀態2———TTTTT無損3———TTTTT無損4———TTTTT無損40.8140.8240.83④TTTTT無損TTTTF損傷TTFTF損傷

4 結 論

1) 通過引入模態邏輯謂詞，MIA能有效處理約束條件方程在CIA運算過程中單一變量多次出現所導致的區間擴張現象，大幅提高了區間估計精度。

2) IARR法可以消除約束條件方程中難以測量的轉角，使分析過程僅需要易于測量的撓度。同時通過調整約束條件方程的子集構成，使損傷定位得以實現。

3) 試驗梁難免存在測量誤差及系統參數不確定性的影響，但由于采用了區間中心預處理方法，使所提出方法具有一定的抗干擾能力。

4) 總體上，MIA，IARR與CSP的有機結合，能夠對不確定性因素影響下鋼梁的小損傷進行定位，具有較好的理論和實用意義。