局域共振型周期雙層板簡化模型帶隙特性研究*

錢登輝， 史治宇

(1.蘇州科技大學土木工程學院 蘇州，215011) (2.南京航空航天大學機械結構力學及控制國家重點實驗室 南京，210016)

引 言

在工程中許多領域，不同類型的板殼被用于外殼結構[1-2]。雙層板結構具有許多單板結構所不具備的性能。外殼結構在振動傳播過程中經常作為傳播介質且不斷向外輻射噪聲。近年來，聲子晶體概念主要研究大多集中在帶隙計算方法和特性方面。帶隙形成的機理常見的有Bragg散射機理[3-6]和局域共振機理[7-10]。兩種機理最大區別在于局域共振帶隙所在頻域數量級要比Bragg散射帶隙所在頻域的數量級小得多，這就意味著基于局域共振機理構成的聲子晶體可以用來控制更加低頻的振動和噪聲。因此，將傳統局域共振性聲子晶體的設計思路引入到板殼結構中，將為低頻段的振動和噪聲控制起到積極的作用[11-14]。

目前，局域共振性聲子晶體單板結構已經獲得了一定的研究。針對結構構造的不同，大致分為填充性和貼附型[15]兩類。對于填充型聲子晶體單板，文獻[16-17]分別構造了二元和三元結構，應用平面波展開法研究了相應特性。Oudich等[18]應用有限元法研究了二元和三元貼附型聲子晶體單板的帶隙特性。Xiao等[17]通過在薄板上周期貼附彈簧質量塊，構造貼附型結構的簡化模型，并研究了其彎曲帶隙特性。Qian等[19]研究了復合型局域共振聲子晶體單板結構彎曲振動的傳播特性。

基于單板研究現狀，筆者構造了復合型局域共振聲子晶體雙層板結構，研究了其帶隙特性。針對“彈簧-質量塊”和“彈簧-扭簧-質量塊”兩種簡化模型，通過將傳統平面波展開法延伸到該結構，從是否考慮黏性的角度，分別對其帶隙形成機理和調節規律進行了研究。

1 模型以及公式化

圖1 結構模型Fig.1 Models of structures

假設雙層板簡化模型的上下板厚度均滿足薄板要求，且只考慮質量塊繞y軸的扭轉而忽略繞x軸的轉動，故認為上下板完全一致。根據薄板彎曲理論并參照對應的單板簡化模型[19]，圖1(a)所示的簡化模型的彎曲振動方程為

(1)

(2)

(3)

其中：W1(r)和W2(r)分別為下板和上板的撓度；WR(R)為質量塊沿z向的位移；θR(R)為質量塊繞y軸的扭轉角度；ρ(r)為板的密度；h(r)為板的厚度；D(r)=E(r)h(r)3/12(1-μ(r)2)為板的彎曲剛度；E(r)為彈性模量；μ(r)為泊松比。

由于板由兩種材料構成，硬材料和軟材料的密度、彎曲剛度、彈性模量、泊松比分別用ρ1，D1，E1，μ1和ρ2，D2，E2，μ2表示。對于共振單元簡化模型，各參數分別為彈簧剛度kF、質量塊質量mR、扭簧剛度kM以及質量塊轉動慣量JR。此外，軟材料的半徑為Rs，晶格常數為a。

令α(r)=ρ(r)h(r)，β(r)=D(r)μ(r)，γ(r)=D(r)(1-μ(r))，則式(1)可簡化為

(4)

由于結構在x和y方向的周期性,α(r)，β(r)，γ(r)和D(r)均可在空間域進行傅里葉級數展開

由于軟材料是圓柱形的，所以ψ(g)=2fJ1(gRS)/(gRS)。其中：J1為一階第1類Bessel函數；g為倒格矢G的模。

根據Bloch定理和結構周期性，位移場W1(r)和W2(r)可表示為

(7)

其中：k=(kx,ky)為不可約布里淵區邊界上的二維Bloch波矢；G′為倒格矢。

由周期性和Bloch定理得到

(8)

根據狄拉克函數的特性，得到

(9)

由式(7)可以得到

(10)

將式(5)～(10)代入式(4)，得到

(11)

若取倒格矢的個數為N，則式(11)矩陣化為

(12)

其中

UGij=SAGij+SBGij+SCGij+SDGij+SEGij

(13)

(14)

(15)

CGij=2(k+Gi)x(k+Gi)y×

γ(Gi-Gj)(k+Gj)x(k+Gj)y

(16)

(17)

(18)

FGij=α(Gi-Gj)

(19)

(20)

(21)

(22)

SG=

(23)

式(12)即為關于ω2的典型廣義特征值問題。對于每一給定的波矢k，通過求解特征值可得到相應的一系列特征頻率。通過所有的不可約Brillouin區邊界上的波矢，得到該復合型局域共振聲子晶體雙層板簡化模型的彎曲振動能帶結構。表1為筆者計算用到的材料參數和幾何參數。

表1 計算所用到的材料和幾何參數

Tab.1 Materials′ and geometrical parameters used in calculations

參數數值參數數值E1/GPaμ1ρ1/(kg·m-3)E2/GPaμ2ρ2/(kg·m-3)kF/(N·m-1)77.60.352 7301.18×10-40.4691 3004×105mR/kgkM/(N·m2)JR/(kg·m2)a/mh/mRs/m0.11000.010.10.0024×10-6

2 數值結果和分析

2.1 “彈簧-質量塊”貼附型局域共振聲子晶體雙層板簡化模型

對于圖1所示的復合型局域共振聲子晶體雙層板簡化模型，若雙層板只由一種硬材料構成，且共振單元為彈簧振子，扭簧忽略不計，則該模型可以簡化為“彈簧-質量塊”貼附型局域共振聲子晶體雙層板簡化模型。

式(6)可以簡化為

(24)

將式(24)代入式(14)～(19)，可以簡化為

將式(25)～(30)代入式(13)，則

(31)

由于共振單元只為彈簧振子，則與扭簧相關的項應消除掉。于是，式(12)可化為

(32)

圖2為“彈簧-質量塊”貼附型局域共振聲子晶體雙層板簡化模型的能帶結構圖。這里，平面波數取N=(5×2+1)2個。可以看出，能帶結構在低頻段(330～382 Hz)打開了一條完整的帶隙。對于該雙層板模型的帶隙特性研究，文獻[20]已經進行了詳細研究。不同的是，該文獻應用的是有限元法，但兩種方法在處理該結構時均具有很高的精度，誤差極小。總的來講，通過研究分析表明，雙層板結構具備的低頻帶隙性能優于單板結構。

為了描述方便，能帶用符號G*表示，能帶上的臨界頻率用符號F*表示。

圖2 “彈簧-質量塊”雙層板簡化模型能帶結構Fig.2 Band structure of “spring-mass” simplified model of double panel structure

2.2 “彈簧-扭簧-質量塊”貼附型局域共振聲子晶體雙層板簡化模型

當考慮扭簧的作用時，采用式(12)對該簡化模型的彎曲振動能帶結構進行計算。由于板只由一種材料構成，所以方程里矩陣UG中的元素仍由式(31)求取。

圖3 “彈簧-扭簧-質量塊”雙層板簡化模型能帶結構圖Fig.3 Band structure of “spring-torsional spring-mass” simplified model of double panel structure

圖3為“彈簧-扭簧-質量塊”貼附型局域共振聲子晶體雙層板簡化模型的彎曲振動能帶結構。其中，平面波數取為N=(10×2+1)2個。將該能帶結構與圖2所示的同參數下不考慮扭簧作用的“彈簧-質量塊”貼附型局域共振聲子晶體雙層板簡化模型的彎曲振動能帶結構進行對比發現，扭簧對圖2中標示的能帶G1，G2,1，G2,2，G4,1和G4,2均有影響，但對Bragg散射能帶G3并無影響。另外，扭簧的添加使能帶G1向下偏移，同時使得G2,1，G2,2，G4,1和G4,2向上偏移。因此，扭簧的增加不僅使帶隙寬度增大，并且使帶隙起始頻率降低。

圖4為扭簧剛度kM對帶隙臨界頻率F1，F2,2，F3和帶隙寬度Fw的影響關系。除了kM以外，計算用到的參數如表1所示，且kM的變化范圍為0～200 N·m2。通過添加附加彈簧的方式可以使G2,1輕易移動到G2,2上方[20]，所以這里不考慮kM對F2,1的影響。可以看出，隨著kM的增大，F1減小，F2,2增大，F3保持不變。由于F2,2所在關系曲線一直在F3上方，所以Fw由起始頻率F1和終止頻率帶隙F3決定，且一直在增大。因此，對于“彈簧-扭簧-質量塊”貼附型局域共振聲子晶體雙層板簡化模型，增加扭簧剛度可以對加寬帶隙寬度和降低帶隙起始頻率同時起到積極作用。

圖4 帶隙臨界頻率及帶隙寬度與扭簧剛度之間的關系Fig.4 The influences of torsional spring stiffness on critical frequencies and bandgap width

為了研究質量塊轉動慣量JR對“彈簧-扭簧-質量塊”貼附型局域共振聲子晶體雙層板簡化模型帶隙的影響關系，計算了轉動慣量為JR=0.1 kg·m2時該簡化模型的彎曲振動能帶結構，如圖5所示。

計算用到的參數與圖2對應的算例一致。對比圖5和圖2可以發現，能帶結構是完全一致的，這說明對于“彈簧-扭簧-質量塊”貼附型局域共振聲子晶體雙層板簡化模型，轉動慣量JR對其彎曲振動能帶結構沒有任何影響。

圖5 轉動慣量改變時“彈簧-扭簧-質量塊”雙層板簡化模型能帶結構圖Fig.5 Band structure of “spring-torsional spring-mass” simplified model of double panel structure with rotational inertia changes

此外，通過與相應單板簡化模型進行對比[19]，扭簧的添加對單板和雙層板的影響規律完全一致。

2.3 復合型局域共振聲子晶體雙層板簡化模型

當“彈簧-扭簧-質量塊”貼附型局域共振聲子晶體雙板簡化模型的上下板由周期挖孔并填充軟材料的復合板代替時，該簡化模型則變為“彈簧-扭簧-質量塊”復合型局域共振聲子晶體雙層板簡化模型，如圖1所示。此時，在計算其能帶結構時，式(12)中的UG由式(14)～(18)求取。筆者從是否考慮復合板中軟材料黏性這兩個角度研究其帶隙特性。為了計算的進度，筆者在計算該簡化模型能帶結構時均采用改進的平面波展開法[21]。

當不考慮復合板中的軟材料黏性時，計算所得的“彈簧-扭簧-質量塊”復合局域共振聲子晶體雙層板簡化模型的彎曲振動能帶結構如圖6所示。在這里，由于復合板中存在兩種材料，因此平面波數取N=(10×2+1)2個來增加計算精度。對比圖2，3和圖6可以發現， 復合板中的軟材料與扭簧的作用類似，都使得能帶G1向下偏移，并同時使得G2,1，G2,2，G4,1和G4,2向上移動。因此，復合板中軟材料的添加同樣對帶隙寬度增大并且帶隙起始頻率降低起到促進作用。

圖6 不考慮軟材料黏性下復合型雙層板簡化模型能帶結構圖Fig.6 Band structure of simplified model of composite double panel structure with the viscidity of soft material not considered

圖7為復合板軟材料半徑Rs對帶隙臨界頻率F1，F2,2，F3和帶隙寬度Fw的影響關系。除了Rs，計算用到的參數如表1所示，Rs的變化范圍為1×10-6～5×10-6m。由于F2,1可以通過添加附加彈簧的方式增大到F2,2上方，因此無需考慮對F2,1的影響。可以看出，隨著Rs的增大，F1減小而F2,2增大，且F3保持不變。F2,2所在曲線一直在F3上方，帶隙寬度Fw由起始頻率F1和終止頻率F3決定，且一直保持增長。因此，對于該復合型局域共振聲子晶體雙層板簡化模型，通過引入和調節復合板軟材料的半徑，不僅可以使所得能帶結構的帶隙寬度變寬，還能同時降低帶隙的起始頻率。

圖7 帶隙臨界頻率及帶隙寬度與復合板軟材料半徑之間的關系Fig.7 The influences of soft material radius in composite plates on critical frequencies and bandgap width

當考慮復合板軟材料的黏性作用時，在頻域內，軟材料的各模量與頻率相關。式(12)的特征值問題需要通過迭代過程求解[19]。

圖8 初始-終止值比對帶隙的影響Fig.8 Influences of initial-final value ratio on band gap

圖8(a)為軟材料松弛時間為τ=3×10-5s，初始-終止值比α分別取1.5，2.0和2.5時的“彈簧-扭簧-質量塊”復合型局域共振聲子晶體雙層板簡化模型的彎曲振動能帶結構圖。其中，平面波數取N=(10×2+1)2個。可以看出，α對能帶G1，G2,1，G2,2，G4,1和G4,2均有影響。為了進一步說明該影響規律，作出了帶隙臨界頻率F1，F2,2，F3和帶隙寬度Fw隨α的變化曲線，如圖8(b)所示。可見，隨著α的增大，起始頻率F1減小，F2,2增大，而F3保持不變。由于F2,2所在曲線一直在F3上方，因此帶隙寬度由F1和F3決定，且一直增大。由此可見，通過增大黏彈性軟材料的初始-終止值比，對增大該聲子晶體雙層板簡化模型的帶隙寬度和降低其起始頻率具有積極作用。

圖9(a)為軟材料初始-終止值比為α=2.0，松弛時間τ分別取3×10-5s，1×10-4s，3×10-4s時的彎曲振動能帶結構圖。其中，平面波數取N=(10×2+1)2個。可以看出，τ對能帶結構有一定的影響，但影響不大。帶隙臨界頻率F1，F2,2，F3和帶隙寬度Fw隨τ的變化曲線圖如圖9(b)所示。可以看出，隨著τ的增大，起始頻率F1增大而F2,2減小，且F3保持不變。由于F2,2的變化曲線一直在在F3的上方，所以帶隙寬度Fw由起始頻率F1和終止頻率F3決定，且隨著τ的增大而減小。總的來說，對于該聲子晶體結構，τ對各臨界頻率的影響范圍遠不及α。但是，通過減小黏彈性軟材料的松弛時間對增大該聲子晶體簡化模型的帶隙寬度和降低其起始頻率還是具有一定的促進作用。

圖9 松弛時間對帶隙的影響Fig.9 Influences of relax time on band gap

3 結 論

1) 在低頻段，能帶結構可以打開一條完整的帶隙。扭簧對帶隙有明顯的影響,通過增加扭簧剛度不僅可以增大帶隙寬度，更能降低帶隙的起始頻率,但改變轉動慣量對能帶結構沒有任何影響。

2) 軟材料的添加對能帶結構的影響與扭簧的影響相似，通過增大軟材料的半徑，不僅使能帶結構帶隙變寬，還能降低帶隙的起始頻率。當考慮軟材料黏性作用時，通過增大黏彈性軟材料的初始-終止值比或者減小松弛時間，可以增大該雙層板簡化模型能帶結構的帶隙寬度及降低其起始頻率。