數理金融學的范式危機與變革

● 高 宏

一、引言

數理金融學是一門運用數學理論和方法研究金融市場數量關系及其變化規律的交叉性學科。金融市場大量的實證研究結果和案例分析表明，數理金融學建立的資產價格數學模型與經驗事實不一致，不能正確描述資產價格波動現象并預測其變化趨勢，數理金融學價格模型及定價公式在金融領域中的廣泛應用是導致多次金融危機的罪魁禍首（Triana，2014）。暢銷書《黑天鵝》作者Taleb在《金融時報》上發表專欄文章，將數理金融學斥之為“破壞市場的偽科學”。

本文指出了導致數理金融學陷入嚴重危機的隨機變量假設錯誤，并采用樣本函數范式建立了積分形式的股票價格隨機游走時間函數模型，演繹推導出了時間自相關函數和功率譜密度函數，從理論上證明了股票價格的可預測性，發現了隱藏在隨機游走中的長期線性趨勢。

二、危機現象

（一）價格模型與經驗事實不符

早在1900年，數理金融學的奠基人、法國數學家Bachelier在其博士論文《投機理論》中，首先應用概率方法對股票價格隨時間的變化規律進行研究，發現股票價格的變化是完全隨機的，并用隨機變量表示任一時刻的股票價格，建立了股票價格算術布朗運動模型。

1958年，美國海軍研究實驗室的高能物理學家Osborne發現Bachelier的算數布朗運動模型存在股票價格會變為負數的理論缺陷，將其修改為幾何布朗運動模型。

由于Osborne也假設股票價格為隨機變量，因此幾何布朗運動模型的數學期望為零，無法描述和解釋股票價格波動中存在的長期線性趨勢。為解決這一問題，Samuelson給幾何布朗運動模型增加了線性漂移項，建立了帶漂移的幾何布朗運動模型。但是，線性漂移項中的漂移率為常數，表明股票價格的短期收益率數學期望不為零，意味著股票市場中存在著確定性的盈利機會，與股票價格變化完全隨機的觀察現象和數理金融學“股票價格短期收益率均值為零”的實證研究結果不符。

此外，幾何布朗運動模型假設股票短期收益率服從正態分布，與實際股票收益率呈現出的尖峰厚尾特征和中期隨機跳躍現象不符，為了刻畫這種小概率極端變化現象，Merton（2013）又在幾何布朗運動模型中增加了泊松跳躍過程，但仍然沒有解決增加線性漂移項帶來的問題。

（二）定價公式導致金融危機

1973年，Black和Scholes基于Samuelson的幾何布朗運動模型，推導出了著名的BS期權定價公式。由于從理論上解決了金融衍生產品的定價問題，BS期權定價公式對各種金融創新工具和金融創新產品的面世起到了重大的推動作用，直接導致了“第二次華爾街數學革命”，使金融市場獲得了空前規模的發展。

讓人意外的是，BS期權定價公式的廣泛應用，給金融市場帶來了巨大的災難。由BS期權定價公式衍生出的計算機股票交易策略，成為直接導致1987、1997和2007年三次重大金融危機的主要原因（Mackenzie，2018），數理金融學因此陷入了嚴重的困境。一些經濟學家多年來一直呼吁，幾何布朗運動模型無法正確描述資產價格現象，BS期權定價公式永遠不應該使用。

三、危機根源

數理金融學在100多年的發展過程中，始終無法解決資產價格數學模型與事實不符的問題，究其原因，是將金融資產價格與時間之間的數量關系錯誤地假設為隨機變量。

1905年，愛因斯坦使用統計方法建立了布朗運動物理模型。1923年，維納將愛因斯坦的布朗運動物理模型抽象為一個純粹的隨機過程數學模型，為自然科學、工程技術和社會科學等領域研究隨機現象提供了基礎數學工具，因此布朗運動數學模型也被稱為維納過程。

隨機過程是映射到實數軸上的二元函數，有時間和狀態兩個自變量。對于固定的時間，隨機過程退化為狀態變量的函數，稱為隨機變量；對于固定的狀態，隨機過程退化為時間變量的函數，通常稱為樣本函數或樣本軌道。

愛因斯坦的布朗運動物理模型描述的是多個懸浮粒子的位移概率分布，維納將多個懸浮粒子的位移抽象為隨機變量，在狀態空間建立了布朗運動數學模型。因此，維納過程是定義在狀態空間的布朗運動狀態變量模型，不是在時域描述單個布朗粒子運動的樣本函數模型。維納過程為非平穩隨機過程，不具備各態歷經性，其隨機變量的統計平均和樣本函數的時間平均在概率意義上不等。若將維納過程隨機變量模型及其正態分布、馬爾科夫和鞅特性直接用于樣本函數，不僅會發生“張冠李戴”式的數學概念錯誤，還會產生一系列與事實嚴重不符的結論。

從隨機過程角度看，股票價格隨時間演變的過程，就相當于一個布朗粒子的位移隨時間變化的過程，可視為隨機過程試驗中的一次測量結果，可用隨機過程的一個樣本函數來表示。但是，數理金融學卻將其假設為隨機變量（Hull，2013），這意味著數理金融學的研究對象發生了根本性的變化，研究對象從單個樣本函數變化為樣本函數集合，并在狀態空間求解時域問題，因此，建立的隨機數學模型和推導出的所有結論必然存在根本性的概念錯誤，無法正確描述資產價格波動現象并預測其變化趨勢，這就是數理金融學產生嚴重危機的范式原因。

四、范式變革

觀察股票價格隨時間變化的過程，雖然股票價格隨時間做無規律的隨機性變化，但是對于每一個時間值，都有唯一一個確定的股票價格與它對應，因此，股票價格與時間之間的數量關系為確定性的函數關系，在數學上只能被抽象為隨機過程樣本函數，而非隨機過程隨機變量。

要建立能夠正確描述股票價格隨時間演變的數學模型，數理金融學必須要摒棄基于隨機變量假設的錯誤范式，全面轉換到基于樣本函數假設和函數分析方法的正確范式。

表1 舊范式與新范式對比

從表1的對比可以看出，新范式與舊范式之間沒有公約數，只有隨機變量和樣本函數、狀態和時間、集合和元素等質的差別。

五、基本理論

本文使用公理化方法，從基本概念和不加證明的基本定律（公理）出發，演繹推理出可描述股票價格波動現象并揭示其運動規律的一系列基本結論（高宏，2018）。

（一）基本概念

定義：若時間函數x（t）的時間均值為零，時間自相關函數滿足

式中為時間間隔，N0為正實常數，δ（t）為單位沖擊函數，則稱x（t）為白噪聲函數，簡稱白噪聲。N0的物理意義代表白噪聲信號在單位電阻上產生的平均功率。

式（1）表明，白噪聲x（t）僅在時間間隔 =0時才有相關性。因此，白噪聲x（t）在時域的波形是一串寬度無限窄、起伏變化極快的隨機脈沖（跳躍）。

（二）基本定律

設s（t）為t時刻的股票價格，則股票對數價格（簡稱股票價格）y（t）=ln s（t）在Δt區間上的一階差分（對數收益率）為

式中x（t）為式（1）定義的白噪聲。

式（2）的基本定律表明：股票對數價格的一階差分為零均值不相關白噪聲函數，這是眾多學者通過對股票價格波動現象長期觀察和實證研究得到的規律性認識。

（三）價格模型

由式（2），有

顯然，式（3）為隨機游走過程樣本函數模型。由于式（1）沒有對x（t）的概率分布做任何假設，因此式（3）可以同時描述股票價格的短期隨機游走和中期隨機跳躍現象。

若假設x（t）服從正態分布，則式（3）就是布朗運動或維納過程樣本函數模型。

將式（2）的差分方程看作離散化微分方程，設y（0）=0，可得積分形式的隨機游走模型：

式（4）的模型參數（積分上限）會隨時間變化，因此股票價格數學模型為非線性時變模型。

（四）時間自相關函數

股票價格y（t）的時間自相關函數為

式中，τ為時間間隔。Ry（τ）在很寬的范圍內具有非零值，表明股票價格具有可預測性。

（五）功率譜密度函數

股票價格y（t）的平均功率有限，自相關函數Ry（τ）絕對可積，因此根據維納-辛欽定理，股票價格y（t）的功率譜密度函數Sy（ω）是其時間自相關函數Ry（τ）的傅立葉變換，有

式中，Sinc（ωt）為辛格函數，是正弦函數Sin（ωt）與單調遞減函數1/ ωt的乘積。表明股票價格y（t）中的諧波分量波動幅度與頻率ω成反比，y（t）為能量集中在低頻段的紅噪聲。

Sy（0）=N0t2，證明y（t）中存在一條與時間t成正比的線性趨勢線，y（t）圍繞線性趨勢線上下波動。

六、結論

本文指出了導致數理金融學陷入嚴重危機的隨機變量假設錯誤，并根據金融資產價格與時間一一對應的實際現象，將資產價格隨時間演變的過程抽象為隨機過程樣本函數，采用公理化方法建立了積分形式的隨機游走時間函數模型，可同時描述股票價格的短期隨機游走、中期隨機跳躍和長期線性漂移現象，演繹推導出了可揭示金融資產價格運動規律的時間自相關函數和功率譜密度函數，從理論上證明了股票價格的可預測性，發現了隱藏在隨機游走過程中的長期線性趨勢。可為證券投資活動的量化分析、價格預測、資產定價、最優配置及風險管理提供有效可靠的數學模型和工具。