例說均值不等式的應用

遼寧省盤錦市遼東灣實驗高級中學 趙盼盼

一、主要的均值不等式

根據均值不等式，當兩個正數的和為定值時，它們的積有最大值；當兩個正數的積為定值時，它們的和有最小值。在應用均值不等式時，要注意不等式成立的條件：“一正、二定、三相等”，三個條件缺一不可。

二、方法

1﹒配湊

∴當x=1 時，f（x）的最大值是1。

總結：在利用均值不等式時，一定要注意不等式成立的條件“一正、二定、三相等”，三個條件缺一不可。在求最值時，常通過添加常數或拆項等方式進行構造，使其和或其乘積為定值。

2﹒分離系數

分析：本題中給出的函數是分式形式，不能直接利用均值不等式，觀察結構后試著把其配方成含“x-1”的形式，再分離成幾項和的形式，再利用均值不等式。

總結：這道題中，根據分母的代數式，將分子變成含有分母的代數式，從而分離出常數，再利用均值不等式。

3﹒換元

在上一個例題中，可對分母進行換元，把分子寫為分母的函數形式，進而拆成幾項和的形式，再應用均值不等式。

總結：求分式函數式的最值時，一般將分子配湊成含有分母的代數式，或將分母換元后，將分式化為幾項和的形式，再利用均值不等式求最值。

4﹒“1”的代換

∴當a=2，b=4 時，2a+b的最小值是8。

總結：在利用均值不等式時，常巧妙運用“1”整體代換，達到簡化計算的目的。

5﹒單調性

總結：利用均值不等式求最值時，若等號成立時方程無解，則不能利用均值定理求最值，可以考慮利用對勾函數的單調性求解。

應用均值不等式時，一定要注意不等式成立的條件“一正、二定、三相等”。在解題時，掌握有效的變形技巧，可以創造性地應用均值不等式，培養學生的數學能力。