巧妙設問 培養學生數學抽象能力

廣東省佛山市第二中學 鄧碧蘭

學科核心素養是育人價值的集中體現，數學抽象是數學學科的核心素養之一，是數學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎，反映了數學的本質特征，貫穿在數學產生、發展、應用的過程中，巧妙設問，引導學生抽象出數學概念，是培養學生數學抽象能力的很好的一種途徑。下面以“函數的概念”這節課為例，闡述如何巧妙設問來培養學生的數學抽象能力。

一、問題的提出

“函數概念”是函數學習中最重要的概念，是學習函數的基礎和前提，“函數概念”的學習跨越了初中和高中兩個階段，但由于“函數概念”的學習是對現實世界中由具體數量關系的認識向抽象數量關系認識的一個飛躍，因此，因此，“函數概念”在高中數學學習中仍然是理解最困難的一個概念。如何上好必修一的“函數的概念”一課，是解決這個困難的關鍵。

二、教學準備

初中學習的函數概念強調的是用函數描述一個變化過程，高中學習的函數概念強調的是實數集與實數集之間的對應關系。如何引導學生用集合的觀點重新描述一個函數概念？我準備通過結合學生的已有知識和生活情境中遇到的實際問題，巧妙設問，將集合觀點自然融入函數概念中。

三、教學過程

設問1：初中對函數的概念是怎樣定義的？

設問2：在初中我們學習了一次函數、二次函數。這些函數的自變量x組成的集合A是什么？因變量y組成的集合B是什么？

設問3：集合A中的每一個數值，在集合B中能找到多少個數與之對應？

【設計意圖】問題2 將學生已有的知識——函數與集合有機結合。做到無縫對接。問題3 引入了對應意識。

知識探究（一）：一枚炮彈發射后，經過26s 落到地面擊中目標，炮彈的射高為845m，且炮彈距離地面的高度h（單位：m）隨時間t（單位：s）變化的規律是：h＝130t-5t2。

設問1：這里的變量t的變化范圍是什么？變量h的變化范圍是什么？試用集合表示。

設問2：高度變量h與時間變量t之間的對應關系是否為函數？若是，其自變量是什么？

知識探究（二）：近幾十年來，大氣層中的臭氧迅速減少，因而出現了臭氧層空洞問題。如圖中的曲線顯示了南極上空臭氧層空洞的面積在1979 ～2001 年間的變化情況。

設問1：根據曲線分析，時間t的變化范圍是什么？臭氧層空洞面積S的變化范圍是什么？試用集合表示。

設問2：時間變量t與臭氧層空洞面積S之間的對應關系是否為函數？若是，其自變量是什么？

設問3：這里表示函數關系的方式與上例有什么不同？

知識探究（三）：國際上常用恩格爾系數反映一個國家人民生活質量的高低，恩格爾系數越低，生活質量越高。下表是“八五”計劃以來，我國城鎮居民恩格爾系數變化情況：

時間（年）1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001恩格爾系數53﹒8 52﹒9 50﹒1 49﹒9 49﹒9 48﹒6 46﹒4 44﹒5 41﹒9 39﹒2 37﹒9

設問1： 用t表示時間，r表示恩格爾系數，那么t和r的變化范圍分別是什么？

設問2：時間變量t與恩格爾系數r之間的對應關系是否為函數？

設問3：這里表示函數關系的方式與上面兩例有什么不同？

【設計意圖】用實際生活中的具體問題讓學生體驗到函數與集合的關系無處不在，并通過探究（二）和探究（三）讓學生體會到“變化過程”有時能找到規律，此時能寫出函數的解析式，有時不能找到規律，此時不能寫出解析式，但x與y的對應關系仍然成立。

設問4：上述三個實例中，變量之間的關系都是函數，那么從集合與對應的觀點分析，函數還可以怎樣定義？

【設計意圖】引導學生用新的視覺理解函數，用集合與對應的觀點重新組織語言，得出新的函數概念。培養學生從具體事例中抽象出數學感念的能力，有效地培養了學生的數學抽象能力。

總之，數學問題是指在情景中提出的問題，數學學科核心素養在學生與情境、問題的有效互動中得到提升。在教學活動中，教師應結合數學任務及其蘊含的數學學科核心素養設計合適的情景和問題，引導學生用數學的眼光觀察現象、發現問題，使用恰當的數學語言描述問題。設計合適的教學情景，巧妙提出合適的數學問題是有挑戰性的，也為教師的實踐創新提供了平臺。作為教師的我們應不斷學習、探索、研究、實踐，提升自身的數學素養，同時有效提升學生的數學素養。