構建直觀想象 展開思維之翼
——基于教材培養數學直觀想象素養的實踐研究

王黎明

一、課題的提出

我國著名數學家、教育家王梓坤曾說過：“在實踐中所體會到的直觀形象有助于抓住本質，它常常是理論的先導，并為理論提供思路、模型與方法。嚴格的邏輯證明和計算有時無非是直覺的一種數學加工和精確化而已?！睂τ诟叨瘸橄蟮臄祵W學科來說，許多抽象概念和結論一旦找到直觀形象的背景，或聯想到自己已把握的具體模型，就會變抽象為直觀。這樣，無論是對抽象概念和結論的認識和理解，還是對有關問題的思考和解決就會變得容易把握。

然而在現實教學中，可能受傳統教學思想的影響，我們還有很多教師對教材中的背景材料，通常只會將其作為輔助的引入材料，忽視其作為發現問題源頭的重要作用。只關注知識的運用和提升，對有些原理、性質沒有進行直觀上的建構，使學生感覺到數學越來越難學，越來越難懂甚至會談“數”色變，認為數學就是一堆冷冰冰的數字和奇特符號的組合，數學學習留給他們的只是“枯燥、繁難”的回味。雖有部分教師明白直觀想象的重大意義，總感覺直觀想象的培養比較“飄渺”，難以內化和實踐操作。還有些人認為數學直觀想象只是與數學家有關，同靈感、創造和發明等有關的直觀想象是一種“高深莫測的意境”，必須對數學有深刻理解才可能產生直觀想象，其實像“題感”、“空間意識”和“幾何直觀”等這類數學觀念是普遍存在的，是可以培養和滲透的。

基于上面的現實思考，對于如何增強學生的直觀想象素養，如何更好地發揮直觀性的教學價值成為現實的話題。因此，我們就提出“依托教材培養數學直觀想象素養的實踐研究”這一課題，以期通過這一課題的研究挖掘數學教材中的有機資源，促進學生對數學基本知識和技能的深入理解，進一步發展幾何直觀和空間想象能力，增強運用圖形和空間想象思考問題的意識，提升數形結合的能力，體會數學的本質。

二、課題的研究現狀

大數學家希爾伯特在《直觀幾何》序言里頭寫了這樣三層維度：第一層，圖形可以幫助刻畫和描述問題。一旦用圖形把一個問題描述清楚，就有可能使這個問題變得直觀、簡單。第二層，圖形可以幫助發現、尋找解決問題的思路。第三層，圖形可以幫助表述一些結果，可以幫助記憶一些結果。蘇聯大教育家蘇霍姆林斯基在《給教師的一百條建議》中談教學的直觀性問題中寫到，我的學生總是把算術練習本從中間起分成“兩半”，左邊的一半用來解答習題，而右邊的一半則用來以直觀的、示意的辦法把應用題畫成圖解的樣子。在動手解答習題以前，學生先“把應用題畫出來”。教會學生把應用題“畫”出來，其用意就在于保證由具體思維向抽象思維的過渡。兒童開始時畫一些實物（蘋果、籃子、樹、鳥），然后轉到示意性的繪畫，即用小方塊、小圓圈來代表它們。我特別關心的是那些學習感到困難的學生是怎樣“畫”應用題的。假若不是采用了這種教學方式，這些學生是未必能學會解答應用題和思考它的條件的。如果哪一個孩子學會了“畫”應用題，我就可以有把握地說，他一定能學會解應用題。也有個別學生，在幾個月里還學不會用圖畫來表示應用題的條件。這就意味著，他們不僅不會抽象思維，而且也不會“用形象、聲音、色彩和感覺”來思維。這就必須先教給他們形象思維，然后再逐漸地引導他們進行抽象思維。

國內自2011年《數學課程標準》提出：幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題，借助幾何直觀，可以把復雜的數學問題，變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀的理解數學，在整個數學的學習中，發揮著重要的作用。新課程理念實施以來，培養和發展學生的直觀想象能力已經成為數學教育工作者普遍關注和潛心探索的一項重要課題。因此，國內很多的教師對數學直觀想象的教學也有一定的研究。但立足于課本，深入挖掘數學教材中的有機資源，進行有意有序的直觀想象滲透這方面的研究并不多。

三、課題研究的闡述和定位

數學是研究數量關系與空間形式的科學。空間形式最主要的表現就是“圖形”，除了美術，只有數學把圖形作為基本、主要研究對象。直觀想象顧名思義，直觀不僅僅是指直接看到的東西，直接看到的是一個層次，更重要的依托現在看到的東西、以前看到的東西進行思考、想象。

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用圖形理解和解決數學問題的過程。主要包括：借助空間認識事物的位置關系、形態變化與運動規律；利用圖形描述、分析數學問題；建立形與數的聯系；構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路。

直觀想象是發現和提出數學問題、分析和解決數學問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行邏輯推理、構建抽象結構的思維基礎。幾何直觀是人腦對客觀事物及其關系的一種直接的識別或猜想的心理狀態。

（1）直觀想象是一種思維形式，既有深刻的形象思維特點，又有強烈的抽象思維特點。

（2）直觀思維是一種常規數學思維能力，具有發現的功能，“幾何直觀能告訴我們什么是可能重要、可能有意義和可接近的，并使我們在課題、概念與方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦”。

（3）在直觀想象中構造出具體的圖形就是構造出相應的概念與數學實體。直觀思維在數學教學中的作用非常重要，有必要加強直觀想象與數學課程整合，重視其教育價值，并探討直觀想象素養培養的方法。

四、課題研究的實踐與思考

直觀想象是借助與幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用圖形理解和解決數學問題的素養。下面將以實踐案例的形式從數學實驗的媒介使用、知識之間的聯系和數學解題過程中的思路探尋圖的應用等方面進行實踐與思考。

1.制作教學媒介，直觀促進理解 數學概念、性質、定理等具有高度的抽象性和概括性，讓學生直接理解，肯定存在很大困難，所以在數學教學中，教師應該為學生提供一些實物、模型、教具、教學軟件等豐富的數學學習材料，讓學生有充分的時間對具體事物進行操作，使他們獲得學習新知識所需要的具體經驗，通過思維活動來形成對知識的深刻理解，而不是機械的重復，記住所講述的關于概念的現成解釋，這樣學生獲得的知識才是全面的、清晰的、牢固的。

（1）動手實驗

案例： 八年級上等腰三角形

以全局觀的角度解讀教材，本單元先從圖形的軸對稱認識開始，研究圖形的軸對稱的定義、性質以及作圖，接著研究最重要的軸對稱圖形的等腰三角形，它的定義、性質、判定以及應用，非常完整地展示幾何學習的通常路徑。安排了一個合作學習：在透明紙上任意畫一個等腰三角形，畫出它的頂角平分線，然后沿著頂角平分線所在的直線把等腰三角形進行對折，讓學生觀察，猜測，交流并證明。很多老師就是這樣做的，在這一過程中，有操作，有猜想，還有證明。具備了現代理念下課堂教學的一些基本要素，很多人都認為是一節好課。是一節好課嗎？只要深層次思考一下就會發現：學生是在教師的指令下折紙的，折紙后左右對稱的關系已經明擺著，猜想成為多余，后面即將學習的性質并不是學生發現的，而是老師告訴的。這么一想，這個操作不就遜色了嗎？等邊對等角和三線合一性質的發現和證明，關鍵是頂角平分線，可是這條線在操作中被學生折疊出來了，結論的發現和證明已經躍然紙上，這里的操作并沒有實現它應有的教學價值，相反降低了猜想和證明的思維層次。如果我們換一種設計，從若干三角形中尋找特殊（等腰三角形作為一種特殊情形很容易進入研究視野）——定義等腰三角形并提出課題：研究其性質——觀察所面對的圖形——想象（不難發現左右完全一樣）——提出猜想（可能有很多猜想，但最終可概括出兩條性質）——分析并證明其中的一條性質（另一性質留給學生思考）——折紙驗證并進行解釋。

在這一設計中，猜想表現的是洞察力，證明需要探索，操作的意義在于實驗，充分展示學生猜想的直覺和對證明的理解，對新課程提倡學習方式，如觀察、實驗、猜測、驗證、推理、交流等的價值進行挖掘。

（2）圖文并茂

案例：解一元一次不等式組

解一元一次不等式組是數學教學中的一個難點，在教學過程中，教師可設計復合幻燈片，教師結合圖片，逐一進行分析、概括，并提煉出口訣，這樣學生利用圖形的直觀效用對一元一次不等式組的解就會有比較清晰的認識。

（3）幾何畫板

應用現代化教學手段，可以使教學中“死”的圖形“動”起來，把“死”的書本知識“活”起來，為學生提供生動、直觀材料，開闊視野，拓展知識結構。

案例 探索勾股定理

一個美麗的故事：世界的許多科學家正在試探著尋找外星人，人們為了取得與外星人的聯系，想了很多方法。早在1820年，德國著名數學家高斯曾提出，可在西伯利亞的森林里伐出一片直角三角形的空地，然后在這片空地里種上麥子，以三角形的三條邊為邊種上三片正方形的松樹林，如果有外星人路過地球附近，看到這個巨大的數學圖形，便會知道這個星球上有智慧生命。

我國數學家華羅庚也曾提出：若要溝通兩個不同星球的信息交往，最好利用太空飛船帶上這個圖形，并發射到太空中去。

【設計意圖】通過一個美麗的故事的閱讀，創設一個遐想的情境，誘發學生發揮想像，初步感受勾股定理的神秘，調動學生的情緒，使學生以飽滿的熱情進入學習探究狀態。

①定理探索1：等腰直角三角形的三邊數量關系

出示圖形，說明圖中每個小方格代表一個單位面積。引導學生根據三個問題進行個體主動探究與思考。

問題1：你能說出正方形P，Q，R的面積及其數量關系嗎？

問題2：你能說出正方形P，Q，R的面積和直角三角形三邊a，b，c之間的關系？

問題3：你能說出等腰直角三角形三邊之間的數量關系嗎？

教師通過廣播系統的監控了解學生的學習探究狀況，適時通過學生演示將學生的不同研究方法進行全班交流。

②定理探索2：直角三角形的三邊數量關系

出示圖形，說明圖中每個小方格代表一個單位面積。引導學生根據兩個問題進行個體主動探究與思考。

問題1：你能說出正方形P，Q，R的面積及其數量關系嗎？

問題2：你能說出等腰直角三角形三邊之間的數量關系嗎？

教師通過廣播系統的監控了解學生的學習探究狀況，適時通過學生演示將學生的不同研究方法進行全班交流。

③定理探索3：驗證猜想

引導學生操作：在《幾何畫板》的格點中畫出直角邊為5cm、12cm的直角三角形，驗證你剛才的猜想是否成立。（圖中每個小方格的邊長為1cm）

教師通過廣播系統的監控了解學生的學習探究狀況，適時通過學生演示將學生的研究結果進行全班交流。

④定理探索4：得出結論

引導學生思考問題：是否一般的直角三角形都具有上述特征呢？

學生利用《幾何畫板》的動態演示，在運動過程中注意觀察各個正方形面積的變化及其關系，得出勾股定理：

直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

即：若△ABC中，∠ACB＝90°，則a2+b2＝c2．

變形：若∠ACB＝90°，

教師在此基礎上介紹“勾，股，弦”的含義，進行點題，結合直角三角形，讓學生從中體驗勾股定理蘊含的深刻的數形結合思想。

【設計意圖】學生能獨立思考，有強烈的探究愿望，并能在探索的過程中形成自己的觀點，能在交流意見的過程中逐漸完善自己的觀點。故本段設計遵循構建主義的學習理念，以學生為中心，強調學生對知識的主動探索、主動發現和對所學知識意義的主動建構。

2.建立知識網絡，加深數學理解 數學理解的本質是數學知識的結構化、網絡化和豐富聯系。要對知識形成深刻的、真正的理解，這意味著學習者所獲得的知識是結構化的、整合的，而不是零碎的、只言片語的。希伯特教授用信息的內部表示和構成方式來描述理解，“我們認為一個數學的概念、方法或事實是理解了，是指它成了內部網絡的一個部分。更確切地說，數學是理解了，是指它的智力表示成了表示網絡的一個部分。理解的程度是由聯系的數目和強度來確定的。”

（1）數形結合

數學中兩大研究對象“數”與“形”的矛盾統一是數學發展的內在因素，數形結合是貫穿于數學發展歷史長河中的一條主線，并且使數學在實踐中的應用更加廣泛和深入。一方面，借助于圖形的性質可以將許多抽象的數學概念和數量關系形象化、簡單化，給人以直覺的啟示。另一方面，將圖形問題轉化為代數問題，以獲得精確的結論。這種“數”與“形”的信息轉換，相互滲透，不僅可以使一些題目的解決簡捷明快，同時還可以大大開拓我們的解題思路。

案例 在二次函數復習時，從這樣一個問題開始教學

一位農民現打算在自己房子靠墻的一側（墻長7米）圍一個養殖場。現有6米長的籬笆，請同學們設計一下，如何圍，才能使圍出的養殖場面積最大？同學們解決過類似的問題，認為很簡單，利用二次函數的最大值知識得出：當寬為1。5米、長為3米，養殖場面積最大（4。5平方米）。

學生們頗為得意地完成任務后，接著教師提問：為什么只能圍成矩形，其它形狀是否可以？

學生們再動手圍，有圍成正方形、三角形、梯形、半圓形等，并算出結果：

學生由此得出：大概圍成半圓形的面積最大。

教師引導指出，不可這樣武斷地下結論，利用我們已學過的圖形面積知識是否還可深入研究？

通過啟疑提問，可以引發學生明確學習目標，進入積極思維的目的，目標是教學活動的方向盤和指南針，也是起始和歸宿，清晰的學習目標可為學生掌握知識指明方向。啟問被尊為課堂教學的點金術，真正有效的提問可以開啟學生思維的齒輪，獲得網開八面的探索思路，成功的啟問要啟在關鍵上，問在精要處，這是教師主導的有力體現。

學生積極嘗試后，有同學從半圓形面積較大進一步考慮到弓形（如圖），列出計算式：

其中，0°＜n＜360°，L＝6米。

這里的S（n）是一個超越函數，如何看出其變化規律？學生面露難色，教師提醒大家用實驗的方法，用n＝1，2…，360計算（分組用計算器），學生興趣高漲，很快匯總整理出了當n＝180時S（n）取最大值。

老師可以通過各種形式有意識的使學生領會到數形結合方法具有形象、直觀易于說明等優點，并初步學會用數形結合觀點去分析問題，解決問題。

（2）知識網絡

案例：學習完正方形的概念后，要求學生自主梳理將這一章中的特殊四邊形之間的構建知識網絡圖。

通過這樣的結構圖的構建學生更清楚地理解到平行四邊形、矩形、菱形、正方形相互之間的聯系與區別，更好地辨析概念，掌握知識的內涵與外延。

3.建構思維導圖，明晰解題思路 數學學習離不開解題，解題要求老師幫助學生學會數學地思考，讓學生在雜亂無章的思路中探尋正確的途徑，減少盲目地嘗試。在已知條件和未知之間建立有序的簡明示意圖，或在知識儲備和問題之間建立結構示意圖，為思考架設探究橋梁，便于學生尋找解題路徑。

（1）思路簡明圖

案例：求證等腰三角形兩底角的平分線相等。

此題在前一章學習的基礎上進一步鞏固文字語言、圖形語言和幾何表述之間的互譯，詳細地給出分析過程，既有幾何表達的分析，還在教材里首次按分析法的思維程序寫出探求證明方法的過程，并用框圖的形式直觀地表示出來，有助于學生掌握“執果溯因”的分析法的思維模式。這種方框圖雖然不能作為證明過程，但是便于探尋解題路徑，從整體上進行思考問題，對每個知識結點進行分析還能發現一題多解（還可以證明ΔABD?ΔACE），解題后進行檢驗和優化。

（2）邏輯結構圖

案例：已知：如圖，OA是⊙O的半徑，以OA為直徑的⊙C與⊙O的弦AB交于點D，求證：AD＝DB。

不難給出如下的證明，連結OD，∵OA是⊙C的半徑，∴OD⊥AB，∴AD＝DB.

證明過程非常簡單，但是沒有充分暴露思維的過程。本題是小圓在大圓中，小圓的直徑恰好是大圓的半徑，要證明兩線段相等。思維就從這兩個地方展開，由小圓的直徑是大圓的半徑，結合圖形能夠推出什么呢？要證明兩線段相等，有哪些方法？

這是解決這道題的平面結構圖，包括有用捕捉、有關提取、有效組合，發現四種解法，解法一使用圓周角定理的推論和垂徑定理進行證明，這種證明方法最直接，最容易想到，是通性通法，解法二、三都用三角形的中位線進行轉化，異質同源，解法四很好地使用圓心角定理和平行四邊形的性質，構圖與三角形中位線定理證明有關聯。隨著解題能力的提升，對于解題環節較多的題目，這種結構圖可以簡化，只需要抽象出核心的邏輯框架圖。

五、結語

德國教育家第斯多惠曾說過：“教學的藝術不在于傳授本領，而在于激勵、喚醒和鼓舞?！币虼耍覀兘處熞幸庾R地培育學生直觀想象的素養，先想后證，將想象與推理有機地結合，把主動權交給學生，對大膽設想予以充分肯定，對其合理成分進行鼓勵，激發學生自發性直覺思維去思考問題，在解決問題的過程中插上直觀想象的翅膀，讓思維之翼騰飛。