巧用結論 簡化解題

摘 要：新課程標準指出：高中數學教學以發展學生數學核心素養為導向，創設合適的教學情境，啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質。高考作為高中教學效果的重要檢驗方式，隨著教育改革深入，經歷了從知識立意、能力立意到素養立意的發展過程。高考數學試卷知識量大，對學生的思維能力，運算能力都有較高的要求，學生普遍反映解題時間緊張。因此教師應引導學生根據已學，進一步探究數學內容的本質以形成結論并應用于解題，幫助學生簡化思維過程，減少運算步驟，提高解題的時效性。能否探索結論并應用于簡化解題，本質上也反映了學生思維能力的差異，近年高考試題命制也常有這方面的體現。本文就以圓錐曲線這部分為例，談談常用結論在高考解題中的應用。

關鍵詞：高考解題；結論應用；圓錐曲線

在新課標全國Ⅰ卷中解析幾何（不含選做）部分的考察結構基本穩定，都是一道解答題加兩道選填題。解答題以橢圓或拋物線為主體，選填題基本是另兩種曲線的考查，一般一題較易，另一題則會對考生能力有明顯區分。在選填題部分，橢圓、雙曲線的離心率問題、雙曲線的漸近線問題及拋物線的焦半徑問題是考查的重點。

圓錐曲線深入探究，可形成非常多的結論，而高考在橢圓與雙曲線選填題的命制中，以下結論的應用尤其常見。教師應引導學生加以拓展探究，并強化結論用于解題的訓練，提高解題的速度及正確率。

設橢圓方程為：x2a2+y2b2=1（a>b>0），雙曲線方程為：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）。

設F1、F2為橢圓（雙曲線）兩個焦點，P是橢圓（雙曲線）上一點，記θ=∠F1PF2。

結論1：雙曲線焦點到漸近線的距離=虛半軸長b。

結論2：①橢圓：e=ca=1-b2a2∈（0，1），②雙曲線：e=ca=1+b2a2∈（1，+∞）。

結論3：①橢圓：焦半徑最小值為a-c，最大值為a+c；

②雙曲線：同側焦半徑最小值為c-a，異側焦半徑最小值為c+a。

結論4：①橢圓焦點弦中以通徑最短；②兩端點在同一支的雙曲線焦點弦中以通徑最短。

通徑長均為2b2a。

結論5：橢圓中①cosθ≥1-2e2，當且僅當P為短軸端點時取“=”，此時θ最大。

②設A、B是橢圓長軸兩端點，當且僅當P為短軸端點時，∠APB最大。

結論6：①橢圓：SΔPF1F2=12|PF1|·|PF2|sinθ=b2tanθ2≤bc，當且僅當P為短軸端點時取“=”。

②雙曲線：SΔPF1F2=12|PF1|·|PF2|sinθ=b2cotθ2。

結論7：設AB為橢圓（雙曲線）的一條弦，弦中點M（x0，y0），當AB不垂直于對稱軸時，則有：

①橢圓：kAB·kOM=-b2a2；②雙曲線：kAB·kOM=b2a2。

結論8：若A、B是橢圓上關于原點對稱的兩點，M是橢圓上異于A、B的一點，設MA、MB的斜率分別為k1、k2，則有：①橢圓：k1k2=-b2a2；②雙曲線：k1k2=b2a2。

注：當橢圓與雙曲線的焦點在y軸時，結論需相應改變。

下面給出以上結論的應用以供參考：

例1：（2014全國Ⅰ理4）設F是雙曲線C：x2-my2=3m（m>0）的一個焦點，則F到C的一條漸近線的距離為

簡析：由結論1，可得焦點到準線距離等于b=3。

例2：已知橢圓的兩個焦點分別為F1、F2，若橢圓C上存在點P，使得線段PF1的中垂線恰好經過焦點F2，則橢圓C的離心率的取值范圍是

簡析：PF2=F1F2=2c。由結論3①，PF2=2c∈a-c，a+c故e=ca∈[13，1]。

例3：已知橢圓x24+y2b2=1（0

簡析：由AF2+BF2+AB=4a=8及（AF2+BF2）max=5，可得ABmin=3，

由結論4①可得ABmin=2b2a=b2=3 b=3。

例4：（2017年全國1文12）設A、B是橢圓C：x23+y2m=1長軸兩端點。若C上存在點M滿足∠AMB=120°，則實數m的取值范圍為（ ）

A. （0，1]∪[9，+∞）

B. （0，3]∪[9，+∞）

C. （0，1]∪[4，+∞）

D. （0，3]∪[4，+∞）

簡析：選A。由結論5②，知當M為短軸端點時，AMB最大，此時∠AMB≥120°，

故∠OMB≥60°，tan∠OMB=ab≥3，∴a2≥3b2。

當03，a2=m，b2=3，得m≥9；

例5：（2018泉州質檢理）已知點P是雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）與圓x2+y2=a2+b2的一個交點，若點P到x軸的距離為a，則雙曲線的離心率為

簡析：不妨設點P在第一象限，由c2=a2+b2得圓半徑為c，由已知可得P（b，a）。

設雙曲線兩焦點為F1、F2，則SΔPF1F2=ac。由結論6②得SΔPF1F2=b2cot45°=b2 b2=ac，即，c2-a2=ac，又e=ca>1，∴e=1+52。

例6：（2014江西）過點M（1，1）作斜率為-12的直線與橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）相交于A、B兩點，若M是線段AB的中點，則橢圓C的離心率等于

簡析：由結論7①得：kOMkAB=-b2a2=-12，由結論2①得：e2=1-b2a2=12，e=22。

例7：（2016龍巖質檢）設A、B是雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右頂點，P是雙曲線右支上位于第一象限的動點，設PA、PB的斜率分別為k1、k2，則k1+k2的取值范圍為

簡析：由結論8②得k1k2=b2a2，且k1>0，k2>0，k1≠k2，則k1+k2>2k1k2=2ba。

高考對拋物線的考查基本會涉及拋物線的焦半徑或焦點弦長問題，若能應用相關結論，可實現快速解題。以下為拋物線中常用的結論：

以拋物線C：y2=2px（p>0）為例，注意：拋物線開口方向不同，結論需相應改變。

設F是C的焦點，A、B是C上兩點，設直線AB的傾斜角為α，A（x1y1）、B（x2，y2）。

結論1：當直線AB過焦點時，有：

①AF=x1+p2，|AB|=x1+x2+p。

②設點A在x軸上方，則|AF|=p1-cosα，|BF|=p1+cosα。

③|AB|=2psin2α≥2p，當且僅當AB垂直于對稱軸即AB為通徑時取“=”。

④SΔAOB=p22sinα。

⑤x1·x2=p24；y1·y2=-p2。

⑥以AB為直徑的圓與準線相切；

⑦以AF或BF為直徑的圓與y軸相切。

結論2：設AB中點M（x0，y0），當AB不垂直于x軸時，kAB=py0。

下面給出以上部分結論的應用舉例以供參考：

例1：（2014年新課標1理10）已知拋物線C：y2=8x的焦點為F，準線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點，若FP=4FQ，則QF=（ ）。

A. 72

B. 3

C. 52

D. 2

簡析：不妨設點P在x軸下方，則由FP=4FQ，得點Q在線段FQ上，PQ=3QF。

過點Q作QH垂直l，垂足為H，則QH=QF。設直線PF的傾斜角為α，

則直角△PHQ中，cosα=cos∠HQP=13。由結論1②得QF=41+cosα=3。

例2：（2017全國Ⅰ理10）已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1、l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為（ ）

A. 16 B. 14 C. 12 D. 10

簡析：選A。設直線l1、l2傾斜角分別為α、α+π2，由結論1③得AB+DE=4sin2α+4sin2（α+π2）=4sin2αcos2α=16sin22α≥16。

例3：（2014全國Ⅱ理10改編）設F為拋物線C：y2=6x的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A、B兩點，O為坐標原點，則ΔOAB的面積為

簡析：由結論1④，可得△OAB的面積為322sin30°=9。

例4：（2018年全國Ⅲ理16）已知點M（-1，1）和拋物線C：y2=4x，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A、B兩點。若∠AMB=90°，則k=

簡析：設AB中點N（x0，y0），點M在以AB為直徑的圓N上。由結論1⑥得：

圓N與l切于點M，則MN∥x軸，∴y0=1。由結論2，得k=py0=21=2。

全國新課標Ⅰ卷突出對通性通法的考查，但試題命制卻也注重能夠多視角、多維度、多層次地考查學生的數學思維品質，考查學生對數學本質的理解及學生的數學素養和學習潛能。而善于總結結論，并應用于簡化解題，這就是學生數學素養和學習潛力的一種反映。教師在教學中應注意引領學生對各知識板塊進行力所能及的探究，并應用結論幫助解題。這既可以激發學生解題興趣，又能開拓學生思維，提升學生數學能力。

作者簡介：

曾雪英，福建省泉州市，福建省泉州第一中學。