數形結合的誤區與對策探析

摘 要：數無形時少直覺，形少數時難入微。為了培養學生的數形結合意識，要引導學生明察數形結合的誤區，明確克服誤區的有效對策，做好數形轉化，完善數學思想，增強解題的精確性、嚴密性。

關鍵詞：數形結合；誤區；對策

數形結合是數學中一個重要思想，我國著名數學家華羅庚就強調“數無形時少直覺，形少數時難入微；數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛”。我們要引導學生明察自己在學習中運用數形結合的誤區，科學使用“數形結合”，以形助數、以數輔形，做好數形轉化，增強解題的精確性、規范性、嚴密性，完善和發展自身的數學思想。

一、 運用“數形結合”思想中的常見誤區

（一） “形”與“數”不相匹配、不精確

數形結合必須“數”與“形”匹配，方能相得益彰，實現以形助數、以形想數，促進數形轉化。但有的學生在繪制圖形時的不精確，就會導致借助圖形解讀“數”時出現錯誤。

例1：方程sinπx=x4的解的個數是（ ）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

解：將方程的解轉化為函數圖像的交點。在同一平面直角坐標系中畫出y1=sinπx和y2=x4的圖象（如圖）。

已知y1與y2在第一象限共有4個交點，又因為兩者都是關于原點對稱的奇函數，所以可得在第三象限，兩者也有4個交點。所以y1與y2共有8個交點，所以根據圖像得答案為D。

該生之所以錯解此題，就是因為在畫函數圖像時由于觀察不仔細或者圖像不夠準確，使得函數圖像畫錯，并且在錯的基礎上，忽視了原點也作為兩者交點的事實，最終得到了錯誤的答案。

（二） 忽視題目條件，“數”轉“形”不等價

數形結合，就是用數表示形，用形顯示數，兩者必須是統一的。有些學生在運用數形結合時，忽視了題目中的相關條件，片面地進行數形結合或轉化，結果導致數轉形不等價而解題錯誤。

例2：已知sin2α+sin2β=2sinα+2sinβ-1，求t=sinα+sinβ的取值范圍

解：先把已知等式化為（sinα-1）2+（sinβ-1）2=1。

令u=sinα，v=sinβ，則（u，v）的軌跡為圓心為（1，1），半徑為1的圓。函數t=u+v即函數v=-u+t。該函數與圓必有交點。故由圖像可知t的取值范圍為2-2≤t≤2+2。

該生錯解原因就在于“在令u=sinα，v=sinβ時，忽視了u和v的取值范圍，即-1≤u≤1，-1≤v≤1”，從而導致作圖出現錯誤，因此得到錯誤答案。

（三） 盲目使用數形結合，設置解題障礙

數形結合的目的是為了讓解答試題更為簡潔、更為準確，并非為了運用原理而進行“數形結合”。有些學生認為所有可以使用數形結合的試題都需要運用數形結合的原理，就造成在解題中盲目使用數形結合，反而導致解題更為麻煩，影響解題效率甚至解答質量。

例3：求y=（x2+2）/（x-1）的取值范圍。

解：由于函數的形式與斜率公式較為相像。故取點a（x，x2），點b（1，-2）。則y為兩點之間的斜率。可知點a在函數y=x2上，所以作出函數圖像，題目轉變為求函數y=x2上的動點與點b（1，-2）的連線的斜率的變化范圍。

設過點b（1，-2）的直線為y=k（x-1）-2，將其帶入函數y=x2中，可得x2-kx+k+2=0。

要求x存在，所以Δ=k2-4（k+2）≥0。故可得，k的取值范圍為k≥2+23或k≤2-23，即斜率y的取值范圍為y≥2+23或y≤2-23

數形結合方法在解答此題中并沒有起到“減負”的作用，反而加大了解答難度，耗費更多的時間，其效果反而不如普通方法簡單。

二、 科學運用“數形結合”的有效對策

（一） 制“形”謹慎，追求精準

“形”要輔“數”，必須精準，方能顯效，因此我們在進行由數到形的變換繪制圖形時，一定要謹慎，確保圖像的準確性；尤其在在圖像上一些不容易確定的點的關系上，可輔以數值的計算，來保證數形結合方法的準確性和可靠性。

比如對上述例1我們可以這樣解答：

將方程的解轉化為函數圖像的交點。在同一平面直角坐標系中畫出y1=sinπx和y2=x4的圖象（右圖）；并且在x=4.5時，經過計算可得y1=1，y2=1.125，y2>y1，所以兩者不相交。由圖像可得兩個函數在第一象限有3個交點，又由于兩者均關于原點對稱，所以在第三象限還有三個交點，再加上兩者在原點也有交點，所以兩者一共有7個交點，故答案選C。

（二） 仔細扣題，數形等價

在進行數形結合的方法時，一定要仔細審題，緊扣題中的數形條件，確保數形轉換的等價性；要把題中隱含的或容易被忽略的條件，全都反映到圖上，使答案準確無誤。

比如例2的正確解答過程就是：

把已知等式化為（sinα-1）2+（sinβ-1）2=1。令u=sinα，v=sinβ，并且-1≤u≤1，-1≤v≤1。則（u，v）的實際軌跡為一小段圓弧。函數t=u+v必與該圓弧有交點，則由圖可知t的取值范圍為2-2≤t≤1。

（三） 科學思維，合理運用

數形結合是數學解答的科學思維與方法，但并非唯一的途徑，我們在運用時要克服盲目、濫用的思想，要對試題進行科學思維，選擇解答試題最契合、最有效的原理與思維，方能四兩撥千斤、化腐朽為神奇，讓學生感受到數學的神奇與快樂。

比如例3并不必須使用數形變換，在原式經過簡單變換后便可得到，更為簡潔、高效，如下：

式子y=（x2+2）/（x-1）可變形為（x-1）y=x2+2，繼續變形為x2-yx+2+y=0，有Δ=y2-4（y+2）≥0。故可得y的取值范圍為y≥2+23或y≤2-23。

總之，我們在平時的數學教學中培養學生科學運用數形結合的意識與能力，總結數形結合的規律和方法，才能有效提高自身數學解題上的能力，保障在高考數學中解題質量與效率。

參考文獻：

[1]徐金霞.數形結合在高中數學教學中的運用探討[J].當代教研論叢，2017（6）：58.

[2]司春炎.莫入“數形結合”的誤區[J].數學學習與研究，2015（13）：115.

作者簡介：

陳健，福建省寧德市，福建省寧德市第五中學。