含參不等式的恒成立問題

鄭蓉

縱觀近幾年全國各省市的高考題，含參不等式的恒成立問題頻頻出現，是歷年高考的一大熱點。這類問題以不等式的“恒成立”為載體，考察函數，導數，方程，不等式等內容，滲透劃歸，分類討論，數形結合等數學思想，綜合性強，對學生能力要求高，一直備受高考命題者的青睞。本文介紹這類問題的常見解題策略，供大家參考。

1 分離參數法

分離參數法即通過恒等變形使參數與主元分離于不等式兩邊，從而使不等式的恒成立問題轉化為求主元函數的最值問題。

若函數 在給定區間上存在最值，則：

（1） 恒成立 ;

（2） 恒成立 ?若函數 在給定區間上不存在最值，則轉化為求函數的范圍問題.

例1.設函數 ，若關于 的不等式 在

上恒成立，求實數 的取值范圍.

點評：本題通過分離參數將不等式的恒成立問題轉化為求新函數的最大值問題，思路清晰，解法簡潔。

2 函數最值法

函數最值法即將不等式的恒成立問題直接轉化為求函數的最值問題，一般來說，由于函數中含有參數，在求最值時，往往涉及到分類討論。

若函數 在給定區間上存在最值，則：（1） 恒成立 ;

（2） 恒成立 ?若函數 在給定區間上不存在最值，則轉化為求函數的范圍問題.

例2.已知函數 ， ，對任意的 ， ?，不等式 ?恒成立，求正實數 的取值范圍.

點評：本題將不等式的恒成立問題直接轉化為求兩個函數的最值問題。

常見類型：若函數在給定區間上存在最值，則：

若有函數在給定區間上不存在最值，則轉化為求該函數的范圍問題。

3 變換主元法

在解答含參不等式的恒成立問題時，有時需要我們轉化思維角度，將主元變量與參數變量進行“換位”，反客為主，可使問題化難為易，迅速獲解。一般來說，將題中給出了取值范圍的量視為主元，待求的量視為參數。

例3.設函數

（1） 若函數 的圖象在 處與直線 相切

①求實數 的值;②求函數 在 的最大值.

（2）當 時，若不等式 對所有的 ， 恒成立，求實數 的取值范圍.

點評：本題是有關雙參數的恒成立問題，在解答時選擇以哪個變量為主元非常關鍵，當然本題的實質仍然是轉化為函數的最值問題。

通過以上幾道例題的學習，我們歸納總結了含參不等式恒成立問題常見的求解策略。在解題過程中，還需要我們根據題設條件綜合分析，多思考，選擇合適的方法進行求解。

（作者單位：湖北省荊州市江陵縣江陵中學）