高等數(shù)學(xué)在運籌學(xué)中的應(yīng)用

王健

1 引言

現(xiàn)如今運籌學(xué)作為一門獨立學(xué)科與高等數(shù)學(xué)同為數(shù)學(xué)專業(yè)中的重要分支，高等數(shù)學(xué)為運籌學(xué)的發(fā)展提供了理論基礎(chǔ)與方法論，而運籌學(xué)也為高等數(shù)學(xué)的具體應(yīng)用提供了有效平臺。對于經(jīng)濟(jì)類專業(yè)人才來說，將高等數(shù)學(xué)知識應(yīng)用在運籌學(xué)中可以更加深入、透徹地理解運籌學(xué)方法，為重要決策的制定提供輔助支持。

2 高等數(shù)學(xué)與運籌學(xué)的相關(guān)性分析

高等數(shù)學(xué)與運籌學(xué)均為高等教育體系下的獨立學(xué)科，也是數(shù)學(xué)專業(yè)領(lǐng)域中的重要分支之一。高等數(shù)學(xué)是運籌學(xué)的重要理論來源與方法論基礎(chǔ)，其高等代數(shù)、數(shù)學(xué)分析、幾何學(xué)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計等知識均可用于深化對運籌學(xué)方法的理解與掌握，用以將運籌學(xué)中的具體問題進(jìn)行抽象概括、應(yīng)用與表達(dá)，提升運籌學(xué)的實際應(yīng)用價值。而運籌學(xué)為高等數(shù)學(xué)的具體應(yīng)用搭建了良好的平臺，將運籌學(xué)知識應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)管理中實現(xiàn)對人力、物力等資源的統(tǒng)籌管理與調(diào)配，為重要決策的制定提供輔助支持，提升管理的針對性與實際效果。二者的關(guān)系可以總結(jié)為：高等數(shù)學(xué)是運籌學(xué)的基礎(chǔ)，運籌學(xué)是高等數(shù)學(xué)的具體應(yīng)用。

3 高等數(shù)學(xué)在運籌學(xué)中的具體應(yīng)用策略探討

3.1 線性代數(shù)的具體應(yīng)用

3.1.1 方程組

數(shù)學(xué)建模在運籌學(xué)中具有重要應(yīng)用價值，通過調(diào)查問題、收集數(shù)據(jù)，掌握問題的本質(zhì)特征及其內(nèi)在規(guī)律，進(jìn)而圍繞問題的主要矛盾作為切入點提出大膽合理的假設(shè)，經(jīng)由抽象轉(zhuǎn)化后構(gòu)建用以表示問題的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而利用數(shù)學(xué)技巧與方法解決實際問題。在此過程中，方程組是這類數(shù)學(xué)模型的主要呈現(xiàn)形式，通過將實際問題抽象、簡化成為數(shù)學(xué)模型，可以進(jìn)一步提高問題研究的嚴(yán)謹(jǐn)性、便于問題的解決。在運籌學(xué)中，由可控決策變量或不可控決策變量構(gòu)成數(shù)學(xué)模型，借助相關(guān)條件、目標(biāo)實現(xiàn)對三者關(guān)系的度量，數(shù)學(xué)模型能否正確被認(rèn)知是求解運籌學(xué)問題的重要基礎(chǔ)，因此務(wù)必要注重加強(qiáng)方程組知識的運用，依托線性方程組實現(xiàn)對運籌學(xué)中的動態(tài)規(guī)劃、對策論、排隊論等問題的有效解決。

3.1.2 矩陣

通常解答運籌學(xué)問題所涉及到的方程組數(shù)量較多，利用矩陣的性質(zhì)與方法能夠使數(shù)學(xué)模型得以直觀、簡明呈現(xiàn)出來。例如當(dāng)運籌學(xué)中的數(shù)學(xué)模型涵蓋了線性規(guī)劃知識時，利用矩陣可以更好地求取最優(yōu)解;當(dāng)數(shù)學(xué)模型涉及到分配問題時，可以通過矩陣的行列變化求得答案;倘若數(shù)學(xué)模型涉及到圖論問題，恰好迎合了矩陣中的求解最短距離方法。具體來說，其一可以應(yīng)用分塊矩陣知識求取線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解，將矩陣標(biāo)準(zhǔn)形轉(zhuǎn)化為分塊矩陣，利用單純形表求得最優(yōu)解;其二可以利用矩陣的初等變換知識，先將矩陣轉(zhuǎn)化為單純形表，求得方程基礎(chǔ)解系，繼而獲取到可行解、最優(yōu)解，利用迭代方法完成矩陣行的初等變換。

3.2 幾何學(xué)在描述具體問題中的應(yīng)用

高等數(shù)學(xué)中的幾何學(xué)知識用以表示空間中的幾何形式與數(shù)量關(guān)系，借助坐標(biāo)描述圖形形狀與特點，將其應(yīng)用于運籌學(xué)中主要描述內(nèi)容并求解。以下題為例：某住宅商開發(fā)商擬定在一塊區(qū)域內(nèi)選擇開發(fā)位置，共有三處地點可供其進(jìn)行選擇，分別為城區(qū)內(nèi)a1、城區(qū)外a2以及城區(qū)交界處a3，且在開發(fā)過程中還有可能面臨修建地鐵的情況，分別為修建地鐵策略b1和不修建地鐵策略b2，求解開發(fā)商的最優(yōu)策略。其中開發(fā)商的利益矩陣表示為：

其中y1代指開發(fā)商的收入。進(jìn)而將以上三個表達(dá)式轉(zhuǎn)化為圖形，采取對策法求得最優(yōu)解為a3，即開發(fā)商應(yīng)將開發(fā)選址設(shè)在城區(qū)交界處，可以獲取到收益的最大值。

3.3 概率論與數(shù)理統(tǒng)計在隨機(jī)運籌學(xué)中的運用

隨機(jī)運籌學(xué)是運籌學(xué)的主要分支，由對策論、系統(tǒng)可靠理論、排隊論、不確定決策理論等多項內(nèi)容組成，這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)與高等數(shù)學(xué)中的概率論、數(shù)理統(tǒng)計之間存在密切的關(guān)聯(lián)，奠定了隨機(jī)運籌學(xué)的重要基礎(chǔ)。以排隊論為例，這類問題在現(xiàn)實生活中普遍存在，諸如醫(yī)院中繳費窗口設(shè)置的數(shù)量、超市中收銀臺設(shè)置的數(shù)量等，在解答此類問題時需要預(yù)先做出合理假設(shè)，假設(shè)顧客到達(dá)的間隔時間的分布類型，將其假定為負(fù)指數(shù)分布，隨即利用高等數(shù)學(xué)中的概率論、數(shù)理統(tǒng)計中的分布檢驗知識進(jìn)行判斷，評判其是否屬于負(fù)指數(shù)分布，并得出具體數(shù)值結(jié)果。具體來說，可以從以下兩個角度進(jìn)行概率論與數(shù)理統(tǒng)計的應(yīng)用：

其一是期望問題，例如針對動態(tài)規(guī)劃知識中的隨機(jī)采購問題進(jìn)行求解，假設(shè)在單位時間段內(nèi)某商品的價格分別為a、b、c，其被選中的概率分別為x、y、z，進(jìn)而獲取到采購商的期望價格。諸如此類問題還包含儲存策略等，可通過計算收益的期望最大或損失的期望最小獲取到求解結(jié)果。

其二是利用概率論與數(shù)理統(tǒng)計的性質(zhì)進(jìn)行求解，以最經(jīng)典的報童問題為例，該問題被劃歸到儲存論范疇當(dāng)中，假設(shè)報童每天賣出x份報紙，已知r的性質(zhì)為一個離散的隨機(jī)變量，其概率為P（r），且滿足概率論中的點擊并拖拽以移動這一性質(zhì)，并假設(shè)報童每天準(zhǔn)備報紙的總數(shù)量為Q。在解答這道問題時，需要從兩個角度進(jìn)行思考，其一是報紙暢銷的情況，當(dāng)市場上供不應(yīng)求時，采取失去銷售機(jī)會、少賺錢的方式進(jìn)行相應(yīng)求解;其二是報紙陷入滯銷局面，當(dāng)市場上供過于求時，應(yīng)采取損失期望最小的方式進(jìn)行求解。此外，在針對連續(xù)隨機(jī)變量問題進(jìn)行求解時，也可以利用高等數(shù)學(xué)中概率論的知識進(jìn)行求解。

3.4 數(shù)學(xué)分析在運籌學(xué)中的運用

最值問題在運籌學(xué)中的應(yīng)用范疇最廣，當(dāng)求解最短距離問題、最大收益問題、最低資源消耗等問題時便涉及到最值問題的求解，對此可以利用高等數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)分析問題進(jìn)行解答。通常應(yīng)將被求解的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，通過求取函數(shù)的最值得出最優(yōu)策略。還可以利用導(dǎo)數(shù)方法求取最值問題，將被求解函數(shù)轉(zhuǎn)化為一階導(dǎo)數(shù)性質(zhì)，設(shè)求導(dǎo)后的等式值為0，即可求得該函數(shù)的極大值與極小值，隨后通過針對一階求導(dǎo)后的函數(shù)進(jìn)行二階導(dǎo)數(shù)的求解，將極值代入二階導(dǎo)數(shù)函數(shù)內(nèi)，便可以針對極值的正確與否進(jìn)行判斷，在此過程中需特別考慮到自變量取值范圍問題，保證求取結(jié)果的準(zhǔn)確性。此外，還可以利用數(shù)學(xué)模型作為輔助工具，將運籌學(xué)問題轉(zhuǎn)化為高等數(shù)學(xué)中的最值問題，進(jìn)而求得最終解;倘若該數(shù)學(xué)模型內(nèi)涵蓋多個自變量，還可以利用高等數(shù)學(xué)中的多元函數(shù)知識，借助偏導(dǎo)數(shù)的方式進(jìn)行求解。

由此便可以判斷拉格朗日乘子點擊并拖拽以移動為該線性規(guī)劃問題對偶規(guī)劃的最優(yōu)解。將其應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域主要表現(xiàn)為“影子價格”，用以衡量市場經(jīng)濟(jì)條件下的資源狀況，倘若影子價格高于資源市場價格，企業(yè)應(yīng)實施買進(jìn)策略;當(dāng)影子價格低于資源市場價格時，則應(yīng)將現(xiàn)有資源賣出，用以發(fā)揮對市場的調(diào)節(jié)作用。

4 結(jié)論

在當(dāng)前的高校教育體系下，高等數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)性學(xué)科能夠為大學(xué)生的后續(xù)專業(yè)課程學(xué)習(xí)與未來發(fā)展打下良好基礎(chǔ)，也為運籌學(xué)的實踐應(yīng)用提供重要理論與方法論支持。因此我們務(wù)必要強(qiáng)化高等數(shù)學(xué)與運籌學(xué)知識的融匯貫通，利用高等數(shù)學(xué)知識與思維解決運籌學(xué)問題，進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)科應(yīng)用價值。

（作者單位：上海師范大學(xué)奉賢校區(qū)）