模型思想教學：在不同情境中建構與感悟
——基于一道例題變式教學的感悟

☉江蘇省宿遷市實驗學校 張 誠

數學模型是學生分析問題和解決問題的重要工具.在初中階段，幫助學生感悟模型思想是數學教學的重要任務.與其他數學思想一樣，模型思想同樣是“蘊含在數學知識的形成、發展和應用過程之中”.因此，數學教學應把握住數學知識形成、發展與應用的每一個環節，讓學生體會和感悟數學模型的價值.在近期的一次教學研討活動中，筆者就依托一幅圖建構了多個不同的問題情境，讓學生反復經歷建構與求解模型的過程，對學生感悟“共邊直角三角形”這一常見數學模型起到了很好的推動作用.現呈現其中的片段，并談一些感悟，希望能給您帶來啟示.

一、教學片段簡述

1.例題探索

教師投影例1，并請學生自主探索解題思路.大約3分鐘后，教師組織全班交流.

例1如圖1，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=8，求AB.

師：請一名同學說說解題的思路.

圖1

圖2

生1：過點C作CD⊥AB，垂足為D（如圖2），再在Rt△ADC和Rt△BDC中分別求出AD和BD，就可以求出AB的長了.

師：非常棒！你是怎么想到過點C作垂線段CD的？

生2：題目給出了“∠A=30°，∠B=45°”，作垂線段CD，就可以將這兩個特殊度數的銳角都放到直角三角形中去.

師：太好了！通過一條垂線段，我們把一個看似復雜的數學問題，轉化成了解“兩個共邊直角三角形”的問題.接下來，請大家自己試著求一求AB.

（學生自主解答，教師找出存在問題的過程并進行了展示與點評，進一步強調了“‘共邊直角三角形’是化解很多與三角形相關的問題的基本模型”）

2.變式訓練

教師首先投影例2（變式題1），并要求學生讀題、思考，尋求解決問題的方法.

例2A、B、C三個村莊在地圖上的位置如圖1所示，已知∠A=30°，∠B=45°，A、C兩村相距8km.求B、C兩村之間的距離.

兩分鐘后，教師組織學生交流解題思路.

師：如何求B、C兩村之間的距離？

生3：和剛才的例1一樣，還是過點C作CD⊥AB于D，將∠A和∠B放到兩個直角三角形中先求出CD，然后在Rt△BCD中可以求出BC的長.

師：很好！CD這條垂線段起到的作用與例1相同嗎？

生4：相同.事實上，這個題目只是給前面的例1套上了一個生活情境.解題時，直接從生活情境中抽象出數學問題“如圖1，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=8，求BC”，這與例1實際上是差不多的.

師：你的觀察與分析非常仔細.看來，例1中的“共邊直角三角形”在例2這種實際問題中也能發揮作用！在下面的問題中，還需要建構這種“共邊直角三角形”嗎？

教師投影例3（變式題2）.

圖3

例3如圖3，海面上有一輪船，從A處測得海島C在其北偏東60°方向上，當輪船航行到A處正東方向100海里的B處時，測得海島C在其西北方向上.此時輪船距離海島C有多遠？

在學生讀題、思考后，教師組織交流.

師：誰來說說這道題的思路？

生5：我覺得解法和上面的兩道例題差不多.

師：具體說說.

生6：和例2一樣，這也是一個實際問題.我們可以將其抽象為：“如圖3，在△ABC中，∠CAB=30°，∠CBA=45°，AB=100海里，求BC”.

師：真不錯！你能在短時間內將這么豐富的生活情境抽象為簡潔的數學情境，不簡單.那接下來怎么求呢？

生7：和前面的例題一樣，還是過點C作CD⊥AB于D，將∠A和∠B放到兩個共邊直角三角形中.此時，BC=CD.只要能求出CD，就可以求出BC.師：那怎么求CD呢？生8：列方程求解.我們可以設CD=x海里，則AD=海里，BD=x海里.由AB=100海里，可得方程x+x=100.解這個方程就可以求出CD的長了.

師：真不錯.看來，我們不僅可以通過解共邊直角三角形來求線段的長，有時還可以通過方程模型求線段的長.請同學們自主解答例3，并在小組中交流各自的解題過程.

3.階段歸納

師：通過這一組例題的分析與解答，你們有哪些收獲？

生9：建構共邊直角三角形是解決很多數學問題的途徑.就算是實際問題，我們也可以將其抽象為數學問題，然后利用共邊直角三角形解決.

生10：構造共邊直角三角形的基本方法是作垂線段，而這條垂線段往往是兩個直角三角形所共有的邊.

生11：在應用共邊直角三角形這一模型解決問題時，有時可以直接計算得到結果，有時可以借助方程模型來求解.

…………

在學生陳述過程中，教師適時板書，最終形成如下網絡圖：

圖4

4.跟進思考

圖5

師：如圖5，將上面例1中的圖逆時針旋轉90°得到圖5，你能給它創設一個生活情境嗎？大家課后試一試，并嘗試給出解決問題的思路和過程.學生畫圖并記錄教師提出的問題.

二、片段簡析

本節課中，模型思想的教學是從例1開始的，這是一道簡單的幾何題，對于這類純數學情境的問題，在前面的學習中學生已經積累了解決的經驗.因而，在探索這道例題的解法時，僅通過簡單的對話與交流，學生便給出了思路及過程.在建構輔助線和呈現解題過程時，非常順利地喚醒了學生應用“共邊直角三角形”解題的經驗，為進一步感悟模型思想夯實了基礎.接下來的例2和例3是例1中的圖形的再應用，教者給圖1設計了遞進式的生活情境，將“作垂線段，建構共邊直角三角形，計算或列方程求解”的一般思路蘊含在兩道例題中，學生在情境抽象與思路探索中，反復感知到“共邊直角三角形”這一模型的應用價值，并進一步體會到不同數學模型間的聯系.這樣的教學歷程，學生會隨著對這一數學模型的反復抽象和應用，不斷被強化和鞏固，這對他們深入體會模型思想的應用價值有著十分重要的意義.

三、幾點感悟

1.解答原型問題，經歷建模過程

數學模型蘊藏于數學知識的形成、發展和應用過程中，是數學知識和方法在更高層次上的抽象和概括.因而，數學模型的教學不僅要緊扣數學概念的形成過程，還要特別注重讓學生從數學知識的應用過程中加以體驗，尤其是對原始數學問題的深度探索對學生感知與應用數學模型是最為重要的.事實證明，只有通過這種反復的建構與應用，學生才能真正感悟到數學思想的應用路徑和實際價值，從而使之逐步固化到學生的認知結構中，成為充分遺忘后最后留下來的數學知識.以本文中的教學片段為例，例1是蘊含“共邊直角三角形”模型的原始數學問題.教學時，教師特別注重對例1的教學，先后安排了自主探索、思路分享、模型抽象、展示點評、方法歸納等活動，讓學生在此過程中體會模型的抽象、建構和應用過程，這樣的設計與實施無疑為學生更進一步感悟模型思想夯實了基礎、積累了經驗.

2.遞進變式探索，強化應用體驗

數學模型教學，從原型問題中獲得模型僅僅是開端.為了讓學生真正認識到數學模型的價值，在實際教學時，我們應創設不同的問題情境，讓學生反復經歷包含同一模型的不同數學問題的求解過程，從而真正體會到數學模型具有廣泛的應用性.在設計這些數學問題時，我們應努力讓這些問題之間具有明顯的遞進關系；在教學這些問題時，要由易到難逐步呈現這些問題，并通過這種遞進變式的不斷探索，不斷加深學生對課時模型的認知.顯然，本文中所述片段，正是基于這一理念之上的精巧設計，三道例題都包含了“共邊直角三角形”這一數學模型.教師在教學時，將三題逐一呈現，使學生在反復建構和應用“共邊直角三角形”模型過程中，不斷加深對這一模型的認識，及其在解決與三角形相關的數學問題和實際問題時的價值.在本節課的最后，筆者還安排了學生跟進思考：給由圖1變換所得的圖5賦予一個生活情境并解答.顯然，這樣的要求明顯高于上述三題，具有明顯的遞進性，學生在課后分析與解答時完全可以借助本節課所獲得的模型和解題的經驗.

3.注重網絡建構，實現思想滲透

數學教學，知識的結構化是一項較為重要的任務.數學模型教學，同樣應注重知識體系的建構.教學數學模型，課時模型固然應成為課時教學的重點，但我們絕不能只關注到課時模型這一單體模型的教學，而應將建構與課時模型相關的模型網絡作為本節課的重要任務.在整個教學過程中，教師應時刻做好與課時模型相關聯的知識的呈現與板書，在學生深入體會到課時模型與相關模型的聯系后，通過箭頭、方框等符號將其鏈接起來.在本節課上，筆者所述的這些做法都得到了很好的體現.在環節1“例題探索”中，筆者基于學生構造的輔助線和模型在黑板上板書了網絡圖（如圖4）中的“數學問題”“作垂線段”“轉化”“共邊直角三角形”等詞語及后兩個方框之間的箭頭；在環節2“變式訓練”中，由于例2和例3都是實際問題，解答時需要先抽象后建模，因而，我又板書了“實際問題”“抽象”和前兩個方框之間的箭頭；在環節3中，將“直接計算或列方程求解”及其上面由方框1到方框3的箭頭畫出.隨著知識網絡圖的逐漸完善，學生的認知會與教學過程同步，對知識的網絡化是十分有利的.