基于分時定價理論的地鐵票價優化研究

王 林,李日偉,魯寒宇,楊雨婷

(武漢理工大學 交通學院， 湖北 武漢 430063)

0 引 言

如今，隨著城市化的推進，城市人口日益增長，造成公共交通高峰期出行乘客過多，平峰期出行人數偏少，出行客流較為集中，全天客流不均衡系數偏大的問題，不僅會導致公共交通服務質量下降，也會增加安全風險與維護費用。作為城市公共交通的重要分擔者，地鐵同樣存在此問題，且問題表現較為突出。就歷史數據分析來看，乘客對地鐵票價的敏感性較強，因此，通過對地鐵進行分時間段的票價優化，達到調整彈性系數較大的乘客出行時間與出行方式，分散出行客流，緩減客流不平衡矛盾的思想是可行的。

分時定價理論是指，從“削峰填谷”的思想出發，根據運營時段不同制定不同的價格，利用乘客對公共交通價格的敏感性，引導乘客的出行時段與出行方式，是一種平衡不同時段出行客流量的有效方法。目前，有許多學者對此問題進行了研究討論。S. R. JARA-DIAZ[1]于1986年首先運用分時定價理論，對圣地亞哥地鐵系統進行分時定價，并通過建立非集計需求模型和使用多產出成本函數計算出最優的價格，結果表明了分時定價在圣地亞哥地鐵系統的可適用性；R. BIANCHI[2]等通過建立乘客行為模型，借助SP調査法對圣地亞哥地鐵實施分時定價政策前票價對早晚高峰客流的影響進行調査，來預測票價和舒適性改變后乘客出行時間的變化，并得出了Probit模型對于現實中分時定價政策實施后客流量變化的巧合效果更優，同時對分時定價在圣地亞哥地鐵實施給予肯定；王倩[3]構建了伯特蘭均衡模型和雙層規劃定價模型，基于具體算例提出了在城市軌道交通運營的不同時期應根據實際情況制定不同票價的方案；李艷杰[4]利用計量經濟學方法分別以客流量與平均運距為變量進行 OLS 回歸，得出變量對拉姆齊定價的影響情況，同時得出深圳地鐵的拉姆齊定價與高峰定價；宋慶梅[5]建立巢式 Logit 模型，以杭州地鐵為例進行驗證，得出時間差別定價能有效平衡客流時空分布不均衡現象，但可能會減少地鐵票務收入的結論；王靜[6]從收益管理和擁擠定價出發，應用 SP 問卷調研和 Weka 分析，發現乘客出行影響規則，并通過分類預測方法確定了廣州地鐵的低峰降價策略；程高[7]基于博弈論構建了非對稱信息下的公交定價模型，以武漢地鐵為例，以社會效益最大化為目標計算出了4元的最優票價；劉濤等[8]通過價格敏感度模型和擁擠容忍度模型，驗證了地鐵分時定價的必要性；陳花[9]以定性分析為主，論述了地鐵分時定價對于乘客出行選擇的影響。上述研究從收益定價或時間差別定價角度取得了諸多研究成果，但總的來看，分時定價的研究以定性分析為主，少數的定量分析則采用平峰打折或高峰漲價的策略，很少采用數學模型進行整體優化。基于此，筆者參考諸克軍等[10]關于天然氣工業分時定價的策略，選用彈性系數法，對地鐵各時段重新定價，在保證地鐵社會公共性發揮的同時，縮小最大客流差，保障地鐵的安全運營。

1 價格彈性模型

價格彈性可以充分反映供求與價格之間依存關系，準確反映乘客對票價的敏感性。就地鐵公交等公共交通而言，經歷史數據分析[11]，其對票價的彈性較大，因此，對地鐵進行分時定價后，乘客的需求也會發生相應變化，且乘客對某時段的地鐵需求量不僅與該時段地鐵票價有關，也與其他時段地鐵票價有關，即同時存在自彈性和交叉彈性。價格彈性的一般形式如式(1)：

(1)

筆者根據價格彈性的一般形式，分析自彈性和交叉彈性。

1.1 自彈性系數

自彈性系數公式如式(2)：

(2)

自彈性系數用于衡量某一時段的價格彈性，即第i個時段的價格變化。自彈性系數只影響第i個時段的需求變化，而不影響第j(i≠j)個時段的需求變化，亦即客流量在同一時段的不同交通方式重新分擔。例如，大部分上學、上班等剛性需求。

1.2 交叉彈性系數

交叉彈性系數公式如式(3)：

(3)

交叉彈性系數為其他時段票價變化對某一時段的客流需求影響，即第j個時段的價格變化影響第i(i≠j)個時段的需求變化，亦即客流量轉移至其他時段。例如，出行等非剛性需求。

2 用戶需求響應負荷模型

需求響應(demand response，DR)在現有研究中主要用于電力需求管理，是指電力用戶根據供電部門制定的電價信息和激勵信息來調整自己的用電計劃,通過用電設備技術改進或采用控制手段對運行方式進行調整以改變其用電負荷特性曲線,在用戶滿意度和用戶生產工藝約束條件下,使用戶電費支出最小化[12]。參照此定義，可將地鐵需求響應定義為：當地鐵票價發生變化時，乘客接收到票價變化信號后，改變其出行行為，從而減少或者推移某時段出行負荷，在最大客流差縮小的約束下，保障乘客的出行效益。

參考文獻[13-14]與文獻[10]，提出關于地鐵乘客的用戶響應負荷模型，如式(4)：

S[q(i)]=B[q(i)]-p(i)·q(i)

(4)

式中：q(i)為某時段乘客的出行需求量；B[q(i)]為乘客獲得的收益，此乘客收益并非貨幣收入，而為乘客乘坐地鐵帶來的包括乘坐時間、速度、舒適度等心理效益；p(i)為第i時段地鐵票價；S[q(i)]為乘客承受票價后的效益。對q(i)求導可得：

(5)

用戶的效益最大化，導數值應為0，可得：

(6)

即：

(7)

常用的用戶收益函數如式(8)[15]：

(8)

(9)

式中：p0(i)為第i個時段地鐵票價的初始價格；q0(i)、q0(j)分別為第i、j個時段乘客的初始需求量；B0(i)為第i個時段用戶的初始收入，即用戶需求量為q0(i)時的收入；E(i)為第i個時段的價格需求彈性；E(i,j)為第i個時段對第j個時段的價格需求彈性。由于式(8)、式(9)除個別參數外形式相似，故以式(8)為例進行分析，同理可得式(9)相應公式或結論。對式(8)求導，得：

(10)

將式(7)帶入式(10)，可得乘客需求量與票價的關系，如式(10)：

(11)

由式(11)可構建地鐵收益函數與乘客效用函數。

2.1 地鐵公司收益函數

參考相關文獻[11]，結合對武漢市地鐵的實地調研，擬將地鐵時段分為5個時段，即：①發車—7:00，早高峰前平峰；②7:00—9:00，早高峰；③9:00—17:00，早晚高峰間平峰；④17:00—19:00，晚高峰；⑤19:00—收車，晚高峰后平峰。

在進行分時定價后，某一時段價格變化可能引起客流在不同交通方式的再分擔，即為單時段響應。此外，不同時段價格的不同也可能導致乘客改變出行時段，實現需求量從高峰時段轉移到平峰時段的目標，即為多時段響應。

根據以上分析，構建地鐵收益函數如式(12)：

(12)

式中：R0為票價優化前地鐵公司收益；p0為優化前的票價；C為地鐵的人均成本，包括均攤的固定成本和每天運營維護的可變成本；q0(i)為票價優化前某一時段的客流量。實施分時定價優化后，地鐵公司收益函數如式(13)：

(13)

2.2 乘客效用函數

對于乘客而言，地鐵僅作為一種出行的方式，是其滿足某種出行需求的工具而已，因此，地鐵給乘客帶來的收益僅僅表現為心理上的滿足感，即效用S。在參考相關文獻，并結合實際情況后，乘客效用函數由票價p、乘車候車總時間t和乘客舒適度φ等3個指標確定。各指標計算評判標準如下：

1)價格p

考慮票價優化后一定時間內乘客交通方式選擇有限，公共交通網絡僅考慮公交和地鐵兩種。一般情況而言，公交價格為固定票制，地鐵為浮動票制。武漢地鐵采用分段票制，即9 km以內(含9 km)為2元/人次，9～14 km(含14 km)為3元/人次，3元以上每增加1元可乘坐的里程比上一區段遞增2 km，以此類推。由于分時票價目的在于尋找客流量與地鐵票價的關系，并通過改變地鐵票價調節各時期客流量，緩解客流不平衡矛盾，故票價采用連續變化函數更容易達到這一目的，得出更合適的運價率。一般而言，計程地鐵票價函數可表示為[16]：

p=p′+δ·lij

(14)

式中：p為乘客出行地鐵總票價；p′為地鐵基本票價；δ為運價率，為筆者研究對象；lij為乘客乘坐距離，可用乘車時間與行車速度相乘表示。

2)時間t

時間t分為乘車時間和候車時間。對于乘車時間，大量的學者已經證明，乘客的乘車時長分布大致服從對數正態分布[5,17]，其概率公式如式(15)：

(15)

式中：T為乘車時間；μ為尺度參數；σ為形狀參數。μ、σ均通過平均時長E(T)和乘車時間方差var(T)得到。

由正態分布的基本圖像可知，在二分之一行車時間附近的乘車時間是大概率事件。因此，可以認為，在中途上下車的乘客為多數，即大多數乘客的乘車時間在二分之一行車時間左右波動。因此，用二分之一行車時長表示行人的乘車時間是合理的。

對于候車時間，乘客到站時間服從均勻分布，乘客候車時間采用發車時間的一半表示[18]。

3)舒適度φ

舒適性與乘車時間和乘車環境有關。車廂越擁擠則舒適性越差，反之越好。筆者以一節車廂內的乘客人數表示舒適度，人數越多，說明車內越擁擠，則乘客的舒適性越差。根據以上定義，舒適度函數計算式如式(16)：

(16)

式中：qi為一個時間段內某種交通方式的乘坐總人數；n為一列地鐵的車廂節數；Tzc為某一時間段內小時數；tjg為某一時間段內的發車間隔。

根據以上分析，票價優化前乘客出行效用函數為：

(17)

式中：tw為候車時間；txc為地鐵總行車時間。

票價優化后乘客出行的效用函數為：

S[q(i)]=B[q(i)]-p(i)·q(i)=-[α1·p+

(18)

3 分時段定價優化模型

在確定客流量與票價的關系后，筆者對基于時間差別的地鐵定價優化模型進行研究。

3.1 相關假設

為方便求解，做如下假設：①公共交通網絡客流穩定，即短期內客流量增減幅度不會太大；②公共交通網絡具有一定的獨立性，即各線路之間互不影響；③地鐵公司運營的收入僅考慮票價收入，且不考慮優惠票價的影響；④出行需求為多對多出行，任意兩個站點之間均有客流需求，且客流受出行時間、票價等因素的影響；⑤乘客到達地鐵站點的時間服從均勻分布；⑥公交地鐵發車間隔均為不發車間隔，且每個時間段內各輛車的發車間隔相等且已知；⑦公交和地鐵均為勻速行駛，地鐵全天行駛速度形同，公交各劃分時段內行駛速度相同；⑧研究僅考慮地鐵價格改變后轉移出的客流量，暫不考慮其他交通方式轉入的客流量；⑨平峰期公交、地鐵客流量不相互轉移，即客流轉移如圖1。

圖1 分時定價后客流轉移趨勢Fig. 1 Transfer trend of passenger flow after time-sharing pricing

3.2 最大客流差最小化模型構建

為確保地鐵的安全運營，模型以地鐵最大客流差最小化，平衡地鐵客流為目標函數。由此可得，目標函數應求得最小化的高峰期地鐵負荷峰值和最大化的平峰期地鐵負荷谷值。由于每時段小時數不同，故取時段客流除以時段時長所得的小時客流量衡量每個時段的客流負荷。最小化的高峰期地鐵負荷峰值Qf、最大化的平峰期地鐵負荷谷值Qg、最小化峰谷差Qf-g表達如式(19)～式(21)：

(19)

(20)

(21)

3.3 約束條件

約束條件從地鐵公司效益、乘客效益和價格約束3方面構建。

3.3.1 地鐵公司效益

目標函數以縮減最大客流差以達到削峰填谷為目的構建。在考慮目標函數實現的同時，地鐵公司的效益問題不可忽略。目前，地鐵公司多處于虧損狀態，因而地鐵公司效益已基本無縮減余地。相反，地鐵定價策略應逐步以地鐵公司盈利為目標進行。基于此，關于地鐵公司效益的約束條件為票價優化定價后不會對地鐵公司效益造成損害，即：

ΔR=R-R0≥0

(22)

由式(12)、式(13)可得：

(23)

3.3.2 乘客效益

地鐵作為公共交通，其公共性是地鐵定價的重要考慮因素，總的來看，其公共性可用乘客效益進行衡量。隨著地面交通壓力的逐漸增大，提倡公共交通出行成為主流。基于此，在對票價進行優化時，應考慮乘客總效益的變化，避免因效益損失過大帶來大批乘客流失，加劇地面交通壓力，故乘客效益損失應控制在一定范圍，即：

|ΔS|=|S-S0|≤Sm

(24)

由式(17)、式(18)、式(24)可得：

(25)

3.3.3 價格約束

為了避免票價變化過高帶來的乘客總效益下降，價格變動會有一定的范圍，即：

p下限≤pi≤p上限

(26)

由式(14)可得，票價優化的實質是對運價率進行優化，即式(26)可變形為：

δ下限≤δi≤δ上限

(27)

3.4 求解算法

結合Pareto排序，采用遺傳算法求解模型，具體步驟如下：

步驟1：令i=1，錄入原始數據，包括票價優化前各時段客流量q0(i)、原始票價p0、地鐵公司成本C、實施峰谷分時定價后運價率上限δ上限和下限δ下限。

步驟2：確定算法參數值，包括群體規模p、最大迭代次數G、交叉概率pc和突變概率pm。

步驟3：令i=i+1，由式(23)、(25)、(27)篩選δi的可能取值，產生隨機初始化種群m。

步驟4：計算目標值函數。根據式(19)、式(20)、式(21)分別計算出最小化的高峰期地鐵負荷峰值Qf、最大化的平峰期地鐵負荷谷值Qg以及最小化峰谷差值Qf-g。

步驟5：通過Pareto得到個體的序位，并按序位對個體進行排序，最后根據排序值對個體分配選擇概率。

步驟6：在由Pareto排序得出個體選擇概率后，對群體進行選擇、交叉、變異等操作，產生下一代群體后，重復步驟3，依次迭代，直至結束循環。

步驟7：輸出結果。如果迭代次數g達到最大設定的迭代次數G，則算法終止，輸出結果，得到各時段價格，再計算出最小峰負荷和最小峰谷負荷差。

4 算例分析

目前，某地地鐵價格仍采用統一定價，即起步價2元，運價率為0.11元/km，公交價格為2元/次。二者均采用不等時間隔發車，以滿足不同時期乘客的出行需求。此外，考慮地面不同時段路況的不同，公交的行駛速度也存在區別。公交、地鐵分時段行車速度及發車間隔見表1。

表1 行車速度及發車間隔參數設置Table 1 Parameter setting of driving speed and departure interval

乘客效益函數相關參數取值見表2。

表2 其他參數設置Table 2 Other parameter setting

此外，各時段價格需求彈性見表3。

表3 各時段價格需求彈性Table 3 Price demand elasticity in each period

根據建立的地鐵票價優化雙層規劃模型，采用遺傳-Pareto算法求解，并利用MATLAB軟件實現。運價率優化結果見表4。

表4 運價率計算結果Table 4 Calculation results of freight rate

由以上分時定價結果，可計算出地鐵運價率為0.14元·km-1，大于實施分時定價前的0.11元·km-1。此外，具體各時段各方式轉移客流量計算結果及各時段地鐵分配客流量計算結果分別見表5、表6。

表5 各時段各方式轉移客流量計算結果Table 5 Calculation results of passenger flow transferred by differentways in different periods

表6 各時段地鐵分配客流量計算結果Table 6 Calculation results of passenger flow distributed inmetro at different periods 萬人

地鐵凈收益為254.30萬元，相較于票價優化前，凈收入上浮185.45萬元；乘客乘車效益值為-469.24，優化前乘客效益為-397.87，效益值下跌71.37；小時最大客流差為0.14萬人，相較于優化前的0.16萬人，小時最大客流差減小0.02萬人。

由計算結果可知，地鐵分時定價有利于地鐵高峰客流的轉移，減小高峰期客流擁堵情況，改善乘車環境，提升軌道交通利用率，增強乘客乘車體驗，降低高峰期承載率，減小安全隱患，有利于地鐵公司的運營。

5 結 論

利用彈性系數，參考電力、天然氣等行業的用戶需求響應模型，構建了地鐵的用戶需求響應模型，用于對地鐵票價進行分時段優化，并利用遺傳-Pareto算法對模型進行求解，最后通過算例，得到了優化后的分時段運價率，驗證了模型。

筆者研究仍存在缺陷。首先，地鐵票價優化后公共交通之間的客流轉移僅考慮了地鐵向公交的流動，而未考慮公交向地鐵的流動。其次，由于彈性系數計算需要歷史數據的局限，筆者模型驗證僅參考國內城市地鐵各項參數的算例分析，并未進行實際測算。下一步研究分析將從這兩方面入手，以求構建更準確的地鐵分時票價優化模型。