轉動慣量測試儀的設計

謝 亮，張進治，安艷偉，鐵小勻

(北方工業大學 理學院，北京100144)

轉動慣量是剛體繞定軸轉動時轉動慣性大小的量度，是剛體運動學中重要的物理量，而且在機械制造、軍事航空、船舶建造等領域都有所涉及，因而，轉動慣量的計算與測量一直是大學物理教學與實驗中必不可少的內容[1－2].對形狀規則、質量均勻分布的剛體轉動慣量可直接計算得到，但是對于形狀不規則、質量非均勻分布的剛體，其轉動慣量只能通過實驗測量得到.目前常用的實驗測量方法主要有：三線擺法、扭擺法、復擺法等[3－5].經過分析發現，這些方法有的測量速度較慢，有的實驗原理與轉動慣量的理論原理聯系不緊密，有的測量手段較陳舊，學生難以學到現代的測量技術.近年，由于計算機技術與單片機技術的發展，一些新的測量方法得以出現[6－7].受此啟發，筆者根據復擺測量轉動慣量的原理，設計了測量不規則剛體轉動慣量的裝置，加入了現代化的測量手段，具有測量方便、速度快、實驗原理與理論聯系密切、智能化程度高等優點.

1 裝置的測量思路

本文介紹的轉動慣量測試儀利用平行軸定理進行測量，即剛體繞某個轉軸的轉動慣量J等于剛體繞過質心平行于該軸的轉動慣量Jc加上剛體質量m乘以兩軸間距離d的平方.故剛體繞通過其質心且平行于已知轉軸的轉動慣量為Jc＝J－md2.

2 實驗裝置結構

實驗裝置結構如圖1所示.2個同廠家同型號的廢舊物理天平的底座平行放置，底座上方的刀口處安置水平轉軸；長方體的轉動慣量架與物理天平游碼標尺支架固定在一起，其中心的圓孔穿過轉軸使得整個轉動慣量架可繞轉軸自由擺動，摩擦較??；對射式光電計數器可以測量裝置的擺動周期，測量精度為0.001s，10個擺動周期計數1次；傾角傳感器可以測量轉動慣量架相對于水平面的傾角，測量精度為0.01°；壓力傳感器安裝于長方體轉動慣量架的一個棱邊的中央，如圖1所示，可以測量施加給轉動慣量架的壓力F，測量精度為0.01g.該壓力傳感器為電阻應變式傳感器，只要對其施加壓力，其懸臂會發生形變導致其阻值發生變化，阻值的變化量經由電橋電路轉化為電壓信號，電壓信號經過輸出并放大，經由單片機轉換成數字信號并乘以對應的轉化系數，即可得到壓力的實際大小，其具體數值可由液晶顯示器顯示.故給轉動慣量架施加壓力F時，只要用手指給壓力傳感器施加外力即可.測量得到的周期、角度、壓力的具體數據經51單片機收集由LCD1602液晶顯示屏顯示.

測量時首先測出轉動慣量架空載時繞水平轉軸的轉動慣量J1，再將被測剛體放入轉動慣量架內，測出剛體的重心位置Zc以及總轉動慣量J2，根據平行軸定理即可得到剛體繞通過其重心且平行于水平轉軸的轉動慣量Jc.需要說明的是，J1，J2和Jc的具體測量結果都經過單片機處理并由液晶顯示屏顯示.

圖1 實驗裝置結構圖

3 測量原理

實驗裝置測量原理圖如圖2所示，H為轉動慣量架的高度，D為轉動慣量架的重心位置，ZD為轉動慣量架重心距基線的高度，C為剛體的重心位置，ZC為剛體重心距基線的高度，a為F的作用點至轉軸的距離.

3.1 剛體重力的測量

為了提高測量精度，采用2個稱重傳感器進行測量.若剛體的重力為GC，2個稱重傳感器測出的值為G1和G2，則：GC＝G1＋G2.

3.2 剛體Z方向重心位置的測量

首先不放剛體.調節物理天平底座上的水準儀使儀器處于水平位置，并使得轉軸3處于水平位置，調節平衡螺母使得轉動慣量架左右對稱，傾角傳感器示數為零.讓轉動慣量架在外力F1的作用下發生微小偏轉，偏轉角為θ1，轉動慣量架的重力為GD.由力矩平衡原理可知F1acosθ1＝GD(H－ZD)sinθ1，得到轉動慣量架重心距底基線的高度ZD為

圖2 實驗裝置測量原理圖

將剛體放入轉動慣量架內.為提高測量精度，轉動慣量架底部設有剛體定位裝置(4個對稱放置的輕質雙面吸盤)，確保剛體在轉動慣量架內不會晃動.為保證轉動慣量架偏轉角為零，需要再次調節轉動慣量架上的平衡螺母，必要時可以通過調節吸盤的位置來調整剛體重心的具體位置，使得傾角傳感器示數為零.給轉動慣量架施加外力F2使其發生微小偏轉，偏轉角為θ2，根據力矩平衡原理可得剛體Z方向重心位置為

其中，GD為轉動慣量架的重力，GC為剛體的重力，H為轉動慣量架的高度.

3.3 剛體轉動慣量的測量

對于轉動慣量架，由復擺的擺動方程

得到擺動周期

若測得轉動慣量架的擺動周期即可得到轉動慣量架的轉動慣量為

放入剛體后整個擺動系統的轉動慣量為J2，擺動周期可表示為

整個擺動系統的轉動慣量為

剛體繞通過其重心轉軸的轉動慣量為JC，根據平行軸定理得：

4 實際測量舉例

測量轉動慣量架的轉動慣量數據如表1所示，其中H＝244.76mm，GD＝1733.2g，a＝120.51mm.

表1 轉動慣量架的測量數據

對ZD和T1進行了5次測量，每次的測量條件不同，屬于不等精度測量.所以，ZD的最終結果應該用加權平均法來計算.設每次測量值為ZD1，ZD2，ZD3，ZD4和ZD5，其對應的權分別為P1，P2，P3，P4和P5.我們認為如同不確定傳遞公式符合標準偏差傳遞公式一樣，實驗結果用不確定度評定后，加權平均法仍然適用，只需在加權平均公式中將標準偏差換為不確定度即可[8－10].首先需要計算測量值ZDi的不確定度.由式(1)可知ZDi是間接測量量，其不確定度取決于測量值H，F1，a，GD和θ1.于是，根據間接測量量的不確定度公式

可求得ZDi的不確定度UZDi，取權，則ZD的加權平均值為

加權不確定度為

為了驗證該裝置測量數據的準確性，測量了鋁制圓柱體繞其中心軸的轉動慣量，圓柱體的質量m＝1.3572kg，半徑R＝40.00mm，長L＝100.00mm.測得數據如表2所示.

表2 鋁制圓柱形剛體的測量數據

同樣對于ZC和T2進行5次測量，也屬于不等精度測量.根據(7)～(8)公式計算得到，ZC的加權平均值為將代入式(4)得到整個轉動系統繞O點的轉動慣量將J2，J1和J′代入式(5)可得鋁制圓柱體繞其中心軸的轉動慣量為JC＝1.105×10－3kg·m2.

根據質量均勻分布的圓柱形剛體繞重心轉軸的轉動慣量計算公式可得到JC的理論值：

于是，測量結果的相對偏差為

5 結束語

根據復擺測量轉動慣量的原理，設計了測量不規則剛體轉動慣量的裝置，采用了傳感器測量技術(比如壓力傳感器、對射式光電計數器、傾角傳感器等)，具有測量方便、速度快、實驗原理與理論聯系密切、智能化程度高等優點.該裝置充分利用了物理天平的底座和游碼標尺支架，設計巧妙.

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