工件質量和位置對單面立式平衡機測量誤差的影響

王秋曉 王德全 譚 健 付曉艷 張光艷

重慶大學機械工程學院，重慶，400044

0 引言

不平衡問題是旋轉機械存在的重要問題之一，給機械帶來振動、噪聲和部件疲勞破壞等不利影響。要對旋轉機械的不平衡量進行檢測，必須用到動平衡機。轉子的平衡質量受平衡機檢測精度控制，而擺架結構是決定其檢測精度的關鍵，因此有必要對擺架結構進行研究。

動平衡機按擺架結構可分為單面立式平衡機、雙面立式平衡機、雙面臥式平衡機[1-3]。雙面臥式平衡機目前普遍采用的測量算法是ABC法，該算法提出，轉子不平衡量只與擺架結構有關，只需知道支承到校正平面的距離，即可實現永久標定。事實上，ABC法建立在單自由度的平動系統上，忽略了扭擺效應帶來的誤差，標定誤差較大。雙面立式平衡機的測量方法與ABC法類似，相較于臥式平衡機，它還存在靜偶分離效果不佳的問題。為此，文獻[4]采用傳統的靜力學處理方法分析造成分離效果不佳的原因為擺架的扭轉因素，并提出若要提高擺架靜偶分離效果需提高扭轉剛度與平動剛度的比值；而且該文未提出扭轉剛度是變量的觀點。文獻[5-6]為實現擺架的靜偶分離，對擺架結構進行了改進，并設計出靜偶分離式擺架結構以消除偶動對平動的影響，實驗證明這種擺架的靜偶分離效果明顯。

對于單面立式平衡機，目前企業普遍采用的結構仍是傳統的擺架結構，多采用三點法或影響系數法進行永久標定。通過施加試重，得到傳感器的振動響應值，將試重引起的不平衡力與傳感器的振動相應的比值作為傳感器的比例系數，以實現永久標定。改進后的測量方法中大部分都建立在三點法或影響系數法基礎上[7-9]，雖然在一定程度上提高了測量精度，但是誤差依然很大。國內外也有學者嘗試在轉子上添加主動平衡裝置來實現動平衡。這種主動平衡裝置也被稱為平衡頭，常見的有電磁式[10-11]、噴液式[12]和滾珠式[13-15]3種。雖然這3種平衡頭能自動測量不平衡量和不平衡角度，但是結構復雜且質量較大。在平衡過程中，雖然抵消了工件的不平衡力，但是由于平衡頭的校正位置不在工件校正平面上，因此增大了不平衡力偶，從而影響測量的精度。

筆者發現當對單面立式平衡機進行永久標定時，工件質量或者位置變化會帶來較大的標定誤差，因此，有必要對誤差來源進行探究。在力學分析上，以往的文獻絕大多數將單面平衡機擺架視作單自由度的平動系統，很少從扭轉的角度分析擺架結構以及誤差來源。因此，本文以盤類轉子為研究對象，從平衡機的擺架結構出發，分析扭擺效應對標定誤差的影響。

1 單面立式平衡機振動特性分析

1.1 振動系統的運動學方程

圖1單面立式平衡機擺架簡圖Fig.1 Swing frame diagram of single-plane vertical dynamic balancing machine

圖1為單面立式平衡機的擺架結構。擺架結構主要由擺架座、簧板、轉子支承、主軸、工件、傳感器組成，l、b、h分別為簧板的長、寬、高。電機經皮帶輪帶動主軸旋轉，安裝有主軸的擺架用兩個平行簧板支承。工件通過夾具與法蘭安裝到主軸上。當主軸和工件以一定角速度旋轉時，工件上的不平衡量引起的振動通過轉子支承傳遞給簧板，并由壓電式振動加速度傳感器檢測不平衡振動。

整個擺架系統可處理成二自由度的振動系統，如圖2所示。主軸在不平衡作用下發生偏移和擺動，O、C分別為偏擺前后的主軸質心，以O為原點建立坐標系OXYZ。不平衡質量為m0，工件質量為m，半徑為r，主軸質量為M，主軸轉速為ω，將工件和主軸視為同一轉子，不平衡量U0到轉子質心的距離為H。整個擺架系統可以等效為隨質心C在Y軸方向上的平動和繞質心C的擺動，故轉子旋轉軸線上必存在一個不動點，把該點稱為系統的振動中心[16]，記為O1。θ為轉子繞質心的扭轉角度。設簧板對支承轉子的垂直剛度為K′，由于K′很大，故不計支承轉子在垂直方向對簧板的影響。與此同時，考慮到扭轉角θ很小，因此不平衡力F在Z方向的分量可忽略不計。不考慮系統阻尼，系統的運動微分方程為

(1)

式中，y為轉子質心C在Y軸方向的位移；K1為簧板的平動剛度；IX為轉子相對X軸的慣性矩；b0為傳感器到轉子質心的距離；F為工件不平衡量U0引起的離心力，F=ω2U0cosωt。

圖2 擺架原理圖Fig.2 Schematic diagram of swing frame

(2)

利用式(2)求得y和θ：

(3)

1.2 系統振動中心的確定

在圖2所示的擺架圖中，設L為系統振動中心到轉子質心的距離，由于扭轉角度θ很小，所以θ≈tanθ。系統振動中心位置為

(4)

其中，系統振動中心的位置L是ωθ、ωY、K1、b0、M、IX、ω、m、H的函數，對于給定的轉子-支承系統而言，ωθ、ωY、K1、b0、M、IX都是定值。因此，振動中心的位置只與工作轉速ω、工件質量m和工件位置H有關。假設ωθ、ωY、K1、b0、M、IX、m、ω、H的值已經給定，如表1所示。

表1 系統參數設定

振動中心位置與平衡轉速ω、工件位置H以及工件主軸質量比m/M的關系分別見圖3、圖4和圖5。由此可知，振動中心位置隨轉子轉速增大而增大，隨工件位置以及工件主軸質量比的增大而減小。

圖3 振動中心位置與平衡轉速的關系Fig.3 Vibration center position and rotor speed

圖4 振動中心位置與軸向不平衡位置的關系Fig.4 Vibration center position and axial unbalanced position

圖5 振動中心位置與工件主軸質量比m/M的關系Fig.5 Vibration center position and mass ratio m/M

2 單個簧板繞振動中心的扭轉剛度分析

當系統的振動中心確定時，簧板作扭轉時的扭轉中心為振動中心，而非簧板質心，此時簧板處于約束扭轉狀態。對于矩形截面桿件，因約束扭轉產生的正應力很小，與自由扭轉并無太大差別[17]，這里以自由扭轉狀態來簡化模型。單個簧板繞振動中心的扭轉示意圖見圖6。設簧板截面中心為G，繞系統振動中心的扭轉角為θ，簧板截面初始位置相對于振動中心初始位置的坐標為(Y1,Z1)，簧板上截面所受的力和扭矩可等效為F0和M0，分別求出簧板在F0或M0作用下的繞振動中心的扭轉剛度。

圖6 單簧板扭轉受力圖Fig.6 Torsion forces on spring plate

圖7 F0作用下簧板截面位移圖Fig.7 Displacement of spring plate under F0

圖7為簧板在力F0作用下彎曲變形時截面的位移圖。設簧板質心G在F0作用下的位移為H0，由于θ很小，可近似認為F0的方向與O1G垂直，則扭轉剛度K21可表述為

(5)

(6)

θ≈ tanθ=H0/|O1G|

(7)

設O1G與Z方向的夾角為β，將力F0分解為Y方向的力F1和Z方向的力F2，設簧板截面在F1、F2作用下的位移分別為Δl1和Δl2。簧板在F1作用下的變形量Δl1如圖8所示。由于簧板上端面在移動的過程中保持水平，故在模型處理上將其視為上下反對稱的兩段懸臂梁結構，則F1作用下的變形量Δl1為

Δl1=2d

(8)

根據材料力學理論，懸臂梁的撓度d為

(9)

IZ=hb3/12

結合式(8)、式(9)，變形量Δl1可寫為

(10)

圖8 簧板彎曲變形圖Fig.8 Deformation of spring plate

同理可得矩形簧板在F2作用下的彎曲變形量為

(11)

綜合式(5)～式(7)、式(10)、式(11)，簧板在F0作用下的扭轉剛度K21為

(12)

在扭矩M0作用下，簧板的扭轉中心為截面中心，根據矩形截面桿的扭轉剛度公式可得到簧板的扭轉剛度K22為

(13)

式中，G為材料的切變模量；β1為與比值h/b有關的系數，當h/b>10時，β1取1/3。

根據式(12)、式(13)，簧板繞振動中心的扭轉剛度K2可表示為

(14)

圖9 扭轉剛度K2隨不同參數的變化Fig.9 Changing curves of the torsional stiffness with some parameters

由式(14)可知，扭轉剛度K2與簧板尺寸、簧板水平位置Y1和豎直位置Z1有關。K2與l、h、b、Z1、Y1的關系見圖9。很明顯，h、b、Z1、Y1越大或l越小，簧板的扭轉剛度越大。在設計平衡機擺架結構時，為了增加簧板的扭轉剛度，需要增大簧板的截面尺寸、減小簧板長度。另外，應使簧板遠離振動中心。

3 實驗與分析

3.1 工件質量對傳感器比例系數的影響

動平衡實驗裝置如圖10所示，主要由機械本體和電測裝置組成。在圖10a的機械本體中，簧板尺寸l、b、h分別為280 mm、6 mm、270 mm，所用工件均為動平衡處理后的標準工件，質量分別為3.5 kg、4 kg、4.5 kg、5 kg、5.5 kg、6 kg，試重實測質量為9.98 g、20.02 g、30.01 g、39.97 g(見圖11)，轉子平衡轉速為782 r/min，加重半徑為80 mm。圖10b所示的電測裝置采用上下位機相連的方式，以實現信號的傳遞和顯示。

圖10 實驗裝置Fig.10 Experimental devices

圖11 試重Fig.11 Test weights

對不同工件下的初始振動進行20次重復測量并取平均值R0，結果分別為：11.65 mV、13.80 mV、13.14 mV、12.74 mV、12.93 mV、14.21 mV。表2為不同試重下的傳感器示數，9.98 g試重產生的不平衡力為

表2 不同工件質量下傳感器示數R

工件質量為3.5 kg時對應的傳感器的比例系數為

各工件質量下的傳感器比例系數對應圖12中的散點，采用三次曲線對散點進行擬合，其在各測試點的相對誤差均小于3%,表達式為

PS=4.908+0.109m-0.023m2-0.003m3

(15)

可以看出，當試重質量不變時，振動傳感器的比例系數隨工件質量的增大呈非線性下降趨勢，而非定值。比例系數作為傳感器的固有參數，不應隨外界變化而變化，因此永久標定式的單面立式平衡機在測量方法上是存在較大誤差的。其原因在于，隨著工件質量的增大，振動中心向系統質心移動，系統的扭轉效應加強，傳感器示數隨之增大，從而比例系數減小。

圖12 傳感器比例系數隨工件質量的變化曲線Fig.12 Proportional coefficients and workpiece masses

3.2 工件位置對傳感器比例系數的影響

實驗采用的工件質量為3.5 kg，所用夾具見圖13，通過改變調整塊的高度來調整工件位置，工件由低到高均勻設有位置1,2,…,6，相鄰位置間距為20 mm。表3所示為不同工件位置下的傳感器讀數。圖14所示為傳感器比例系數及擬合曲線(三次曲線)。擬合曲線在各測試點的相對誤差均小于2%，表達式為

PS=5.031 + 0.133i- 0.010i2- 0.001i3

(16)

式中，i為工件的位置編號。

不難看出，傳感器比例系數隨工件位置的上升呈非線性下降趨勢。根據理論分析可知，工件位置上升，振動中心接近系統質心，導致簧板的扭轉剛度降低，使得系統的扭轉效應增強。因此，工件位置變化也會對扭轉效應產生影響。同時，系統的扭轉效應隨工件位置變化呈非線性變化規律。因此，工件位置變化也會帶來較大的測量誤差。

圖13 夾具Fig.13 Fixture diagram

試重(g)傳感器示數(mV)位置1位置2位置3位置4位置5位置69.981 092.611 132.551 180.301 251.901 328.281 452.9020.022 187.052 267.052 350.712 494.332 671.172 883.0830.013 278.323 400.923 540.983 756.873985.274 356.6639.974 377.454 534.454 725.505 005.325 310.375 815.21

圖14 傳感器比例系數隨工件位置的變化曲線Fig.14 Proportional coefficients and workpiece positions

3.3 簧板扭轉剛度驗證

以擬合曲線上各測量點所對應的值為實驗值，當工件質量為3.5 kg、試重質量為30.01 g時，傳感器讀數為R1=3 277.35 mV，傳感器的比例系數為PS=4.879 1×10-3。簧板扭轉剛度的實驗值K′2由下式求得

(17)

代入數值，得到K′2=4.556 578 118×105N·m/rad。

圖15中的兩條曲線分別對應簧板的實驗扭轉剛度值和理論扭轉剛度值。可以看出，理論扭轉剛度和實驗扭轉剛度隨工件質量的增大呈非線性減小規律。當工件質量為3.5 kg時，誤差率ε最大，為9.02%，說明用扭轉剛度公式估計實驗扭轉剛度是較為合理的。

圖15 理論扭轉剛度曲線與實驗扭轉剛度曲線Fig.15 Theoretical torsional stiffness and experimental torsional stiffness

3.4 永久標定誤差分析

對表2和表3的數據做進一步處理，分別得到表4和表5。表4中：①為表2中根據傳感器的初始振動和9.98 g試重時的振動信號計算的在不同工件質量的影響系數；②為由影響系數和初始振動計算的初始不平衡量；③為由影響系數和39.97 g試重時的振動信號計算的不平衡量；④為計算得到的不平衡量與已知不平衡量的誤差率；⑤⑥、⑦⑧、⑨⑩分別為按3.5 kg、4 kg、4.5 kg工件永久標定時其他工件質量的不平衡量，以及不平衡量與已知不平衡量的誤差率。表5編號與表4類似。

表4和表5表明，按不同的工件質量或工件位置標定，誤差較小，最大誤差率為1.51%，測量精度較高；按同一工件質量或工件位置進行永久標定，得到的不平衡量相較于已知不平衡量的測量誤差較大，最大值為34.41%，且標定質量與測試質量、標定位置與測試位置的差值越大，其測量誤差越大。因此，對于永久標定式的單面立式平衡機，因扭轉效應帶來的測量誤差不可忽略。

表4 不同工件質量下的標定分析

表5 不同工件位置下的標定分析

4 結論

(1)單面立式平衡機的測量方法存在較大誤差的主要原因是將擺架結構處理為單自由度的平動系統，忽略了擺架扭轉效應帶來的非線性變化。

(2)當處理成平動系統時，系統的振動中心理論上在轉子軸線上的無窮遠處，簧板的扭轉剛度近似為無窮大；考慮扭轉效應時，振動中心的位置及簧板的扭轉剛度是有一定范圍的。振動中心位置與轉子轉速、工件質量和工件位置有關。對于給定的轉子-支承系統，轉速越高、工件質量越大、工件位置越遠，振動中心越接近轉子質心。簧板的扭轉剛度與其尺寸位置有關，當位置一定時，振動中心距轉子質心越遠，簧板的扭轉剛度越大。

(3)工件質量和位置是影響扭轉效應的主要因素。扭轉效應的非線性體現為傳感器比例系數的非線性變化。工件質量越大、位置越遠，傳感器比例系數降低越快，擺架系統的扭轉效應越強。

(4)通過對工件質量、工件位置的永久標定誤差分析，發現工件質量、位置與標定點相差越大，測量誤差也越大。說明單面立式平衡機的測算方法以及擺架結構存在不合理性，這為優化測算方法和結構提供了依據。

(5)本文雖然指出了單面立式平衡機永久標定誤差主要來源，但是沒有提出一套針對扭轉效應的測量算法或擺架結構。目前課題組已經開展固定振動中心的單面擺架研究，以實現擺架扭轉和平動的分離，并取得了初步進展。