交流伺服系統分數階PID改進型自抗擾控制

王榮林 陸寶春 侯潤民 高 強 張 唯 朱 云 戴 煉

1.南京理工大學機械工程學院，南京，210094 2.南京理工大學泰州科技學院，泰州，225300 3.潤邦卡哥特科工業有限公司，蘇州，215000

0 引言

永磁同步電機(permanent magnet synchronous motor，PMSM)具有能量密度髙、轉動慣量小、過載能力強、功率因素高、結構簡單、運行可靠、易于控制等優點，廣泛應用于高性能、高精度伺服驅動領域，如炮控系統、雷達控制、數控機床、工業機器人等[1-3]。某火箭炮位置伺服系統采用PMSM作為驅動電機。PMSM是一個非線性、強耦合、多變量的復雜對象，同時，火箭炮位置伺服系統存在諸如齒輪間隙、摩擦力矩、慣性力矩、變負載以及在不同工況和外部環境變化下引起的系統參數時變等非線性因素，這些不可避免的非線性因素對提高火箭炮快速跟蹤、射擊精度等性能產生了嚴重影響，僅僅采用傳統PID控制器對該火箭炮位置伺服系統進行控制，已很難滿足系統的跟蹤精度高、魯棒性強等性能要求[4-6]。

近年來，隨著控制理論的不斷發展，國內外學者對PMSM交流伺服系統的控制方法進行了大量研究，提出了許多先進的控制策略，如滑模控制、魯棒控制、自適應控制、模糊控制、自抗擾控制、分數階控制等[7-10]。這些控制策略均有效地提升了PMSM交流伺服系統的控制性能。

為克服內外負載擾動對系統控制的性能影響，中國科學院韓京清研究員科研團隊于1999年系統地提出了自抗擾控制理論(active disturbance rejection control,ADRC)；該理論的核心思想是將被控系統未建模動態部分和內外擾動視為總擾動，以擴張狀態觀測器(extended state observer,ESO)為技術手段，對該總擾動進行實時在線估計，并加以有效補償[11]。文獻[5,12-13]將ADRC應用于炮控系統,有效提高了火炮的抗干擾能力和射擊精度；趙林峰等[14]將ADRC應用于自動泊車系統，提高了泊車精度并降低了泊車時間。

分數階微積分[15](fractional order calculus,FOC)將傳統的微積分階次拓寬到任意實數，具有無限維度、遺忘性記憶等優良特性；現有研究成果表明，分數階控制對外部擾動不敏感，能有效地描述被控系統的數學模型或其動態特性。文獻[16-20]將分數階控制應用于電液伺服系統、交流伺服系統以及汽車主動懸架系統等非線性控制系統，取得了優良的動靜態控制性能。

盡管ADRC具有良好的控制性能，但需要設定的參數較多，計算量大，它優越的控制性能是建立在數十個參數合理設置的基礎之上，這嚴重制約了ADRC推廣應用。為了便于使用ADRC和提高某火箭炮位置伺服系統的動靜態控制性能，本文結合ADRC抗內外擾動能力強和FOPID動態特性好的優良特性，設計了一種分數階PID改進型自抗擾控制器(FOPID-IADRC)，同時，引入向量粒子群(particle swarm optimization，PSO)算法實時在線整定FOPID的5個控制參數。

1 伺服系統構成及數學建模

1.1 伺服系統構成

某火箭炮交流位置伺服系統，由隨動計算機、火控計算機、D/A轉換器、伺服放大器、PMSM交流伺服系統、旋轉變壓器、RDC模塊等部件組成，結構圖見圖1。

圖1 交流伺服系統結構圖Fig.1 The structure diagram of AC servo system

該火箭炮交流伺服系統性能指標要求如下。

(1)高低射角范圍為0°～48°；

(2)靜態誤差范圍為-0.06°～0.06°(-1 mil～1 mil)；

(3)動態誤差范圍為-0.216°～0.216°(-3.6 mil～3.6 mil)；

(4)火箭炮由0°調轉至48°的時間不超過8 s。

火控系統經過彈道解算單元計算出火箭炮方向和高低目標角度后，發送至隨動計算機；隨動計算機根據火箭炮實際位置值和給定目標值，通過相關控制算法實時計算出當前系統控制值；當前系統控制值經D/A轉換模塊處理，輸入伺服放大器隔離放大，再輸入交流調速系統；交流變頻伺服控制器根據輸入的控制量大小，通過速度反饋來自動調節PMSM電機的轉速；最后，PMSM電機經減速器減速后，將機械動力傳遞至模擬負載。模擬負載的實際位置信號，經旋轉變壓器和RDC模塊實時檢測轉換，反饋給隨動計算機形成閉環，從而實現火箭炮炮控系統的隨動控制。

1.2 伺服系統數學建模

某火箭炮交流位置伺服系統原理框圖見圖2。本文主要研究如何抑制參數攝動、變負載等非線性因素的影響，以提高被控系統的控制性能。所以，對PMSM電機進行數學建模作下列假設：①氣隙磁場分布均勻，感應反電動勢曲線為正弦波狀；②忽略飽和效應；③勵磁電流無動態響應；④磁滯和渦流損失忽略不計；⑤轉子無勵磁繞組等。

圖2 交流伺服系統框圖Fig.2 Block diagram of AC servo system

圖2中，θr(t)為參考目標輸入值；θo(t)為實際目標輸出值；u(t)為控制電壓輸入值；L為電機的電樞回路電感值；R為電機的回路電阻值；Td為電機的電磁轉矩；Tf為電機的摩擦力矩擾動；TL為電機的負載擾動力矩；B為電機的黏性摩擦系數；J為作用在電機轉軸上的等效轉動慣量值；ωd為電機的角速度；i為減速器的傳動減速比；Ka為增益系數；Kd為電機的力矩常數；Ee為電機的反電動勢；Ce為電機的反電動勢常數。

電流控制環的響應速度遠遠高于速度控制環與位置控制環的響應速度，并且電流時間常數遠遠小于機械時間常數。所以，通常將電流控制環近似為比例環節，其數學模型為

(1)

電機的電磁轉矩方程如下：

(2)

由電機的轉矩平衡方程可知：

(3)

將式(2)代入式(3)，可得

(4)

由式(4)，可得

(5)

(6)

其中，f(x)為非線性動力學方程；g為控制增益量；d(t)為外部擾動部分，且|d(t)|≤C，C為常值。

2 ADRC概述

ADRC主要由非線性跟蹤微分器(nonlinear tracking differentiator,NTD)、擴張狀態觀測器(extended state observer,ESO)和非線性狀態誤差反饋控制規律(nonlinear state error feedback,NLSEF)三部分組成，其基本結構圖見圖3。ADRC充分吸取傳統PID技術的精華，利用NTD合理安排過渡過程，有效避免了系統跟蹤時快速性和超調之間的矛盾；作為ADRC的核心部分，ESO有效解決了主動抗擾技術中的內外擾動觀測和補償的問題；為了避免系統出現高頻振蕩，NLSEF將誤差微分、誤差、誤差積分3種信號進行非線性組合，較好地提高了系統的魯棒性。

圖3 ADRC基本結構圖Fig.3 Diagram of ADRC basic structure

圖3中,yd(t)為系統參考輸入，y(t)為系統實際輸出，n(t)為系統外擾信號。

2.1 NTD

作為ADRC的重要組成部分，NTD主要為控制系統提取連續信號和微分信號，從而能較好地實現無超調狀態下快速跟蹤參考輸入信號；在參考輸入信號突變時，抑制其快速波動。

(7)

(8)

y(k)=x1(k)+hx2(k)

2.2 ESO

e(k)=z1(k)-y(k)

(9)

z1(k+1)=z1(k)-h[z2(k)-β01e(k)]

z3(k+1)=z3(k)-hβ03fal(e(k),α2,δ0)

式中，α1、α2為ADRC的非線性因子；β01、β02、β03為系統誤差校正增益；δ0為ESO的平滑濾波因子。

非線性函數fal(e(k),α,δ)的表達式如下：

(10)

當偏差e(k)小時，增益大；反之，當偏差e(k)大時，增益小。這種不平滑特性，在系統響應時極易引起顫振的現象[12]。為了避免產生顫振的問題，引入非線性函數nfal(e(k),c,b,γ)替代fal(e(k),α,δ)：

(11)

μ0=arctan(c(0-γ))

式中，c為控制nfal(·)形狀的參數；b控制nfal(·)曲線取值的范圍；γ控制nfal(·)曲線中心的位置。

改進后ESO的離散方程：

e(k)=z1(k)-y(k)

(12)

z1(k+1)=z1(k)+h(z2(k)-β01e(k))

z3(k+1)=z3(k)-hβ03nfal(e(k),c2,b2,γ2)

式中，b0為補償因子；c1、c2、b1、b2、γ1、γ2、β01、β02和β03均為ESO狀態觀測器的控制參數。

2.3 NLSEF

利用NTD和ESO可以得到過渡過程的誤差信號e1(k)、誤差微分信號e2(k)，從而計算出誤差積分信號e0(k)。NLSEF可將誤差微分、誤差、誤差積分3種信號進行非線性控制組合。圖3所示的NLSEF離散方程如下：

(13)

式中，β1、β2為誤差比例增益參數。

3 分數階PID改進型自抗擾控制器

3.1 分數階PID定義

(14)

在零初值條件下，對式(14)進行Laplace變換：

(15)

傳統的PID控制器：

uo(t)=kPe1(t)+kIe0(t)+kDe2(t)

(16)

引入FOC，分數階PIλDμ控制器可設計為

uo(t)=kPe1(t)+kID-λe0(t)+kDDμe2(t)

(17)

式中，kP、kI、kD分別為比例參數、積分參數和微分參數；λ為積分階次；μ為微分階次。

3.2 分數階PID改進型自抗擾控制器

為了減少控制器參數設定計算量及提高所研究系統的動態控制性能，結合ADRC抗內外擾動能力強和FOPID動態性能好的優點，設計了一種分數階PID改進型自抗擾控制器(FOPID-IADRC)。該控制器將NLSEF替換為FOPID；通過PSO算法[6，21]在線整定FOPID 5個控制參數。FOPID-IADRC控制器結構如圖4所示。

圖4 分數階PID改進型自抗擾控制器結構圖Fig.4 The structure diagram of FOPID-IADRC

將FOPID的5個控制參數定義為PSO的一個粒子。每個粒子和粒子群如下：

p(i)=[kPkIkDλμ]

(18)

PM=[p(1)p(2) …p(M)]

(19)

i=1,2,…,M

式中，M為粒子群的總數。

粒子在空間中飛行，其速度根據最佳位置Pbest和全局極值gbest不斷地動態調整，最后，求出最優解。每個粒子的速度更新和位置更新公式如下：

vid(i+1)=ωvid(i)+c1rand(·)[Pbest-xid(i)]+
c2rand(·)[gbest-xid(i)]

(20)

xid(i+1)=xid(i)+vid(i)

(21)

式中，vid(i)為當前粒子速度；vid(i+1)為更新粒子速度；xid(i)為當前粒子位置；xid(i+1)為更新粒子位置；ω為慣性權重；rand(·)為0到1的隨機數；c1為局部學習因子；c2為全局學習因子。

每個粒子由目標函數的適應度值確定。為了避免較大的控制能量和超調量，適應度函數定義為

(22)

式中，ω1、ω2、ω3為權重，ω3?ω1，通常，ω1=0.999，ω2=0.001，ω3=100。

3.3 PSO-FOPID實現流程

(1)初始化。設定FOPID和PSO的參數，隨機產生粒子群初始位置和速度，計算粒子群個體最優解和全局最優解。

(2)個體評價。由式(20)、式(21)和式(22)求出每個粒子新的適應度值。

(3)更新粒子。比較粒子當前適應度值與種群的個體最優解Pbest和全局最優解gbest，更新粒子位置和速度。

(4) 輸出最優解。結束條件設定為尋優達到最大進化代數，若滿足,則結束尋優并輸出全局最優解；若不能滿足，則轉至(2)。

4 仿真及半實物臺架實驗

4.1 仿真實驗

為驗證本文所設計控制器的有效性，首先利用MATLAB/Simulink進行仿真實驗。交流伺服系統的相關主要參數為：黏性摩擦系數B=1.43×10-4N·m·s/rad；減速比i=1 039；等效轉動慣量J=5.556×10-3kg·m2；電機轉矩系數Kd=0.195 N·m/A；負載擾動力矩TL=9.32×103kg·m2；反電動勢系數Ce=0.195 V·s/rad；摩擦力矩擾動Tf=850 kg·m2。

參照文獻[14] 調試ADRC控制器設定最佳參數的方法，通過大量搜尋試驗，將FOPID-IADRC參數設定至合理值附近，縮小了粒子群優化方法實際參數的搜索空間，便于后續采用實時在線微調，防止振蕩現象的產生。本文所設計的FOPID-IADRC控制器參數設置如下。NTD參數：h=0.01,h0=0.1,r=1000；ESO參數：c1=0.5,c2=0.5,b1=2.1,b2=2.0,γ1=0.01,γ2=0.01,β01=1,β02=15.8,β03=318.5,b0=526.5；FOPID參數：λ=0.35，μ=1.2，kP=2.6，kI=0.04，kD=0.95；PSO參數：c1=c2=2,M=30。數值仿真如圖5、圖6所示。

圖5 帶負載干擾時階躍輸入系統響應曲線Fig.5 Step response curves with load disturbance

圖6 階躍動態響應曲線Fig.6 Step dynamic response curves

圖5所示為系統在4 s時刻加載300 N·m階躍干擾負載,對比分析ADRC控制器和FOPID-IADRC控制器的階躍響應曲線。由圖5可知，采用ADRC和FOPID-IADRC控制器分別進行實驗，兩者結果均無超調，FOPID-IADRC控制器階躍響應速度較ADRC控制器有所提高。當負載端出現階躍負載干擾時，FOPID-IADRC控制器僅需0.059 s就能恢復到參考輸入目標位置，其響應曲線的最大誤差值僅為0.48°；而ADRC控制器需要0.092 s才能恢復到參考輸入目標位置，且其響應曲線的誤差極值高達0.63°。仿真結果表明，FOPID-IADRC控制器較ADRC控制器在響應速度和魯棒性等方面有較大提升。

如圖6所示，當系統參數不確定且外部干擾出現時，ADRC控制器的跟蹤誤差極值是0.199°，而FOPID-IADRC控制器的跟蹤誤差極值為0.053°,該值僅為ADRC跟蹤誤差極值的26.6%。仿真結果表明，通過在線PSO算法可以快速地抑制各種不確定性的影響,FOPID-IADRC控制器具有較強的抗干擾能力和良好的動態性能。

4.2 半實物臺架實驗

為驗證本文提出的FOPID-IADRC控制策略的有效性和可行性，搭建了火炮交流位置伺服系統的半實物仿真試驗臺，并在該平臺上進行了諧波跟蹤試驗測試，并與 ADRC控制器試驗結果進行了比較。半實物試驗臺結構和實物圖見圖7。

圖7 半實物仿真試驗臺Fig.7 Test bench of semi-physical simulation

半實物試驗臺主要由基礎臺架、控制計算機、伺服控制系統、機械傳動系統、模擬加載系統、測量系統等組成。相關核心元件選型如下：旋轉變壓器型號為J70XFS011，精度可達0.006°(0.1 mil)；RDC模塊選用雙通道解碼模塊MXSZ16-415，其分辨率高達16位；電機選用美國科爾摩根公司B-602型電機，其額定功率為2.8 kW,最高轉速為4 000 r/min，最大理論加速度高達38 500 rad/s2。

半實物仿真試驗臺工作原理如下：控制計算機將目標信號輸入給伺服控制系統后，伺服控制系統驅動電機，通過精密減速裝置傳遞機械動力實現負載的調轉；負載轉角位置信息由傳感檢測裝置實時反饋至控制計算機，形成內部閉環控制。加載裝置主要由磁粉制動器和轉動慣量盤組成，分別用來模擬實際工況下火控系統的摩擦阻力矩和轉動慣量；傳感器采集相關性能參數，通過數據采集系統傳送給控制計算機，實現火炮隨動系統的位置控制。

圖8 正弦跟蹤誤差曲線Fig.8 Sinusoidal tracking error curves

根據火箭炮交流伺服系統性能指標要求，確定頻率0.265 6 Hz、幅值±30°的正弦信號為跟蹤信號，并在半實物仿真平臺上進行了跟蹤試驗。由圖8可知，ADRC控制器和FOPID-IADRC控制器的最大正弦跟蹤誤差分別約為0.186°和0.115°，二者都能夠滿足系統設計要求的動態誤差指標±0.216°(±3.6 mil，360°=6 000 mil)；FOPID-IADRC控制器的最大正弦跟蹤誤差明顯小于ADRC控制器的相應值。由以上分析可知，FOPID-IADRC控制器的系統性能明顯優于ADRC控制器的系統性能。

5 結論

本文建立了某火箭炮交流位置伺服系統的數學模型，提出了一種分數階PID改進型自抗擾控制器；利用PSO算法，減少自抗擾控制器參數計算量，完成FOPID參數的在線自整定。

(1) 由數值仿真實驗可知，在4 s時刻負載端加載300 N·m階躍干擾信號，FOPID-IADRC控制器的最大偏差量為0.053°，僅為ADRC控制器相應值的76.2%；ADRC控制器需要0.092 s恢復至目標位置，而FOPID-IADRC控制器相應值只有0.059 s。當系統參數不確定且外部干擾出現時，ADRC控制器的跟蹤誤差高達FOPID-IADRC控制器的3.75倍。

(2) 由半實物仿真平臺實驗可知，當控制系統跟蹤頻率0.2656Hz、幅值±30°的正弦信號時，FOPID-IADRC控制器的最大正弦跟蹤誤差為0.115°，僅為ADRC控制器相應跟蹤誤差值的61.8%。

本文所設計的FOPID-IADRC控制器動靜態控制性能好、抗負載干擾能力強，能夠滿足火箭炮交流位置伺服系統的控制性能要求。