在數學說理中培育學生推理能力

朱榮武

摘? ? 要?數學說理作為一種運用數學語言進行邏輯表達的過程，既是推理思維物化外顯的主要形式，又是發展兒童推理能力的應然路徑。用準確的數學文字語言、直觀的圖形語言、形式化的符號語言，以及多種語言形式的互通互譯來表征推理過程，是教學的務實之舉。

關鍵詞數學說理 數學語言 推理能力 數學素養

維科斯基在《思維與語言》中指出：“思維發展受制于語言。思維發展是由思維的語言工具和兒童的社會文化經歷所決定的。”[1]林崇德在其《發展心理學》中指出：“言語在小學生的基本思維過程的發展中起著重要的作用，它使其思維的深刻性、廣闊性、批判性、自我監控的水平獲得迅速發展。”[2]可見，語言的工具性和言語的過程性共同影響著兒童的思維。數學說理就是以數學知識或生活常識為依據，用數學語言工具（文字語言、符號語言和圖形語言）加工并合乎邏輯地表達思維、說明發現、解釋結論的過程。這一過程兼具語言的工具性和言語的過程性，因而對兒童數學思維能力的發展影響深遠。

推理是兒童數學學習的一種基本思維方式，推理能力是構成個體數學素養的基本要素。從兒童數學推理思維的內容和形式看，數學推理能力的培育本質上就是要提高其數學說理能力。然而數學說理由于教學的時間成本較大，在教學實踐中并未得到應有的重視。本文從小學數學說理的角度談談自己的思考和具體做法。

一、應用文字語言準確表達推理過程

小學生的推理思維活動，大都是以內隱的方式，無聲地進行的，屬于一種內部數學語言加工，具有自悟性、跳躍性、模糊性等特點，清晰度、條理性、系統性不足。引導學生用文字語言表達推理過程，不僅能再現原有思維過程，還能實現思維的再加工，讓原有思維獲得新的發展，同時結構化的語言組織還能讓學生真切體會推理思維的魅力。

2.用文字語言解釋說理

清晰、條理、有理有據地表達思維過程是推理能力發展的外在體現，也是培養學生推理能力的基本要求。比如在學生初步得到分數基本性質的猜想內容后，可以引導學生根據除法中商不變的規律和分數與除法的關系來解釋說明（不是嚴格證明）分數的基本性質，通過類比推理獲得對分數基本性質的深刻理解和認同。其間，既要關注語言表達的有序性訓練：表述商不變的規律—闡述分數與除法的關系—表達推論，還要關注內部邏輯的聯想體驗：商不變規律是正確的—分數與除法的關系也是正確的—那么分數的基本性質也應該是正確的。再比如學習“30×2”“400×3”等整十整百數乘一位數的口算時，學生幾乎人人都能掌握算法，但卻解釋不清算理，最多也只是局限于形式上的推演。這時要先引導學生借助直觀說理：30就是3個十，要擺3捆小棒。乘2，就要擺出2個3捆小棒，也就是6捆小棒即6個十，也就是60根小棒。在此基礎上訓練學生用三句話說理：30就是3個十，3個十乘2得6個十，6個十就是60。這里，三句話表達的就是一個演繹推理的過程。用文字語言表達推理過程的契機有很多，比如對整數、小數、分數加減計算算理的解釋屬于演繹推理，而對分數乘除法算法的歸納總結則屬于合情推理等等。教學中要有意識地挖掘，不失時機地訓練。

二、應用圖形語言直觀表達推理過程

圖形語言是通過圖形的直觀形態來表達含義的一種視覺語言，數學中表達空間形式和數量關系的各種圖形、表格和圖像等都是圖形語言。相對于文字語言的準確性，圖形語言能更形象直觀地表達推理思維過程，二者的有機結合能使數學說理既形象又準確。

2.借助表格建立猜想

數學中的表格不僅有記錄整理數學信息的功能，還能反映對象間的變化特點和關系規律。借助表格發現關系、提煉規律、建立猜想，這本身就是一個合情推理的過程，其間圖表語言既是工具也是媒介。比如在探究多邊形內角和的規律時，可引導學生將研究過程用表格整理記錄（表1），有序呈現的數據給學生的歸納推理提供了豐富直觀的素材，有利于猜想的建立。再比如研究“周長一定時長方形的面積變化特點”時，可將變化過程用表格整理記錄，進而觀察發現面積的變化規律（表2）。

3.用圖形語言實現深度理解

圖形語言的恰當運用，不僅有利于思維的清晰表達，還能實現深度理解。比如研究多邊形的內角和時，可借助圖形直觀讓學生獲得對“為什么邊數-2=三角形的個數”的深度理解（圖2）。再比如解決“一面掛鐘1時敲1次，2時敲2次……所有半點都敲1次。從1時到12時，它一共敲了多少次？”這一問題時，學生大多認為半點敲的次數也是12次。通過畫圖（圖3），學生不僅明確了答案，還能從間隔排列、一一對應的角度來解釋原委。

此外，還可以借助統計圖像引導學生展開統計推斷。比如根據超市所售某種商品的各月銷量折線統計圖判斷進貨量等。

三、應用符號語言形式化表達推理過程

符號語言的應用能讓特殊問題一般化、復雜問題簡單化，使意義表達簡潔無歧義。李士琦在《RME：數學教育心理學》中把數學符號分為四類：字母和數字、標識符（表示數、式、形之間關系的符號，小學階段如“>”“<”等）、象形符、標點符號[3]。引導學生恰當運用數學符號來表達推理過程，不僅能發展其推理能力，還能滲透初步的形式化思想。

1.用數字和關系符號整理記錄推理過程

數字和關系符號是小學生最熟悉、最常用的基本符號語言，訓練學生將數字和關系符號相結合來表達推理過程，不僅易于理解接受，還能體會符號對嚴謹簡明表達的作用。比如在解決“一輛載重3 000千克的卡車，裝了47桶豆油，每桶豆油連桶重58千克。這輛車超載了嗎？”這一問題時，可以先引導學生借助估算說理：把47和58分別看成50和60，看大后相乘的結果是3 000，那么實際的結果一定小于3 000，所以不超載。接著引導學生利用符號整理記錄推理過程：47≈50，58≈60;50×60=3 000;47×58<3 000，所以不超載。這里符號語言抽象表征了思維進程，以靜顯動、邏輯嚴謹、簡潔明了，符號語言的形式、力量之美顯露無遺。

2.用字母符號抽象表征和解釋說理

尋找、發現和表征數學現象中的規律并嘗試解釋驗證，是小學生開展合情推理的重要形式和內容。其間，小學生最常遭遇的瓶頸是規律的準確表征和對猜想的解釋驗證。比如在探究乘法分配律的時候，規律的表達是學習的難點。可以先讓學生嘗試用自然語言表達，在有了“不好說、說不清、太復雜”等體驗后，再讓學生嘗試用字母符號表征，此時學生會再一次回顧推理過程，梳理各部分之間的關系，得出“（a+b）×c=a×c+b×c”這一一般化的數學表達。符號表征的準確簡潔與自然語言表達的模糊復雜構成了鮮明的對比，強烈的心理體驗會加速“用符號表征規律”思維經驗的形成。在解釋驗證階段也可以引導學生借助字母符號展開說理，比如有的學生會根據加法和乘法的意義演繹推理：a個c加b個c肯定等于（a+b）個c。也有的學生會借助長方形的面積模型和字母展開類比推理：

盡管不同形態的數學語言在推理活動中有著較強的針對性和適用性，但在實際說理過程中，仍要結合具體內容，強化三種數學語言的互通互譯，讓學生在多種數學語言的比較中形成感悟。比如在表達平行四邊形面積計算原理時，既需要圖形語言的直觀，又需要文字語言的闡釋，還需要符號語言的概括，三種語言形式的互補不僅有利于學生對原理的深刻理解，還有利于學生實現對推理過程、形式的豐富認知。強化不同形態數學語言的互通互譯，讓數、形、事、理有機結合，能夠增強數學說理的解釋力，凸顯形式與內容的一致性，實現對原理內涵的豐富解讀，獲得本質理解。仍以乘法分配律理解為例，從文字語言的概括表達到字母符號表征，再到借助長方形面積圖形解釋說明，這本質上就是一個多種語言形式的互通互譯過程。

在實際教學中，教師既要有以數學說理培育兒童推理能力的高視角，還要有扎實訓練的低姿態;既要尊重兒童數學語言發展的內部機制，還要積極挖掘推理思維訓練點，以融合潤化的方式走出一條踏實而精彩的數學說理實踐之路。

參考文獻

[1] 維科斯基.思維與語言[M].臺北：桂冠出版社，1998.

[2] 林崇德.發展心理學[M].北京：人民教育出版社，2009.

[3] 李士琦.RME：數學教育心理[M].上海：華東師范大學出版社，2000.

[責任編輯：陳國慶]