隨機(jī)變量數(shù)字特征教學(xué)中的幾點(diǎn)思考

李源 郝小枝

摘要：分析了在隨機(jī)變量的數(shù)字特征的定義教學(xué)中存在的常見問(wèn)題，就數(shù)學(xué)期望和相關(guān)系數(shù)的定義教學(xué)提出建議;探討了在隨機(jī)變量的獨(dú)立性和不相關(guān)性常常發(fā)生混淆的主要原因，并給出對(duì)應(yīng)的教學(xué)策略.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)期望;協(xié)方差;相關(guān)系數(shù);相互獨(dú)立;不相關(guān)

中圖分類號(hào)：O13;G642? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? 文章編號(hào)：1673-260X（2019）02-0149-04

概率統(tǒng)計(jì)是理工類和經(jīng)管類本科專業(yè)的一門重要的學(xué)科基礎(chǔ)課程，其中涉及的解決隨機(jī)問(wèn)題的基本思想方法被廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)決策、質(zhì)量控制、投資風(fēng)險(xiǎn)管理等領(lǐng)域.根據(jù)教育部高等學(xué)校大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)發(fā)布的大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)基本要求[1]，在本科概率統(tǒng)計(jì)課程中應(yīng)使學(xué)生掌握課程的基本知識(shí)、基本理論，對(duì)學(xué)生進(jìn)行必要的基本運(yùn)算技能的訓(xùn)練，為學(xué)生學(xué)習(xí)相關(guān)后繼課程奠定必要的隨機(jī)量方面的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力.但在本科概率統(tǒng)計(jì)課程的教學(xué)中還存在不少認(rèn)識(shí)上的誤區(qū)，以下結(jié)合筆者的教學(xué)實(shí)踐談幾點(diǎn)體會(huì).

1 概率統(tǒng)計(jì)課程的基礎(chǔ)和課程目標(biāo)分析

1.1 初等數(shù)學(xué)中的概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容分析

概率統(tǒng)計(jì)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的重要組成部分，從高考數(shù)學(xué)大綱給出的教學(xué)內(nèi)容和考試要求，并結(jié)合近年高考數(shù)學(xué)的試題可以看出中學(xué)數(shù)學(xué)的概率統(tǒng)計(jì)課程的下列教學(xué)側(cè)重點(diǎn)：

（1）用排列組合工具計(jì)算有限等可能實(shí)驗(yàn)中隨機(jī)事件的概率.

（2）理解并會(huì)應(yīng)用特殊條件下的概率加法公式和乘法公式計(jì)算隨機(jī)事件的概率，其中的特殊是指：僅考慮互斥情形的加法公式和相互獨(dú)立的乘法公式.

（3）理解并掌握n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算.

（4）理解離散型隨機(jī)變量分布列的意義，會(huì)基于古典概率的計(jì)算方法求出某些簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量（有限取值）的分布列.

（5）理解隨機(jī)變量的期望值和方差的意義，會(huì)計(jì)算有限取值的離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差.

僅從教學(xué)內(nèi)容上看高中概率統(tǒng)計(jì)課程，其基本方法是初等的，難點(diǎn)主要在于古典概率中排列組合等計(jì)數(shù)方法的應(yīng)用，但這并非概率統(tǒng)計(jì)課程真正關(guān)注的問(wèn)題.

1.2 本科概率統(tǒng)計(jì)課程的內(nèi)容和研究工具

在前述的大學(xué)數(shù)學(xué)課程的本科教學(xué)基本要求中，對(duì)公共概率統(tǒng)計(jì)課程的概率論部分提出的基本要求包括（但不限于）：

（1）了解概率的公理化定義，掌握概率的性質(zhì).

（2）了解隨機(jī)變量分布函數(shù)的概念和性質(zhì)，會(huì)利用分布函數(shù)計(jì)算隨機(jī)事件的概率.

（3）理解離散型隨機(jī)變量及其分布律的概念和性質(zhì)，理解連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的概念和性質(zhì)，理解常見的離散型分布（包括0-1分布、二項(xiàng)分布、泊松分布）和連續(xù)型分布（包括均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布）.

（4）了解多維隨機(jī)變量聯(lián)合分布函數(shù)的概念和性質(zhì)，了解二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律的概念和性質(zhì)，理解二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度的概念和性質(zhì)，會(huì)計(jì)算多維隨機(jī)變量的邊緣分布，理解隨機(jī)變量的獨(dú)立性;

（5）理解隨機(jī)變量的數(shù)字特征（包括數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩）的概念和性質(zhì)，會(huì)計(jì)算上述常見分布的數(shù)字特征.

（6）了解大數(shù)定律與概率的統(tǒng)計(jì)定義及參數(shù)估計(jì)之間的關(guān)系，了解中心極限定理的意義及其在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用.

從上述教學(xué)基本要求可以看到，在大學(xué)本科的概率統(tǒng)計(jì)課程的主旨是：借助于高等數(shù)學(xué)工具研究隨機(jī)現(xiàn)象，其核心方法包括：利用函數(shù)方法將隨機(jī)事件的概率計(jì)算用分布函數(shù)統(tǒng)一解決，利用無(wú)窮級(jí)數(shù)理論將離散型隨機(jī)變量的研究推廣到取值為無(wú)窮可列的情形，利用積分理論研究連續(xù)型隨機(jī)變量，利用極限理論研究隨機(jī)變量序列的依概率收斂等問(wèn)題.

雖然概率統(tǒng)計(jì)課程中的部分知識(shí)學(xué)生在中學(xué)有所接觸，但本科課程在這些問(wèn)題上所要求的深度和廣度是中學(xué)課程無(wú)法比擬的.因此，將中學(xué)概率統(tǒng)計(jì)課程中作為特例出現(xiàn)的基本概念和性質(zhì)推廣到更一般情形就成為本科概率統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)的一項(xiàng)基本任務(wù)，其中應(yīng)在課程中重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)微積分工具和方法的應(yīng)用.當(dāng)然，作為隨機(jī)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的本科概率統(tǒng)計(jì)的課程目標(biāo)，不僅應(yīng)當(dāng)提升學(xué)生對(duì)課程基本概念和方法的認(rèn)識(shí)，還應(yīng)在課程中對(duì)學(xué)生進(jìn)行必要的基本運(yùn)算技能的訓(xùn)練，為學(xué)生學(xué)習(xí)諸如隨機(jī)過(guò)程等隨機(jī)數(shù)學(xué)的進(jìn)階內(nèi)容提供必要的基礎(chǔ)支撐.

2 數(shù)學(xué)期望定義教學(xué)中的缺憾和建議

數(shù)學(xué)定義是展開對(duì)該數(shù)學(xué)對(duì)象討論的前提和出發(fā)點(diǎn)，因此教學(xué)中對(duì)數(shù)學(xué)定義的內(nèi)涵和外延的解讀是極為重要的.然而，在當(dāng)前的概率統(tǒng)計(jì)課程的教學(xué)中，或因?yàn)槭芟抻谡n程學(xué)時(shí)，或因?yàn)閭湔n不充分，授課教師對(duì)數(shù)學(xué)期望定義的解讀常常是不夠的，現(xiàn)詳述如下.

在中學(xué)的概率統(tǒng)計(jì)課程中，學(xué)生已經(jīng)會(huì)計(jì)算取值有限的離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，但在更一般的情形下，離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是用如下方式給出的.

與中學(xué)在有限取值情形下將離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義為隨機(jī)變量的取值與其對(duì)應(yīng)的概率乘積之和不同，上述定義中增加了級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂的前提.在隨機(jī)變量取值可列的情形下，要保證其數(shù)學(xué)期望的存在性，學(xué)生容易想到級(jí)數(shù)xkpk收斂的前提，但為什么對(duì)其收斂性要求提高到更高水平的絕對(duì)收斂？頗為遺憾的是在諸如教材[2]這樣被廣泛使用的經(jīng)典教材中，對(duì)此問(wèn)題也未進(jìn)行任何解釋和說(shuō)明，如果教學(xué)中不進(jìn)行必要的引導(dǎo)，就會(huì)為學(xué)生正確理解和把握數(shù)學(xué)期望定義造成障礙，由此引發(fā)對(duì)其他數(shù)字特征理解上的偏差.

在筆者看來(lái)，數(shù)學(xué)期望的教學(xué)是數(shù)字特征教學(xué)中最為重要的部分，因?yàn)楸举|(zhì)上隨機(jī)變量的其他數(shù)字特征不過(guò)就是特定函數(shù)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.因此，在數(shù)學(xué)期望定義的教學(xué)中，以下教學(xué)環(huán)節(jié)是不可或缺的：

首先，應(yīng)當(dāng)對(duì)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂前提做必要的解讀.事實(shí)上，數(shù)學(xué)期望的概率論意義在于刻畫隨機(jī)變量取值的集中位置，其值自然不應(yīng)受到隨機(jī)變量取值排序的主觀性影響.由于條件收斂級(jí)數(shù)在更序后可能改變和[3]，甚至改變其斂散性[4]，而絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)則可保證對(duì)級(jí)數(shù)任意重排時(shí)其和不變，因此在離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義中必須設(shè)定級(jí)數(shù)xkpk絕對(duì)收斂這一前提.類似可以解釋在連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義中對(duì)積分xf（x）dx做出絕對(duì)收斂要求的意義.

其次，應(yīng)分別就離散型變量和連續(xù)型變量給出數(shù)學(xué)期望不存在的實(shí)例，以提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)期望存在前提的認(rèn)識(shí).例如：對(duì)分布律為發(fā)散，因此其數(shù)學(xué)期望不存在.

有了這樣的教學(xué)環(huán)節(jié)，學(xué)生自然就能理解不論對(duì)于離散型變量還是連續(xù)型變量其數(shù)學(xué)期望均未必存在.從而在極限定理的教學(xué)中，學(xué)生也就容易理解定理?xiàng)l件中強(qiáng)調(diào)隨機(jī)變量序列數(shù)學(xué)期望存在性的意義.

3 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)定義教學(xué)中的常見問(wèn)題

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)均為刻畫隨機(jī)變量X，Y之間線性相依關(guān)系強(qiáng)弱的數(shù)字特征.教材[2]中利用兩隨機(jī)變量和的方差公式

并依據(jù)X，Y相互獨(dú)立時(shí)，有E[（X-E（X））（Y-E（Y））]=0的這一事實(shí)，據(jù)此指出：當(dāng)（X-EX）（Y-EY）≠0時(shí)，X，Y之間必定不獨(dú)立而是存在一定聯(lián)系，從而給出下述定義.

上述引入?yún)f(xié)方差的教學(xué)設(shè)計(jì)，內(nèi)容銜接自然流暢值得肯定.但教材中隨即直接給出相關(guān)系數(shù)定義的處理方式卻頗讓人費(fèi)解.為什么有協(xié)方差還要引入相關(guān)系數(shù)，二者有何區(qū)別？這些問(wèn)題在該教材中均未提及！由于教材[2]是國(guó)內(nèi)應(yīng)用最廣的概率統(tǒng)計(jì)教材之一，這種做法可能被初登講臺(tái)的青年教師直接采用，從而為學(xué)生正確理解協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)形成障礙.

筆者認(rèn)為，在引入?yún)f(xié)方差后，一種較自然的處理應(yīng)該是討論協(xié)方差的相應(yīng)性質(zhì).在性質(zhì)的討論中揭示：協(xié)方差是有量綱的量，其值受X，Y自身的量綱影響.為克服這一缺陷，考慮先對(duì)X，Y進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，即令由于標(biāo)準(zhǔn)化過(guò)程消除了X，Y自身的量綱，對(duì)標(biāo)準(zhǔn)化變量X*，Y*定義協(xié)方差就克服了其值受量綱影響的缺陷，因此可以用Cov（X*，Y*）這個(gè)無(wú)量綱量的數(shù)值大小來(lái)刻畫X，Y之間的關(guān)系，由此引出相關(guān)系數(shù)的下述定義：

4 不相關(guān)性和獨(dú)立性教學(xué)中的常見問(wèn)題

隨機(jī)變量的獨(dú)立性和不相關(guān)性是概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中極易引起學(xué)生混淆的兩個(gè)概念.隨機(jī)變量相互獨(dú)立表明二者之間沒有關(guān)系，其特征是聯(lián)合分布等于邊緣分布的乘積.而隨機(jī)變量的不相關(guān)是指二者不存在線性關(guān)系，其特征是相關(guān)系數(shù)（或協(xié)方差）為零.

二者的關(guān)系，無(wú)論從直觀概念還是數(shù)學(xué)定義本身都容易做出區(qū)分，即相互獨(dú)立必然不相關(guān)，但不相關(guān)未必相互獨(dú)立.而造成學(xué)生引起混淆的主要原因，常常在于下述教學(xué)環(huán)節(jié)處理的失當(dāng).

4.1 在給出隨機(jī)變量不相關(guān)的定義時(shí)，未及時(shí)給出不相關(guān)但并非相互獨(dú)立的實(shí)例.筆者認(rèn)為，在給出容易引發(fā)混淆的新概念時(shí)，與原有概念的對(duì)比是極其重要的.因此，在給出相關(guān)系數(shù)的定義時(shí)，應(yīng)當(dāng)用最簡(jiǎn)單的實(shí)例明確不相關(guān)和相互獨(dú)立的區(qū)別.

4.2 二維正態(tài)分布的獨(dú)立性與不相關(guān)性等價(jià)的原因未做深入解讀.二維正態(tài)分布是一種常見的連續(xù)型分布，其獨(dú)立性和不相關(guān)性的關(guān)系是極其特殊的，即由于二維正態(tài)分布的聯(lián)合概率密度形式較復(fù)雜，以此作為基礎(chǔ)計(jì)算邊緣密度和數(shù)字特征對(duì)積分的能力有一定要求，因此很多教師對(duì)此重要命題的教學(xué)往往采取述而不證的方式，這就為學(xué)生的理解這一結(jié)論形成了不小的障礙.

筆者認(rèn)為，正態(tài)隨機(jī)變量在概率統(tǒng)計(jì)中有著舉足輕重的作用，在學(xué)時(shí)充分的條件下，應(yīng)當(dāng)考慮對(duì)其性質(zhì)進(jìn)行嚴(yán)格的刻畫，這也是課程中培養(yǎng)學(xué)生必要的基本運(yùn)算技能的良好素材.即使受限于學(xué)時(shí)，也必須明確：

4.3 對(duì)公式E（XY）=E（X）·E（Y）成立的條件未進(jìn)行適時(shí)的正確解讀.作為數(shù)學(xué)期望的一條重要性質(zhì)，該公式通常在數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)中首次亮相，此時(shí)其結(jié)論被表述為[2]：

利用相互獨(dú)立確保的聯(lián)合分布等于邊緣分布乘積的條件，其結(jié)論是容易得到的.但教學(xué)中應(yīng)明確：X，Y相互獨(dú)立條件是E（XY）=E（X）·E（Y）成立的充分條件.在引入X，Y不相關(guān)的定義后，應(yīng)適時(shí)指出E（XY）=E（X）·E（Y）可以在更弱的條件下成立，并引導(dǎo)學(xué)生得出下述與X，Y不相關(guān)等價(jià)的命題：

參考文獻(xiàn)：

〔1〕教育部高等學(xué)校大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì).大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)基本要求（2014年版）[M].北京：高等教育出版社，2015.10-13.

〔2〕盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2008.109-133.

〔3〕唐建國(guó).一個(gè)條件收斂級(jí)數(shù)重排項(xiàng)后的和[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2011，27（06）：130-134.

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