全等三角形判定與解三角形的聯(lián)系

康洪昊

摘 要：本文研究全等三角形判定與解三角形的聯(lián)系—兩邊一角判定三角形全等。得出結(jié)論：兩邊一角僅有SAS能判定三角形全等，如果是SSA（邊邊角）的話(huà)不一定能判定三角形全等，但是如果兩個(gè)三角形滿(mǎn)足SSA再加上以下三個(gè)條件之一：1、已經(jīng)角為鈍角;2、另外已知邊的對(duì)角不互補(bǔ);3、已知角的對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)度大于另一已知邊是長(zhǎng)度時(shí);就可以判定這兩個(gè)三角形全等。最后，本論文還以例題的方式說(shuō)明了其應(yīng)用性。

關(guān)鍵詞：全等三角形判定;解三角形;邊邊角判定

1.引言

三角形的相關(guān)知識(shí)在中小學(xué)非常重要，在本論文中為了方便表述，一般把三個(gè)角分別為ABC的三角形寫(xiě)作△ABC，角用“∠”表示，采用角度制，其中角A的對(duì)邊BC記為a，角B的對(duì)邊AC記為b，角C的對(duì)邊AB記為c。本論文主要研究三角形全等的判定和解三角形兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的分析以及他們的聯(lián)系。

三角形全等的判定和解三角形這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)其實(shí)通俗易懂。初中學(xué)全等三角形的判定有SSS，SAS，ASA，AAS，HL;而高中學(xué)的已知三角形的三個(gè)元素，解三角形。

這里給一個(gè)特殊例子：已知△ABC，∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，解△ABC？

這類(lèi)題目也是知道三角形的三個(gè)元素，解三角形，但由于所給的元素有遞推元素，就是三角形已知兩個(gè)角可以求出剩下一個(gè)角，故實(shí)際只是給出兩個(gè)元素，導(dǎo)致有無(wú)窮多組解！

本論文所說(shuō)的關(guān)于解三角形所給的元素不包括以上情形的，都是可以解三角形的。

由人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)書(shū)教材指出，全等三角形的判定方法有：（1）邊邊邊（簡(jiǎn)寫(xiě)“SSS”）：已知兩三角形三條邊對(duì)應(yīng)相等，則兩個(gè)三角形全等。（2）邊角邊（簡(jiǎn)寫(xiě)“SAS”）：已知兩三角形兩條邊對(duì)應(yīng)相等且這兩條邊的夾角也相等，則兩個(gè)三角形全等。（3）角邊角（簡(jiǎn)寫(xiě)“ASA”）：已知兩三角形兩條角對(duì)應(yīng)相等且他們的夾邊也相等，則兩個(gè)三角形全等。（4）角角邊（簡(jiǎn)寫(xiě)“AAS”）：已知兩三角形兩條角對(duì)應(yīng)相等且其中一個(gè)角的對(duì)邊也相等，則兩個(gè)三角形全等。（5）斜邊、直角邊（簡(jiǎn)寫(xiě)“HL”）：已知兩個(gè)直角三角形的斜邊與直角邊對(duì)應(yīng)相等，則兩個(gè)三角形全等。[1]由人教版高中數(shù)學(xué)必修5教材可知，一般地，我們把三角形的三個(gè)角及其對(duì)邊分別叫做三角形的元素。已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形。解三角形過(guò)程中主要用到正弦定理和余弦定理。

2.全等三角形與解三角形的聯(lián)系

上面5條三角形全等判定定理都說(shuō)明了：要判定兩個(gè)三角形全等，都至少要有他們的三個(gè)元素對(duì)應(yīng)相等（第5條暗藏兩三角形直角對(duì)應(yīng)相等）。一般地，解三角形的例題和習(xí)題中，一定是給出的三角形已知元素是3個(gè)，解三角形的結(jié)果可能無(wú)解，也可能有唯一解，也可能有兩個(gè)解。他們的共同點(diǎn)：都是給出的條件是三個(gè)元素，最后求整體！以下主要對(duì)三角形有解的情況下，解是否唯一進(jìn)行研究和討論。

2.1例題組分析

這五組例題都有共同的地方，每組例題第一小題已知的三個(gè)對(duì)應(yīng)相等的元素與同組第二小題已知的三個(gè)元素完全對(duì)應(yīng)，那么問(wèn)題答案是不是一樣呢？

通過(guò)解答，每組例題第一小題兩個(gè)三角形都全等，第二小題解三角形中，前面兩組都是可以通過(guò)余弦定理解出其他元素并且只有一種結(jié)果;第三、四組可以通過(guò)三角形的兩個(gè)角求出第三個(gè)角再用正弦定理求出邊的長(zhǎng)度，結(jié)果也是只要一種;第五題通過(guò)正弦定理求出∠B的值，但因?yàn)椤螦=90°所以∠B<90°排除一個(gè)解，結(jié)果還是只有一個(gè)解。

以我個(gè)人觀點(diǎn)，如果給出的條件可以證明兩個(gè)三角形全等，那么這些條件以具體數(shù)值確定后，三角形是固定的，所以在可以解除三角形的前提下得出三角形的解是唯一的。

2.2得出推理1

通過(guò)以上例子的結(jié)果可以得出一個(gè)推理，“在證明兩個(gè)三角形全等時(shí)，如果給出的條件可以證明兩三角形全等，那么這些對(duì)應(yīng)條件給出合理數(shù)值后也可以得出三角形的解唯一?！保ㄒ韵路Q(chēng)推理1）

那么，推理1的逆命題是不是也成立呢？也就是說(shuō)“如果在解三角形過(guò)程中，題目給出某些元素的合理數(shù)值后使得三角形有唯一解，那么這些元素對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等?！保ㄒ韵路Q(chēng)推理2）成不成立？

解三角形知識(shí)是在高中數(shù)學(xué)必修5第一章出現(xiàn)的，我認(rèn)真研究了那一章，發(fā)現(xiàn)一般的解三角形題目都是間接或者直接給3個(gè)元素解三角形。其實(shí)，如果只是已知2個(gè)元素的話(huà)，三角形是有無(wú)窮多組解的，故至少要已知3個(gè)元素，這3個(gè)元素有：三條邊、兩邊一角，兩角一邊三種情況。

邊：推理2如果已知的元素是三條邊時(shí)，推理2明顯成立！

兩角一邊：推理2如果已知的元素是兩角一邊時(shí)，推理2明顯成立！

兩邊一角：推理2如果已知的元素是兩邊一角時(shí)，就不一定了，

角是兩邊的夾角：推理2明顯成立！

角是其中一條已知邊的對(duì)角：當(dāng)遇到這種情況，解三角形結(jié)果就有兩種可能的情況，有兩個(gè)解或者有一個(gè)解，如高中數(shù)學(xué)人教版B版必修5第4頁(yè)的例題[2]。

已知△ABC，根據(jù)以下條件，求相應(yīng)的三角形中其他邊和角的大小

所以，由于當(dāng)知道三角形的兩邊一角，其中一個(gè)角是已知邊的對(duì)角時(shí)，三角形并不一定只有唯一解，所以不能以此斷定相應(yīng)元素相等的兩個(gè)三角形全等。

其實(shí)，初二教材已經(jīng)有圖例說(shuō)明指出（圖2.2.2），“邊邊角”定理會(huì)出現(xiàn)以下兩種情況的三角形，是不能證明三角形全等的！

事實(shí)上，除了兩邊一角，如果在解三角形過(guò)程中，題目給出某些元素的合理數(shù)值后使得三角形有唯一解，那么這些元素對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。

2.3解三角形會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)解的原因分析

我們知道，三角形內(nèi)角范圍在0°到180°，而正弦函數(shù)y=sinx°在定義域區(qū)間（0，180）中是先增后降的，所以當(dāng)給出函數(shù)值時(shí)，自變量在區(qū)間（0，180）會(huì)有兩個(gè)對(duì)應(yīng)值，所以如果兩個(gè)都符合題意的話(huà)，就有兩個(gè)解。

如果在解三角形過(guò)程中，題目給出某些元素的合理數(shù)值后使得三角形有兩個(gè)解，那么這些元素對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形就有兩個(gè)，所以不全等。

3.“邊邊角”判定問(wèn)題的深層研究

那是不是所有“邊邊角”對(duì)應(yīng)相等的三角形都不全等呢？以下來(lái)研究幾種特殊情況！

3.1已知角為鈍角

上面例題我們看出了，當(dāng)給一個(gè)已知角是鈍角時(shí)，那么還是可以得出三角形有唯一解的，因?yàn)橥ㄟ^(guò)正弦定理可以得出另一個(gè)角，但是那個(gè)角一定不是鈍角，所以排除了一種可能，所以就得出唯一的三角形。那么當(dāng)要已知角是鈍角時(shí)，“邊邊角”對(duì)應(yīng)相等的三角形是不是全等呢？

3.4以上匯總

綜上所述，當(dāng)給出“邊邊角”解三角形時(shí)，用正弦定理解出的第一個(gè)角有兩種情況，這兩個(gè)角度是互補(bǔ)的，但是，如果給定條件的已知角是鈍角，就可以排除一種情況，如果給定條件的兩邊有一定關(guān)系也可以排除一種可能的，以上情況都可以得到三角形的解是唯一的。

參考文獻(xiàn)

[1]人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)書(shū)教材.人民教育出版社，2014.6.

[2]人教版高中數(shù)學(xué)必修5教材.人民教育出版社，2007.4.