高中數學中不等式證明的常用方法

郝嘉駿

摘 要：本文主要以高中數學中不等式證明的常用方法為重點進行闡述，結合當下高中數學中不等式證明的常見思想為主要依據，從比較法、綜合法、分析法、反證法、換元法、放縮法這幾方面進行深入探討與研究，其目的在于加強我們不等式證明的能力。

關鍵詞：不等式;證明;常用方法

引言：高中數學中不等式的證明問題，因為方法多樣、題型多變，外加沒有規律可循，一般無法用一種方式就能優化，其是各種方法的靈活應用，也是多種思想方法的集中體現，為此難度相對較大。優化這個問題的主要方式為熟練掌握基本不等式與不等式的性質，靈活應用常用方法。本文主要針對高中數學中不等式證明的常用方法進行分析。

一、高中數學中不等式證明的常見思想

（一）分類思想

所謂分類思想指的是依據研究主體的某個屬性的不同點與相同點，把研究主體分為多個類別，并對多個類別進行研究與探討的數學思想。分類思想的掌握，有利于我們理解數學知識，提高知識獲取能力，構建健全的數學知識網。

（二）數形結合思想

在高中數學中數和形為兩個互相交叉的知識板塊，所謂數形結合思想指的是通過數和形有效融合來優化數學問題，一直貫穿數學學習的始終，圖解法、向量法以及幅書法皆是數形結合思想的主要運用，數形結合思想能夠把簡化繁雜的問題，將抽象知識具象化，進而讓問題得到優化，在不等式證明學習中，我們需要合理應用圖形圖像，讓我們有效理解數形結合思想，并讓其加以使用。

（三）轉化思想

所謂轉化思維為我們依據已有的數學知識，利用聯想、觀察以及類比等方式，轉換待求解的問題，直至轉化為易解決問題的思想，我們倘若掌握了轉化思想，便能夠進行各種轉化，例如用化歸思想將多元方程轉變為一元方程，將高次方程轉為低次方程，在不等式證明中合理運用[1]。

二、高中數學中不等式證明的常用方法

（一）比較法

在高中數學中最常用也是最基礎的一種不等式證明方法就是比較法，比較法又分為求差法與求商法。

第一，求差法。其理論依據為不等式的基本性質，主要的求差步驟為：首先作差，對不等式左右兩邊的構成進行考察，并把其看作是一個整體。其次變形，把不等式左右兩邊進行作差變形，既可以使其變成幾個平方的和，還可以使其變成一個常數。變形最為重要的一點就是差值比較法，其中配方法和因式分解法較為常用。最后判斷，根據上述變形的記過與題目中的已知條件，判斷不等式左右兩邊的差，然后對不等式成立的結論進行肯定。一般情況下，求差法的適用范圍為證明不等式兩邊為分式或是多項式時應用差值比較法。

第二，求商法。其主要步驟為：首先作商，對不等式左右兩側的式子進行作商;其次變形，把商式進行化簡，使其為最簡的形式;最后判斷，把1和商的大小關系進行判斷，即判斷商是大于1還是小于1。求商法在通常情況下的使用范圍為被證不等式兩側有指數式或是冪數式時，應用求商法[2]。

（二）分析法

分析法主要是指結合需要證明的不等式，對不等式成立的條件進行認真分析，并對該條件是否存在進行判斷。分析法的基本思路和特點為執果索因，簡單的講就是從未知看到須知，再慢慢趨近已知。其邏輯關系是：B，B1，B2…Bn，A。

（三）綜合法

所謂綜合法就是應用已知事實當作基礎，其中已知事實主要包含已經得到證明的不等式、已知條件、重要不等式等，結合不等式的性質和定理，實施邏輯推理，最終得到需要論證的不等式。綜合法的基本思路與特點為由因導果，簡單來說就是由已知看到須知，漸漸將結論推導出來，其基本思路與分析法正好是相反的。其邏輯關系是：A，B1，B2…Bn，B，即從已知條件A慢慢將不等式成立的必要條件推導出，進而得到結論B[3]。

（四）放縮法

對于不易論證的不等式A<B，放縮發則是依托一個或是多個中間變量通過適當的縮小或是放大，從而實現不等式證明的方式。應用放縮法對不等式證明的主要依據為：第一，不等式較強的傳遞性;第二，不等量同等量相加等于不等量;第三，異分母與同分子這兩個分子式相比。經常使用的收縮技巧包含下述三種：一是加入一些項或是舍掉一些項;二是在分式之中縮小或是放大分母或是分子;三是使用均值不等式放縮。

（五）反證法

高中數學中有部分不等式的證明，從證明不好論證，而從反面則好論證，即對不等式A>B進行證明，首先需假設A≤B，從其他性質與題設，推出矛盾，進而肯定不等式A>B。凡是有“不可能”、“至多”、“不存在”等詞語或是證明不等式為唯一命題與否定命題時，能夠考慮使用反證法[4]。

（六）換元法

換元法針對的是部分變量較多或結構繁雜的不等式，在不等式中引入一個或是多個變量對結構繁雜的不等式進行替換，以簡化初始結構或是實現某種變通和轉化，為不等式證明帶來新思路。具體換元形式有兩種，其中包含三角代換法和增量換元法。前者一般都用到證明條件不等式上，在題目所給條件較為復雜繁瑣時，一個變量沒有辦法利用另一個變量進行表示，這時可以通過三角代替的形式，利用同一個參數，對兩個變量進行表示，三角代替的形式如果使用恰當，能夠連接代數與三角間的關系，把繁雜的代數問題轉變為三角問題結合具體問題。后者一般使用在對稱式不等式上和給定字母順序的不等式上，通過增量換元的方式，主要是利用換元進行減元，從而使問題從繁至簡，從難至易。例如a+b=1，能夠用a=1/2+t，b=1/2-t或是a=1-t，b=t換元。

三、結語

綜上所述，在高中數學學習中不等式證明占據主體位置，此外在各種數學競賽和每年高考試題中不等式證明也常常出現。證明不等式的方式有很多，本文主要闡述了一些不等式證明的常見方式，以期為提高我們不等式證明能力做鋪墊。

參考文獻

[1]潘娟娟，凌雪岷.高等數學中不等式證明的幾類常用方法[J].赤峰學院學報（自然科學版），2017，33（04）：1-3.

[2]夏靜.高等數學中不等式證明的常用方法[J].赤峰學院學報（自然科學版），2015，31（19）：19-20.

[3]曹軍芳.高等數學中不等式證明的常用方法[J].佳木斯教育學院學報，2014（01）：220-221+227.

[4]黃東，茍一泉，趙中玲.高中數學中不等式的證明方法[J].湖南農機，2011，38（07）：171-172.