拉格朗日中值定理在分析證明不等式中的應用

顏挺進

摘 要：隨著我國教育行業的不斷進步與發展，當前高中學生的數學解題思維養成也越來越重要，尤其是在函數和不等式的解題過程中。在平時的學習過程中若是學生可以很好的掌握拉格朗日中值定理，并運用此定理進行解題，可以顯著的提高學生實際的解題能力。本文對拉格朗日中值定理的相關內容進行了簡單的介紹，并結合相應的不等式問題對其進行系統的分析，將在實際解決相應不等式問題時所應用該定理的具體步驟進行了簡單的分析與探討，從而有效的提高學生實際解決問題正確率以及提高學生學習的效率。

關鍵詞：拉格朗日中值定理;數學問題;不等式;應用;分析

引言：在實際進行高中數學課程的學習過程中，不等式問題占有十分重要的地位，并且在考試中占有大量的分值。但是一般情況下在學生實際解決這類不等式問題時難度較高，給學生的數學科目學習帶來了很大的困難，這也使得學生實際的解題能力始終難以解決，并且對整體的解題效率產生了很大的影響，很多學生由于難以攻克不等式數學問題的難關而使得整體的數學成績一直難以提高。

一、拉格朗日中值定理的具體含義以及其實際的表達形式

一般拉格朗日中值定理又可以將其稱為拉式定理，在微積分數學理論當中占有十分重要的地位，利用此定理可以將相應的導函數在閉區間中和本區間當中某一個特殊點具體的局部變化率，及其內部所具有的聯系進行詳細的介紹，讓使用者可以更加明確的了解到各個導函數實際的意義。此定理在發展是在羅齊爾中值定理的基礎上衍生而出的，也可以將其當做柯西中值定理當中的一個特殊形式。

拉格朗日中值定理的具體表達形式如下：

通常在使用拉格朗日中值定理時可以利用以下幾個具體的數學語言對其進行表達，首先需要設存在一個函數f（x），并且此函數需要滿足以下幾個要求，第一點要求就是必須要確保此函數在[a，b]這個閉區間內為一個連續導數，第二點需要保證此函數在（a，b）這個開區間上是一個可導的函數。結合這兩點可以判斷出開區間（a，b）上最少會存在一個點Σ比a大比b小，讓此函數可以滿足f（a）-f（b）=f′（Σ）（a-b）是一個正確并且成立的方程。而還有一個形式為需要先設一個未知量x，設這個未知量為[a，b]這個閉區間當中存在的一點，利用x+?x代表此區間當中的另外一個點，并且需要確保?x大于零或者是?x小于零，這樣此定理在區間[x，x+?x]上可以確保以下等式成立：f+（x+?x）-f（x）=f′（x+n?x）·?x此式子還需要滿足（0

二、拉格朗日中值定理在解不等式問題當中的具體應用

1、通過公式直接求解不等式

拉格朗日中值定理在現今的大學高數教學過程中也有著廣泛的應用，其中一個主要應用就是通過定義公式，可以直接求解相應的不等式。拉格朗日中值定理在應用過程中不僅要注重合理的科學性，同時也要注重集體步驟思維相性。尤其是在解不等式問題過程中，通過公式可以直接將一些不必要的步驟直接忽略，然后將結果進行分析出來。它減少了在很多過程上的思考，使問題的解決變得更加簡單方便。

2、構造相應的輔助函數求解不等式

拉格朗日中值定理不僅自身能夠進行一些不等式的計算，它同樣也可以與其他函數公式相結合去求解更加復雜的不等式。而該定理在進行與其他函數相結合的過程中會產生很多結合產物，比如說在拉格朗日中值定理基礎之上，又會出現一個新的公式，而這種公式在今后計算過程中將會直接被用于計算問題當中，這個定理同樣也會被直接形成一個固定的可直接使用的常用定理，然后讓同學們進行學習。

三、拉格朗日的中值定理的證明思維

3.1中值法

拉格朗日的中值計算步驟主要可以分為以下幾點：

1）將結論讀為x，通過簡單化使得等式的右側為0

2）對等式的右側進行求導的運算（運算過程省略）

3）再設置輔助函數，使用拉格朗日中值定理使得結論成立，在將要證明的結論中湊成一個F’（x），根據這些求導出F（x）值，再換成x，變形后觀察

3.2常數值法

在構造等式函數時，如果等式的關于端點處的函數值具有著對稱性，一般會使用常數K值法來構造一個輔助的函數關系式，作為K，也就是常數的分離出來的一部分，在進行恒等變形使得等式的一端a和f（a）構成一個代數關系式，b和f（b）構成一個代數關系式，把代數式中的端點值（a或者是b）設為x成為輔助函數。

總結近年來，隨著我國對于很多數學定理的不斷深度研究，很多都已經漸漸的成為當今學生在學習過程中所學的重要知識點，這些知識點在進行學習過程中，不僅能夠幫助同學們解決更多的數學問題，更為重要的是能夠幫同學們建立起一個完善的數學解決問題思維。很多定理公式，只要背下來就可以進行計算解決相應的問題，但同樣也有很多人無法理解定理的含義和應該應用的范圍，所以在使用過程中會遇到一些困難。定理的本身含義就是為了提高同學們自身的解決問題能力才進行使用與應用的，同時減少解題步驟的復雜程度。拉格朗日中值定理已經成為了當今大學生以及高中學生在學習過程中必須要接觸的一個數學定理，不僅僅是因為近幾年來數學題型的不斷變化與難易程度的不斷提高，更為重要的是必須要借助相應的定理來提高同學們的實際解題能力與建立一個完善的思維邏輯能力。希望通過本文的分析，能夠讓更多的人廣泛關注到拉格朗日中值定理的具體應用，同樣也希望該定理在應用過程中能夠被更多人接受更多人學習，也希望通過本人的分析可以推進我國教育事業的快速發展。

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