二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的兩種巧妙求法

張曉英

二次函數(shù)y=ax+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)是二次函數(shù)的最重要的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值、增減性、以及它是由二次函數(shù)y=ax如何平移得到的，都與它的頂點(diǎn)坐標(biāo)密切相關(guān)。而二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)的兩種求法都有它明顯的缺點(diǎn)：配方法需要按照步驟規(guī)范寫出來，公式法運(yùn)算又很繁瑣，下面介紹兩種簡單方法。

一、由一般式求二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)

（1）方法：在用公式法求二次函數(shù)y=ax+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)，時(shí)，它的縱坐標(biāo)運(yùn)算非常麻煩，尤其是實(shí)際問題求最值，數(shù)據(jù)較大極易出錯(cuò)，這里介紹一種能簡便運(yùn)算的方法：①將二次函數(shù)y=ax+bx+c的二次項(xiàng)去掉，一次項(xiàng)除以2，常數(shù)項(xiàng)不變得到一個(gè)新函數(shù)y=bx+c;②由公式法求出頂點(diǎn)的橫坐標(biāo);③把頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入y=bx+c即為頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，這樣就大大減少了運(yùn)算，提高了準(zhǔn)確率。

（2）原理：當(dāng)時(shí)，y=b·（）+c=即為頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)

（3）典例：二次函數(shù)y=-2x+340x-12000的最大值為▁▁▁。

解析：1）、新函數(shù)為：y=170x-12000;2）、頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為85;3）當(dāng)x=85時(shí)，代入新函數(shù)y=170×85-12000=2450.

二、由交點(diǎn)式求二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)

（1）方法：在二次函數(shù)的交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-x）（x-x）中，拋物線與x軸的兩交點(diǎn)為（x，0），（x，0），求頂點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，橫坐標(biāo)為縱坐標(biāo)為橫坐標(biāo)與x的差的平方乘以-a.

（2）原理：在二次函數(shù)的交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-x）（x-x）中，拋物線與x軸的兩交點(diǎn)為（x，0），（x，0）關(guān)于對稱軸對稱，所以兩交點(diǎn)到對稱軸距離相等，所以當(dāng)x=時(shí)，x-x₁與x-x互為相反數(shù)，所以頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為橫坐標(biāo)與x的差的平方乘以-a.

3、應(yīng)用：在二次函數(shù)的實(shí)際問題中，面積問題和利潤問題的解析式常常是交點(diǎn)式的變式y(tǒng)=（x-x）（ax-ax）或y=（mx-mx）（nx-nx的形式，這樣把頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)求出來后，縱坐標(biāo)為橫坐標(biāo)與x的差的平方再乘以二次項(xiàng)系數(shù)的相反數(shù)。……