幾何畫板，突破函數難點

卓桂華

摘 要：函數，讓學生從常量數學進入到變量數學學習，函數圖象，作為函數主要的表現形式之一，也是函數學習的重要工具，函數圖象的學習是初中階段數學的重點也是難點。幾何畫板，可以在圖象教學中“化無限為有限”，在圖象教學中“化抽象為具體”，成為學生探究函數圖象的數學工具。因此，初中函數圖象教學中，利用幾何畫板可以有效的突破教學難點。

關鍵詞：幾何畫板;函數圖象;難點突破

一、我的認識

1. “幾何畫板”簡介

“幾何畫板”軟件是由美國Key Curriculum Press公司制作并出版的優秀教育軟件，1996年該公司授權人民教育出版社發行該軟件的中文版。正如其名“21世紀動態幾何”，它能夠動態地展現出幾何對象的位置關系、運行變化規律，是數學與物理教師制作課件的“利劍”！現在的幾何畫板版本號達到5.05，可以無縫插入PPT演示文稿中并保留它的動態與交互窗口。

2.初中函數圖象教學難點

初中生學習函數圖象是他們學習函數的起點，全新的東西會給他們帶來一定的困難，那么函數圖象學習的難點是什么呢？以浙江教育出版社出版的《義務教育課程標準實驗教科書》為例，《一次函數的圖象》一節難點是“驗證圖象的完備性（坐標是滿足一次函數解析式的點在直線上）、純粹性（圖象上的點的坐標滿足函數解析式），學生不易理解”;《反比例函數的圖象和性質》一節的困難是“由于反比例函數的圖象分成兩支，給畫圖象帶來了復雜性”;《二次函數的圖象》分三節課展開，“y=ax2（a≠0）型，選擇適當的自變量的值及相應的函數值畫函數圖象，過程復雜，是教學難點”;“y=a（x+m）2+k（a≠0）型，對于平移變換的理解和確定，學生較難理解，是教學難點”;“y=ax2+bx+c（a≠0）型，需要通過配方變形，過程復雜，是教學難點”。

二、我的實踐

1.利用“幾何畫板”化無限為有限，妙證一次函數圖象的“完備性”與“純粹性”

在《一次函數的圖象》教學中，學生難以理解“驗證圖象的完備性與純粹性”，其實是“完備性”與“純粹性”本身不易理解，它們都涉及到對數學中“無窮”概念的理解。完備性——所有坐標滿足一次函數的點都在直線上，純粹性——圖象上所有的點的坐標都滿足函數解析式。這里兩個“所有”究竟有多少，其實是一個“無窮大”的概念，抽象、難以理解。

（1）粉筆黑板——難以突破《一次函數的圖象》中客觀存在的難點

在《一次函數的圖象》教學中，學生通過完成合作學習，探究一次函數圖象，合作學習內容如下：

對一次函數y=2x與y=2x+1作如下研究，

（1）分別選擇若干對自變量與函數的對應值，列表如下;

x … …

y=2x … …

y=2x+1 … …

（2）分別以表中x的值作為點的橫坐標，對應的函數y的值作縱坐標得到兩組點，寫出這兩組點的坐標;

（3）在直角坐標系中根據所寫出的坐標畫出這兩組點;

（4）觀察這兩組點，你發現了什么？與同伴交流。”

學生能觀察到坐標滿足y=2x各點（-2，-4），（-1，-2），（0，0），（1，2），（2，4）都在直線l1;而坐標滿足一次函數y=2x+1的點（-2，-3），（-1，-1），（0，1），（1，3），（2，5）都在直線l2上。課堂上師生在l1與l2上取點驗證其坐標滿足解析式時，因為取“點”讀“坐標”單憑“眼觀尺量”一定有誤差，很難很好的滿足解析式，所以“黑板粉筆”手段在驗證“純粹性”時困難是客觀實在的;其次，坐標滿足解析式的點何止千萬，畫出來的幾個點在直線上，還有無數個坐標滿足解析的點，如何讓學生“相信”也在直線上，如何驗證它的完備性？其實學生有了實踐中的體驗，就差那么一點點，“黑板粉筆”就是不能把事實擺在孩子們的面前，讓它們信服。

（2）幾何畫板——提供讓孩子們難以想象的實驗驗證其“完備性”與“純粹性”

當學生完成好合作學習的四個環節后，師生交流：

師問：“坐標滿足函數解析式y=2x的點只有我們畫出來的這些點嗎？

其它坐標滿足y=2x的點也在這條直線上嗎？y=2x+1呢？”

互動：學生根據解析式y=2x寫坐標滿足它的點的坐標，老師把同學們寫出坐標的點畫出如圖的坐標系內。學生，寫出的坐標，有一定任意性，數學中的“所有”有時可以用“任意”來描述，例如函數y=2x自變量取值范圍是所有實數，也可理解為自變量x可以是任意一個實數。老師，利用幾何畫板，畫出學生寫出的點，給學生展示出一個客觀事實，“坐標滿足函數解析式的點都在直線上”。“完備性”在師生的互動中得到驗證。

而關于“純粹性”，在直線上取一動點，利用“幾何畫板”的“度量”工具度量出其在任意位置的點的坐標，學生完成“驗證坐標滿足函數解析式”，進而體驗到直線上的點的坐標滿足解析式。

經過自主探索、同伴交流、師生驗證，學生在意識中已經有了一次函數y=2x與y=2x+1的圖象的最初概念——一條直線。但是對于一般的一次函數y=kx+b（k≠0，k，b為常數）是一條直線嗎？我們可以再次利用“幾何畫板”繪圖“工具，師生互動，學生任意給出一次函數解析式，老師在畫板上操作畫出圖象，用實例打消了學生的疑慮，確定”一次函數y=kx+b（k≠0，k，b為常數）可以用坐標系內一條直線表示，這條直線也叫一次函數y=kx+b（k≠0，k，b為常數）的圖象。”

2.幾何畫板——化“抽象”為“具體”，突破學生理解的難點

有了一次函數圖象及性質的學習經驗，學生在學習反比例函數圖象及性質就有章可尋了。特別在學習反比例函數圖象時，學生對于“列表、描點及連線”這樣描點法畫函數圖象的套路在一次函數圖象時已經經歷過，在此不會陌生。雖然探究函數圖象的方法不變，但面臨的際函數卻有不同，這將使學習反比例函數圖象出現新的困難。一次函數中變量的取值不受限制，變化連續均勻，圖象是直線型，學生在探究一次函數圖象過程中只需要任意的四、五個點就容易發現其變化規律和圖象“直線型”特征。反觀，反比例函數變量取值不同于一次函數，無論是自變量還是函數都不能取零，在實數范圍內，反比例函數的變化在原點處不連續，圖象是獨立的兩部分。對此，學生在圖象探究過程中是難以理解和想象的。

在《反比例函數圖象》教學中，學生探究活動，主要通過合作學習的幾個環節：根據以下步驟，在直角坐標平面內畫出反比例函數y=6/x的圖象。

（1）列表。根據表中x的取值，求出相應y的值，你對取值有什么想法？

x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 …

y=6/x … …

（2）以表中各組對應值為點的坐標，在直角坐標系中描出相應的點;

（3）先在第一象限，按自變量由小到大把點用光滑的曲線連結，得到圖象第一個分支;再在第三象限內畫出圖象的另一個分支。

第（3）個環節是有疑惑的：為什么是兩支？這兩支會不會是連在一起的呢？在“黑板粉筆”的手段下只能引導學生觀察上環節（1）表中各組值的變化及相關點的位置變化規律——當x的絕對值變大時，相應點離x軸的距離越近，反之，離y軸越近，即雙曲線每一支都向兩端無限延伸且無限接近坐標軸，所以兩支不會相連。這些都是理性分析，沒有實際的圖象可共觀察，抽象，難理解。

幾何畫板可以彌補沒有“實圖可看”的缺憾。首先當學生完成到環節（3）不知該如何連線時，我們利用幾何畫板的“繪圖”工具畫出函數y=6/x的圖象，使學生相信科學，相信該函數的圖象確實是兩條曲線;其次，我們還可以用鼠標對雙曲線上的箭頭進行拖拽，實現“雙曲線的每一支向兩端無限延伸，且越來越接近坐標軸，但永不相交”動畫展示過程。

幾何畫板的繪圖工具與動態演示功能把反比例函數圖象部分特征具體化，讓本是抽象難懂的“規律”變得具體可見，突破本節課的難點

。從此，學生真正感受到：“反比例函數y=k/x（k≠0）圖象是由兩個分支組成的曲線，又稱雙曲線，當k>0時，圖象在一、三象限;當k<0時，圖象在二、四象限;反比例函數圖象關于原點成中心對稱。”

3.幾何畫板——“先識圖再畫圖”，利用“性質”指導“作圖”，突破難點，提高了效率

（1）“探究活動”，借助先進的方法和工具

初中階段關于函數圖象教學中，始終都有培養學生“探究意識”的意圖，從“一次函數的圖象”到“二次函數的圖象”無一例外都是在學生不知道這些圖象究竟是什么的情況下先畫。規律簡單明顯的函數，手工繪制可以探究，如一次函數的圖象，但如若函數復雜，同樣是探究圖象，必要是要學會借用工具和先進的技術，如函數y=x5-4x3+3x2，手工繪制就難以完成。初中階段的反比例函數與二次函數的圖象要比一次函數的圖象復雜，學生的探究有困難，如反比例函數圖象的分段性，二次函數圖象的對稱性及量變的加速性，所以二次函數圖象的教學可以借助先進的CAI軟件進行教學。

（2）“作二次函數的圖象”，在圖象及性質指導下完成的

二次函數的圖象及性質應用廣泛，是初中生必須掌握畫二次函數圖象的基本技能。縱觀二次函數圖象教學，都是在用拋物線的對稱性畫圖，從第一個二次函數的圖象y=x2，在列表確定自變量及相應函數值時用到拋物線的對稱性及頂點，直到熟練后的“五點法”畫圖，也是利用拋物線的軸對稱性及頂點、交點等特征點完成。因此，二次函數的圖象教學也可以采用此法，先讓學生了解二次函數圖象的一些直觀特性，再利用這些特性進行定量研究，探索新知。

（3）“二次函數圖象”，先畫圖象，再探性質，后作圖象

如“y=ax2”型圖象教學，以y=x2為例，學生列表確定自變量x的值是有講究的，學生若方法不當，點都在對稱軸的一邊，探究出來的圖象可能更象是直線而非拋物線。教學過程中，可以先利用幾何畫板畫出學生從未見過的二次函數y=x2的圖象，引導學生歸納此圖象有何特點：對稱性——y軸為其對稱軸;頂點，圖象上位置最低點，原點，在對稱軸上;圖象在x軸上方（除頂點）…引起學生思考討論：所有“y=ax2”型圖象都這樣嗎，比如y=-2x2？

經過y=x2與y=-2x2的圖象對比，學生發現它們的頂點（0，0）及對稱軸y軸不變，但位置有在x軸上也有x軸下。引導學生繼續思考為什么前者在x軸上而后者卻在下？當學生發現“這與系數a有關，若a>0，則y≥0，圖象在x軸上，若a<0，則y≤0，圖象在x軸下”時，二次函數y=ax2的圖象學生已知曉：二次函數y=ax2的圖象是一條拋物線，關于y軸對稱，頂點為坐標原點。當a>0時，拋物線在x軸上方，開口朝上，頂點為最低點;當a<0時，拋物線在x軸下方，開口朝下，頂點為最高點。

最后，如何用描點法畫y=x2圖象呢？根據拋物線的特點，列表定值必從頂點即從x=0，y=0開始，x的值左右兩邊對稱確定，如下表：

x … -3.5 -3 -2 -1 0 1 2 3 3.5 …

y=x2 … …

完成列表、描點、連線作出相關圖象。

三、結束語

1.“幾何畫板”在初中函數圖象教學中，能有效突破難點。“工欲善其事必先利其器”。在初中函數圖象教學過程中，利用“幾何畫板”可以提供直觀的與之有關的例子，突破學生對函數圖象理解的難點。當然，“幾何畫板”只是眾多深入課堂的信息技術之一，借助信息技術，能給我們的教學帶來裨益。但是信息技術不是萬能的，技術再先進也要人來用，決定成敗的關鍵因素在于教師的數學素質和教學設計。

2.“幾何畫板”能給數學實驗提供切實可行的操作平臺。“幾何畫板”平臺下的數學實驗活動能化靜為動 、變抽象為具體 、變演繹為實驗 、變傳授為感悟，它除保留傳統實驗教學的長處外，還具有個別化和交互性等特點，這些獨特的數學教學優勢，不僅可以讓學生直接參與實驗教學，還實現了交流對象的可選化。在操作中學數學，這種新的信息技術和數學實驗整合的教學模式，為學生今后的可持續發展打下良好的基礎，對于改進教學、提高教學質量有著積極的作用。

參考文獻

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