淺談高中數(shù)學(xué)中翻折問題里的點到平面的距離的轉(zhuǎn)化思想

姚小緒

【摘要】 ?節(jié)選2019屆深圳市高三第二次調(diào)研考試題，加以具體剖析，利用轉(zhuǎn)化思想，幫助學(xué)生掌握破題解題的求解思路，把數(shù)學(xué)學(xué)活，提高學(xué)生創(chuàng)新，探究能力。

【關(guān)鍵詞】 ?轉(zhuǎn)化思想 立體幾何 翻折 創(chuàng)新 探究

【中圖分類號】 ?G633.6 ? ? ? ? ? ? 【文獻標(biāo)識碼】 ?A ? 【文章編號】 ?1992-7711（2019）13-112-02

高中數(shù)學(xué)中，立體幾何是高考大題之一，必考題，中等難度題，題目本身很靈活，對學(xué)生的邏輯思維要求比較強，如果學(xué)生能很好的學(xué)活那就好了。但往往好多學(xué)生很難拿滿分，線線，線面，面面之間的關(guān)系弄不清楚，公理定理掌握不透，書寫不規(guī)范等，而翻折問題又是立體幾何中的“活”題，把立體幾何考活了，由靜態(tài)到動態(tài)，在變中找不變，是高考的熱點，高考文科數(shù)學(xué)中，點到平面的距離及求三棱錐的體積是常見題型，現(xiàn)就翻折問題里的點到平面的距離談?wù)勎覀€人的看法：

首先，翻折問題，是一個動態(tài)的過程，一定要觀察翻折前與翻折后不變的量，如線段的長度，角度的大小等，特別要注意到直角的地方。翻折的題一般會出現(xiàn)翻折到滿足某個條件時停止，這個條件非常重要。如果沒有這個條件，那說明翻折到什么時候停止對結(jié)果沒有影響。可以采取多在幾處停，多觀察觀察變化的量和不變的量，結(jié)合所求的問題，找到已知條件與所求問題之間的關(guān)系。再次，求點到平面的距離問題，也就是求點到平面的垂線段的長度，往往比較難找這條垂線段，總結(jié)有幾種方法：第一：把點到平面的距離轉(zhuǎn)化成三棱錐的高（等體積法），第二：把點到平面的距離轉(zhuǎn)化成過此點與平面相交的線上的點（除直線與平面的交點）到平面的距離（相關(guān)點法），第三：直接找到過此點與平面垂直的垂線段（直接法）。第四：把點到平面的距離轉(zhuǎn)化成過此點與平面平行的直線上的點到平面的距離等，第五：把點到平面的距離轉(zhuǎn)化成代數(shù)計算問題，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的斜向量和法向量，用向量法求解等。最后，做立體幾何題要有良好的習(xí)慣，多思，多想，多練習(xí)，用自己習(xí)慣的符號在圖形上圈圈點點，把題目的已知條件盡可能地反應(yīng)到圖形中，目的是只看圖形就可以知道有哪些已知條件，可以給解題帶來方便，在書寫上做到嚴(yán)謹(jǐn)嚴(yán)密，工整規(guī)范等。

例題：（2019屆深圳市高三第二次調(diào)研考試題節(jié)選）在邊長為4的正方形ABCD中，點E、F分別為邊AB、AD的中點，以CE和CF為折痕把△DFC和△BEC折起，使點B、D重合于點P位置，連結(jié)PA，得到如圖所示的四棱錐P-AECF，求點A到平面PEC的距離。

一、把點A到平面PEC的距離轉(zhuǎn)化成求三棱錐A-PEC的高，用等體積法

解法1：設(shè)點A到平面PEC的距離為h，分別連接EF，AC相交于O點，

翻折前，在正方形ABCD中，F(xiàn)D⊥DC，EB⊥BC，翻折后，PC⊥PF，PC⊥PE

又因為PFnPE=P，PF，PE ? ? ?平面PEF

所以PC⊥平面PEF，又因為EF ? ?平面PEF，OP ? ? 平面PEF，所以EF⊥PC，OP⊥PC

又因為在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，所以EF⊥AC，

又因為PC∩AC=C，PC，AC ? 平面PAC

所以EF⊥平面PAC，又因為EF ? ? 平面ABCD，所以平面PAC⊥平面ABCD

所以直角△OPC斜邊上的高即為三棱錐P-AEC的高，設(shè)為d

翻折前，F(xiàn)D=EB=2，翻折后，PF=PE=2，在直角三角形AEF中，易知EF=2■，

所以在△OPC中，有PF2+PE2=EF2，可得PF⊥PE由等面積法易知OP=■，

在三角形ABC中，可求AC=4■，所以O(shè)C=3■，在直角三角形OPC中，由勾股定理可求出PC=4，用等面積法可求出d=■.

由VP-AEC=VA-PEC得■×（■×2×4）×■=■×（■×2×4）×h

解得h=■，所以點A到平面PEC的距離為■.

解法2：由解法1易知，OE⊥平面PAC，由題意易知OE=■EF=■，

在△PAC中，AC=4■，AC邊上的高為■;在Rt△PEC中，PE⊥PC，PE=2，PC=4;

設(shè)點A到平面PEC的距離為h，

由VE-PAC=VA-PEC得■×（■×4■×■）×■=■×（■×2×4）×h

解得h=■，所以點A到平面PEC的距離為■.

小結(jié)：等體積法是常見的間接的求點到平面的距離的一種方法，把點到平面的距離轉(zhuǎn)化成三棱錐的高，關(guān)鍵是要求出三棱錐的體積。

二、（1）把點A到平面PEC的距離轉(zhuǎn)化成過點A與平面PEC相交線上的點B到平面AEC的距離

解法3：因為點E是AB的中點，所以A，B兩點到平面PEC的距離相等，設(shè)為h

由解法1易知，三棱錐P-BCE的高為■，在Rt△PEC中，PE⊥PC，PE=2，PC=4;

在Rt△BCE中，BE⊥BC，BE=2，BC=4

由VB-PEC=VP-BCE，得■×（■×2×4）×h=■×（■×2×4）×■

解得h=■，所以點A到平面PEC的距離為■.

（2）把點A到平面PEC的距離轉(zhuǎn)化成過點A與平面PEC相交線上的點O到平面AEC的距離的■

解法4：設(shè)點A到平面PEC的距離為h，設(shè)點O到平面PEC的距離為d，因為O為線段AC的四等分點，所以AC=■OC，因此h=■d，在Rt△PEC中，PE⊥PC，PE=2，PC=4;

在Rt△OEC中，OE⊥OC，OE=■，OC=3■;三棱錐P-OCE的高為■

由VO-PEC=VP-OCE得■×（■×2×4）×d=■×（■×■×3■）×■

解得d=1，所以h=■，d=■，所以點A到平面PEC的距離為■.

（3）把點A到平面PEC的距離轉(zhuǎn)化成過點A與平面PEC相交線上的點F到平面AEC的距離的■

解法5：設(shè)點A到平面PEC的距離為h，設(shè)點F到平面PEC的距離為d，

分別延長DA，CE交于點N，連接PN，易知AN=BC=AD，因為點F是AD的中點

所以AN=■FN，因此h=■d，由解法1知，PF⊥PC

在△PEF中，PF=PE=2，EF=2■，由勾股定理知PF⊥PE，

PE，PC ? ?平面PEC，PEnPC=P，所以PF⊥平面PEC，d=PF=2

所以h=■d=■×2=■，所以點A到平面PEC的距離為■.

小結(jié)：把點到平面的距離轉(zhuǎn)化成過此點與平面相交的直線上的點（除直線與平面的交點）到平面的距離，關(guān)鍵要能準(zhǔn)確地找到兩個距離之間的關(guān)系，可能是相等可能不相等，不相等時，誰是誰的幾分之幾或幾倍要弄清楚。

三、直接找到點A到平面PEC的垂線段即為點A到平面PEC的距離（直接法）

解法6：過點A作AM∥FP，交PN于點M，由解法5知，F(xiàn)P⊥平面PEC，

所以可得AM⊥平面PEC，所以，點A到平面PEC的距離就是線段AM的長

由題意易知，△ANE≌△BCE，所以可得AN=BC=AD

所以在△PFN中，易知點A是NF的三等分點，所以AM=■FP=■×2=■

所以點A到平面PEC的距離為■.

小結(jié)：這種直接找點到平面的垂線段的方法叫直接法，先找再求，關(guān)鍵是要能找到過此點與平面垂直的垂線段，對于文科生來講，往往有一定的困難。

四、點A到平面PEC的距離轉(zhuǎn)化成過點A與平面PEC平行的直線上的點H到平面PEC的距離（平行直線上的所有點到平面的距離相等）

解法7：取CD的中點為H，連接AH，連接PH，EH，則AH∥EC，易知AH∥平面PEC

所以A，H兩點到平面PEC的距離相等，設(shè)為h

由VH-PEC=VP-HCE和解法1易得■×（■×2×4）×h=■×（■×2×4）×■

解得h=■，所以點A到平面PEC的距離為■.

小結(jié)：這種間接的方法是根據(jù)離平行直線上的所有點到平面的距離相等得出的一種方法，關(guān)鍵是能找到過此點與平面平行的直線，并且直線上的某個點到平面的距離比較好求。

五：把點到平面的距離轉(zhuǎn)化成代數(shù)計算問題，建立空間直角坐標(biāo)系，找出平面的一個過此點的斜向量，求出平面的一個法向量，通過向量法求出點到平面的距離。

解法8：由解法1知，如圖，EF與AC互相垂直，交點為O，所以分別以O(shè)E，OC為X，Y軸，過O點作AC的垂線為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，■，0），E（■，0，0），

C（0，3■，0），P（0，■，■），所以■=（■，■，0），■=（-■，3■，0），■=（■，■，■），

設(shè)平面PEC的法向量■=（x，y，z），由法向量■與■的數(shù)量積等于0，法向量■與EP的數(shù)量積等于0，可得-■x+3■=0，-■x+■y+■z=0，解得x=3，

令y=1，則z=2■，所以■=（3，1，2■），■·■=4■，法向量■的模為3■，因此，點A到平面PEC的距離h=■=■

小結(jié)：空間向量法是把立體幾何知識轉(zhuǎn)化成代數(shù)計算問題，比較好想，但是在標(biāo)點的坐標(biāo)的時候容易出錯，一個點的坐標(biāo)有三個數(shù)，只要錯一個數(shù)就會影響到結(jié)果，所以一定要仔細標(biāo)點的坐標(biāo)。此方法的關(guān)鍵是能找到兩兩互相垂直的直線，建立合理的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量及代入公式計算點到平面的距離。（文科生對向量法不作要求）

以上主要談了翻折問題和點到平面的距離問題，并以具體的例題展示了各種轉(zhuǎn)化思想，學(xué)好立體幾何是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，學(xué)習(xí)立體幾何常常需要從不同角度，用不同的轉(zhuǎn)化思想去思考問題，此題用了八種解題方法，各種方法有不同但又有聯(lián)系，易想的計算量大點，難想的計算簡單些，各有優(yōu)點和不足。

[ 參 ?考 ?文 ?獻 ]

[1]聶文喜，周家三.點到平面距離的求解策略[J].數(shù)學(xué)通訊，2004.6：12-13.

[2]劉伯虎.立體幾何中點面距離的求法[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2003，3：30-31.