創享模型思想：深度學習數學之簡道

楊貴

《義務教育數學課程標準》中新增了“發展學生的模型思想”這一內容，并指出“模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑”[1]。那么，究竟什么是數學模型與數學模型思想？建立數學模型有什么現實意義？在教學實踐中又該如何培養學生的數學模型思想？

一、明確模型思想內涵，專業審視數學世界

那么，什么是數學模型？什么是數學模型思想？

數學模型，一般是指用數學語言、符號和圖形等形式來刻畫、描述、反映特定的問題或具體事物之間關系的數學結構。小學數學中的數學模型，主要是確定性數學模型。廣義地講，一般表現為數學的概念、法則、公式、性質、數量關系等。[2]。

什么是數學模型思想？

數學模型思想是指針對問題構建相應的數學模型，再通過對數學模型的研究來解決實際問題的一種數學思想。從發展進程來看，數學的本質是在不斷地抽象、概括、模式化的過程中發展和豐富起來的。

二、堅守數學模型道義，自覺踐行數學建模

（一）建構數學模型是數學教學本質特征的反映

1.數學模型是對客觀事物的一般關系的反映，也是人們以數學方式認識具體事物、描述客觀現象的最基本的形式。

2.人們在以數學方式研究具體問題時，是通過分析、比較、判斷、推理等思維活動，來探究、挖掘具體事物的本質及關系的，而最終以符號、模型等方式將其間的規律揭示出來，使復雜的問題本質化、簡潔化，甚至將其一般化，使某類問題的解決有了共同的程序與方法。

（二）建構數學模型是數學問題解決的有效形式

1.數學模型是數學基礎知識與數學應用之間的橋梁，建立和處理數學模型的過程，就是將數學理論知識應用于實際問題的過程。

2.現代數學觀認為，數學具有科學方法論的屬性，數學思想方法是人們研究數學、應用數學、解決問題的重要策略。而建立數學模型，研究數學模型，正是問題解決過程中的中心環節，是決定問題解決程度如何的關鍵。

（三）建構數學模型是數學學習和課程改革的重要任務

1.數學學習內容中最重要的部分，就是數學模型。在小學階段，數學模型的表現形式為一系列的概念系統、算法系統、關系、定律、公理系統等，這些都是學生學習的重要內容。可以這樣說，學生學習數學知識的過程，實際上是對一系列數學模型的理解、把握過程。

2.學生在探索、獲得數學模型的過程中，也同時獲得了構建數學模型、解決實際問題的思想、程序與方法，而這對學生的發展來說，其意義遠大于僅僅獲得某些數學知識。

3.數學不應等同于數學結論的簡單匯集，而應被看成一個包含有“問題”、“方法”、“語言”等多種成分的復合體。因此，在小學數學教學中，重視滲透模型化思想，正是順應了這種改革的趨向和要求。

三、探尋模型建構策略，創享升華數學思想

（一）將生活原型上升為數學模型

生活原型是構建數學模型的基礎。在教學過程中，教師應根據數學問題巧妙地創設現實情境，通過這個現實的生活原型引導學生以數學建模的方式解決問題。

例如：在進行“323+198，323-198”這樣的速算教學時，有相當一部分學生難以把握此類問題。主要表現為：在"323+198=323+200-2”中，原來是加法計算，為什么要減2;在“323-198=323-200+2”中，原來是減法計算，為什么要加2？為了解決上述問題，教師可以組織學生模仿“付整找零”的情景活動：小熊原有128元人民幣，這個月獎金199元，現在它一共有多少元？讓學生來表演發獎金，先給小熊2張100元鈔（200元），小熊找還1元。

這個活動的計算算理學生是明白的。教學中教師應引導學生把“常識”提煉為“模型”，這實質上就是一個建模的過程。經過了“付整找零”的活動后，建模實施了三個步驟：

1.把情境抽象為數學問題：小熊原有128元，收人199元，現共有多少元？

2.用數學算式來表示：128+199=128+200-1=327

3.總結其中的算理，概括出速算的法則。通過“付整找零”的生活原型提煉出“多加了要減去，多減了要加上”的數學模型。

（二）利用“舊模型”構建“新模型”

數學的概念、法則、公式等都是數學模型，并且總是建立在對其它數學模型的應用及體現在對新知的逐級構建上的。例如單價、數量、總價之間的數量關系模型是：單價×數量=總價。該模型是建立在學生的原認知乘法意義的基礎上的，“求幾個幾相加用乘法算”。我教學該課時，我出示了已知單價、數量求總價之后，拋出了兩類變式練習讓學生解決：已知總價、數量求單價，已知總價、單價求數量，從而推導出另兩個數量關系式：總價÷數量=單價，總價÷單價=數量。在這兩類變式練習中，學生利用“原模型”“單價×數量=總價”和乘法各部分的關系解決了較復雜的變式題，并推導出另兩組相關的數量關系式，建構了“新模型”。

（三）讓學生體驗模型構建的全過程

根據建模對象的特征和建模的目的，對實際數學問題或現實情景，進行觀察、比較、分析、抽象、概括，運用形式化的數學語言表達出數學概念或用數學符號刻畫出一種數學結構。如我教學《常見的數量關系》的建模過程：我出示三個購物情境題，“為什么這三道題都用乘法算？”一個精辟的追問，讓學生感受到，以前我們解決這類問題用的數學模型是乘法的意義;在探究數量關系模型這一關鍵環節時，提了一個非常開放性的問題“這三道題有什么共同點呢？”對于這三道題，孩子們都會做，但“這三道題有什么共同點呢？”一個開放性的問題，制造了學生的認知沖突，激發了學生的學習興趣。學生帶著這個問題進行了自主學習、小組探究、組內交流、全班匯報一系列學習活動，并探究得出數學模型單價×數量=總價。

在小學數學教學中靈活運用數學模型思想，可以幫助學生深入理解所學知識，順利構建數學知識體系，提高學生解決實際問題的能力，提升學生的數學素養。因此，教師在小學數學教學實踐中，應注重滲透數學模型思想，幫助學生建構數學模型，實現不一般地學數學，學習不一般的數學，讓數學學習是一種享受。

參考文獻：

[1]教育部? 義務教育階段數學課程標準（2011年版）[S]北京：北京師范大學出版社，2012：5.

[2]劉明祥? 在小學數學教學中培養學生模型思想的探討.

[3]教育部? 義務教育階段數學課程標準（試驗稿）[S]北京：北京師范大學出版社，2001：1.